7. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$a + b = \sqrt{3} + 1$，解这个直角三角形.
答案：解：在Rt△ABC中，∵∠A=60°
∴∠B=90°-60°=30°，$tanA=\frac a{b}=\sqrt 3$
∴$a=\sqrt 3b$
∵$a+b=\sqrt 3b+b=\sqrt 3+1$
∴b=1，$a=\sqrt 3$
∴$c=\sqrt {a^2+b^2}=2$
∴∠B=90°-60°=30°，$tanA=\frac a{b}=\sqrt 3$
∴$a=\sqrt 3b$
∵$a+b=\sqrt 3b+b=\sqrt 3+1$
∴b=1，$a=\sqrt 3$
∴$c=\sqrt {a^2+b^2}=2$
8. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 4$，$AB = 4\sqrt{2}$，则$AC =$
$4$
，$\angle A =$$45^{\circ}$
，$\angle B =$$45^{\circ}$
.答案：4
45°
45°
45°
45°
9. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 9$，$\sin B = \frac{3}{5}$，则$AB$等于(
A.15
B.12
C.9
D.6
A
).A.15
B.12
C.9
D.6
答案：A
10. 已知$\angle A$是锐角，$\sin A = \frac{3}{5}$，则$5\cos A =$(
A.4
B.3
C.$\frac{15}{4}$
D.5
A
).A.4
B.3
C.$\frac{15}{4}$
D.5
答案：A
11. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$a$、$b$、$c$分别是$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对边. 根据已知条件解直角三角形：
(1) $c = 8\sqrt{3}$，$\angle A = 60^{\circ}$；
(2) $a = 3\sqrt{6}$，$\angle A = 30^{\circ}$；
(3) $a = 6$，$b = 2\sqrt{3}$.
(1) $c = 8\sqrt{3}$，$\angle A = 60^{\circ}$；
(2) $a = 3\sqrt{6}$，$\angle A = 30^{\circ}$；
(3) $a = 6$，$b = 2\sqrt{3}$.
答案：解：(1)∠B=90°-∠A=30°
∴$a=csinA=8\sqrt 3×\frac {\sqrt 3}2=12，$$b=ccosA=8\sqrt 3×\frac 12=4\sqrt 3$
(2)∠B=90°-∠A=60°
$c=\frac {a}{sinA}=\frac {3\sqrt 6}{\frac 12}=6\sqrt 6，$$b=\frac a{tanA}=\frac {3\sqrt 6}{\frac {\sqrt 3}3}=9\sqrt 2$
$(3)c=\sqrt {a^2+b^2}=4\sqrt 3$
$sinB=\frac b{c}=\frac {2\sqrt 3}{4\sqrt 3}=\frac 12$
∴∠B=30°，∠A=90°-∠B=60°
∴$a=csinA=8\sqrt 3×\frac {\sqrt 3}2=12，$$b=ccosA=8\sqrt 3×\frac 12=4\sqrt 3$
(2)∠B=90°-∠A=60°
$c=\frac {a}{sinA}=\frac {3\sqrt 6}{\frac 12}=6\sqrt 6，$$b=\frac a{tanA}=\frac {3\sqrt 6}{\frac {\sqrt 3}3}=9\sqrt 2$
$(3)c=\sqrt {a^2+b^2}=4\sqrt 3$
$sinB=\frac b{c}=\frac {2\sqrt 3}{4\sqrt 3}=\frac 12$
∴∠B=30°，∠A=90°-∠B=60°
12. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，角平分线$BD$的长为$8\ cm$. 求这个三角形的$3$条边的长.
答案：解：由已知可得△BCD是含30°的直角三角形
∴$CD=\frac {1}{2}\ \mathrm {BD}=\frac {1}{2} ×8=4\ \mathrm {cm}$
△ADB是等腰三角形，∴$AD=BD=8\ \mathrm {cm}$
则有$AC=8+4=12\ \mathrm {cm}，$$BC=AC ·tan 30°=12× \frac {\sqrt{3}}{3}=4 \sqrt{3}\ \mathrm {cm}$
$AB=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+12^2}=\sqrt{48+144}=\sqrt{192}=8 \sqrt{3}\ \mathrm {cm}$
∴$CD=\frac {1}{2}\ \mathrm {BD}=\frac {1}{2} ×8=4\ \mathrm {cm}$
△ADB是等腰三角形，∴$AD=BD=8\ \mathrm {cm}$
则有$AC=8+4=12\ \mathrm {cm}，$$BC=AC ·tan 30°=12× \frac {\sqrt{3}}{3}=4 \sqrt{3}\ \mathrm {cm}$
$AB=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+12^2}=\sqrt{48+144}=\sqrt{192}=8 \sqrt{3}\ \mathrm {cm}$
13. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD = CD$，$AB = 5$，$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$，$\tan A = 2$. 求$BC$的长.
答案：
解：延长AB、DC交于点E
∵∠B=∠D=90°
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠BCE+∠BCD=180°
∴∠A=∠BCE
∴tanA=tan∠BCE=2
设BC=x，则BE=2x
在Rt△BCE中，∵BC=x，BE=2x
∴$CE=\sqrt {BC^2+BE^2}=\sqrt 5x$
∵$tanA=\frac {DE}{AD}=2$
∴AD：DE：AE=1：2：$\sqrt 5$
∵DE=2AD，AD=CD
∴$CE=CD=AD=\sqrt 5x$
∵AB=5，BE=2x
∴AE=2x+5
∵$AE=\sqrt 5AD$
∴$2x+5=\sqrt 5 · \sqrt 5x$
解得$x=\frac 53$
∴BC的长为$\frac 53$
解：延长AB、DC交于点E
∵∠B=∠D=90°
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠BCE+∠BCD=180°
∴∠A=∠BCE
∴tanA=tan∠BCE=2
设BC=x，则BE=2x
在Rt△BCE中，∵BC=x，BE=2x
∴$CE=\sqrt {BC^2+BE^2}=\sqrt 5x$
∵$tanA=\frac {DE}{AD}=2$
∴AD：DE：AE=1：2：$\sqrt 5$
∵DE=2AD，AD=CD
∴$CE=CD=AD=\sqrt 5x$
∵AB=5，BE=2x
∴AE=2x+5
∵$AE=\sqrt 5AD$
∴$2x+5=\sqrt 5 · \sqrt 5x$
解得$x=\frac 53$
∴BC的长为$\frac 53$