6. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$在$BC$上，且$BD = 100$，$\angle ADC = 60^{\circ}$，$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 求$AC$的长(精确到$0.1$).
答案：解：∵$sinB=\frac {\sqrt 2}2$
∴∠B=∠BAC=45°
∴BC=AC
设BC=AC=x，则DC=x-100
在Rt△ACD中，∵∠ADC=60°
∴$tan ∠ADC=\frac {AC}{DC}=\sqrt 3$
∴$\frac x{x-100}=\sqrt 3$
解得$x=150+50\sqrt 3≈236.6$
∴AC的长为236.6
∴∠B=∠BAC=45°
∴BC=AC
设BC=AC=x，则DC=x-100
在Rt△ACD中，∵∠ADC=60°
∴$tan ∠ADC=\frac {AC}{DC}=\sqrt 3$
∴$\frac x{x-100}=\sqrt 3$
解得$x=150+50\sqrt 3≈236.6$
∴AC的长为236.6
7. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$. 若$b = \sqrt{2}$，$c = 2$，则$a =$
$\sqrt{2}$
，$\angle A =$$45^{\circ}$
.答案：$\sqrt{2}$
45°
45°
8. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$. 若$AC = 3$，$BC = 4$，则$\sin B =$
$\frac{3}{5}$
.答案：$\frac {3}{5}$
9. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$. 若$c = 7$，$\angle A = 30^{\circ}$，则$b =$
$\frac{7\sqrt{3}}{2}$
，$a =$$3\frac{1}{2}$
.答案：$\frac {7\sqrt{3}}{2} $
$3\frac {1}{2}$
$3\frac {1}{2}$
10. 如图是一个中心对称图形，$A$为对称中心. 若$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$BC = 1$，则$BB' =$(
A.$4$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
D
).A.$4$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
答案：D
11. 如图，在$\mathrm{Rt} \triangle ABC$中，斜边$AB = m$，$\angle B = 40^{\circ}$，则$BC$等于(
A.$m \sin 40^{\circ}$
B.$m \cos 40^{\circ}$
C.$m \tan 40^{\circ}$
D.$\frac{m}{\tan 40^{\circ}}$
B
).A.$m \sin 40^{\circ}$
B.$m \cos 40^{\circ}$
C.$m \tan 40^{\circ}$
D.$\frac{m}{\tan 40^{\circ}}$
答案：B
12. 等腰三角形的周长为$5(2 + \sqrt{3})$，顶角是底角的$4$倍，求各角与各边的长.
答案：
解：∵如图，设底角为a，则顶角为4a
∴6a=180°
∴a=30°，4a=120°
过点B作BD⊥AC，垂足为D，并设BD=x，则$ AD=\sqrt 3x$
∴$4x+2 \sqrt{3} x=5(2+ \sqrt{3} )$
∴$x=\frac {5}{2}，$$AB=BC=2× \frac {5}{2}=5，$$AC=2 \sqrt{3} × \frac {5}{2}=5 \sqrt{3}$
解：∵如图，设底角为a，则顶角为4a
∴6a=180°
∴a=30°，4a=120°
过点B作BD⊥AC，垂足为D，并设BD=x，则$ AD=\sqrt 3x$
∴$4x+2 \sqrt{3} x=5(2+ \sqrt{3} )$
∴$x=\frac {5}{2}，$$AB=BC=2× \frac {5}{2}=5，$$AC=2 \sqrt{3} × \frac {5}{2}=5 \sqrt{3}$