1. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6\ \mathrm{cm}$，$\triangle ABC$的面积为$24\ \mathrm{cm}^2$，则$\sin A =$
$\frac{4}{5}$
.答案：$\frac {4}{5}$
2. 等腰三角形底边长为$10\ \mathrm{cm}$，周长为$36\ \mathrm{cm}$，则一底角的正切值为
$\frac{12}{5}$
.答案：$\frac {12}{5}$
3. 在锐角三角形$ABC$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$\cos C = \frac{3}{5}$，$AC = 5a$，则$\triangle ABC$的面积为(
A.$10a^2$
B.$12a^2$
C.$13a^2$
D.$14a^2$
D
).A.$10a^2$
B.$12a^2$
C.$13a^2$
D.$14a^2$
答案：D
4. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$. 根据下列条件解直角三角形：
(1) $b = 2\sqrt{3}$，$c = 4$；
(2) $b = 7$，$\angle A = 45^{\circ}$；
(3) $a = 24$，$b = 8\sqrt{3}$.
(1) $b = 2\sqrt{3}$，$c = 4$；
(2) $b = 7$，$\angle A = 45^{\circ}$；
(3) $a = 24$，$b = 8\sqrt{3}$.
答案：解：$(1)a=\sqrt {c^2-b^2}=2$
$sinA=\frac a{c}=\frac 24=\frac 12$
∴∠A=30°，∠B=90°-∠A=60°
(2)∠B=∠A=45°
∴a=b=7，$c=\frac {a}{sin_{45}°}=\frac 7{\frac {\sqrt 2}2}=7\sqrt 2$
$(3)c=\sqrt {a^2+b^2}=16\sqrt 3$
$sinB=\frac b{c}=\frac {8\sqrt 3}{16\sqrt 3}=\frac 12$
∴∠B=30°，∠A=90°-∠B=60°
$sinA=\frac a{c}=\frac 24=\frac 12$
∴∠A=30°，∠B=90°-∠A=60°
(2)∠B=∠A=45°
∴a=b=7，$c=\frac {a}{sin_{45}°}=\frac 7{\frac {\sqrt 2}2}=7\sqrt 2$
$(3)c=\sqrt {a^2+b^2}=16\sqrt 3$
$sinB=\frac b{c}=\frac {8\sqrt 3}{16\sqrt 3}=\frac 12$
∴∠B=30°，∠A=90°-∠B=60°
5. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，$AD = 2$. 求$\sin A$和$\tan B$的值.
答案：解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠ACB=∠ADC=90°
∵∠BAC=∠CAD
∴△ABC∽△ACD
∴$\frac {AB}{AC}=\frac {AC}{AD}，$即$AC^2=AB · AD$
∵AB=6，AD=2
∴$AC=2\sqrt 3$
在Rt△ABC中，∵$AC=2\sqrt 3，$AB=6
∴$BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=2\sqrt 6$
∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {2\sqrt 6}6=\frac {\sqrt 6}3，$$tanB=\frac {AC}{BC}=\frac {2\sqrt 3}{2\sqrt 6}=\frac {\sqrt 2}2$
∴∠ACB=∠ADC=90°
∵∠BAC=∠CAD
∴△ABC∽△ACD
∴$\frac {AB}{AC}=\frac {AC}{AD}，$即$AC^2=AB · AD$
∵AB=6，AD=2
∴$AC=2\sqrt 3$
在Rt△ABC中，∵$AC=2\sqrt 3，$AB=6
∴$BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=2\sqrt 6$
∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {2\sqrt 6}6=\frac {\sqrt 6}3，$$tanB=\frac {AC}{BC}=\frac {2\sqrt 3}{2\sqrt 6}=\frac {\sqrt 2}2$