1. 下列说法正确的是(
A.$-\sqrt{\dfrac{4}{100}}$是无理数
B.$(\sqrt{2}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})$是有理数
C.$\pi$的近似值$3.14$是无理数
D.无理数有限个
B
)A.$-\sqrt{\dfrac{4}{100}}$是无理数
B.$(\sqrt{2}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})$是有理数
C.$\pi$的近似值$3.14$是无理数
D.无理数有限个
答案：1.B
2. 下列无理数中，大小在$3$与$4$之间的是(
A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
C
)A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
答案：2.C
解析：
因为$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，所以要找大小在$3$与$4$之间的无理数，即找被开方数在$9$与$16$之间的数。
选项A：$\sqrt{7}$，因为$7 ＜ 9$，所以$\sqrt{7} ＜ 3$；
选项B：$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$，因为$8 ＜ 9$，所以$\sqrt{8} ＜ 3$；
选项C：$\sqrt{13}$，因为$9 ＜ 13 ＜ 16$，所以$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$；
选项D：$\sqrt{17}$，因为$17 ＞ 16$，所以$\sqrt{17} ＞ 4$。
C
选项A：$\sqrt{7}$，因为$7 ＜ 9$，所以$\sqrt{7} ＜ 3$；
选项B：$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$，因为$8 ＜ 9$，所以$\sqrt{8} ＜ 3$；
选项C：$\sqrt{13}$，因为$9 ＜ 13 ＜ 16$，所以$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$；
选项D：$\sqrt{17}$，因为$17 ＞ 16$，所以$\sqrt{17} ＞ 4$。
C
3. 有下列运算：①$\sqrt{1\dfrac{25}{144}}=1\dfrac{5}{12}$；②$\sqrt{(-14)^{2}}=\pm14$；③$\sqrt{-7^{2}}=-\sqrt{7^{2}}=-7$；④$\sqrt{\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}$。其中，错误的有(
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
D
)A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案：3.D
解析：
①$\sqrt{1\dfrac{25}{144}}=\sqrt{\dfrac{169}{144}}=\dfrac{13}{12}=1\dfrac{1}{12}\neq1\dfrac{5}{12}$，错误；
②$\sqrt{(-14)^{2}}=\sqrt{196}=14\neq\pm14$，错误；
③$\sqrt{-7^{2}}=\sqrt{-49}$，无意义，错误；
④$\sqrt{\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{1}{16}+\dfrac{4}{16}}=\sqrt{\dfrac{5}{16}}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\neq\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}$，错误。
错误的有4个。
D
②$\sqrt{(-14)^{2}}=\sqrt{196}=14\neq\pm14$，错误；
③$\sqrt{-7^{2}}=\sqrt{-49}$，无意义，错误；
④$\sqrt{\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{1}{16}+\dfrac{4}{16}}=\sqrt{\dfrac{5}{16}}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\neq\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}$，错误。
错误的有4个。
D
4. 若$\sqrt{1-2n}+\sqrt{2n-1}$有意义，则$(-n)^{2}$的平方根是(
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\pm\dfrac{1}{4}$
D.$\pm\dfrac{1}{2}$
D
)A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\pm\dfrac{1}{4}$
D.$\pm\dfrac{1}{2}$
答案：4.D
解析：
要使$\sqrt{1 - 2n} + \sqrt{2n - 1}$有意义，则$\begin{cases}1 - 2n\geq0\\2n - 1\geq0\end{cases}$，解得$n = \frac{1}{2}$。
$(-n)^2 = (-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$。
D
$(-n)^2 = (-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$。
D
5. 实数$a$在数轴上对应点的位置如图所示，计算$\vert a-\pi\vert+\vert\sqrt{2}-a\vert$的结果为(
A.$\pi+\sqrt{2}$
B.$\pi-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}-\pi$
D.$\pi-2$
B
)A.$\pi+\sqrt{2}$
B.$\pi-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}-\pi$
D.$\pi-2$
答案：5.B
解析：
解：由数轴可知，$2 ＜ a ＜ 3$。
因为$\pi\approx3.14$，所以$a - \pi ＜ 0$，则$\vert a - \pi\vert=\pi - a$。
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\sqrt{2}-a ＜ 0$，则$\vert\sqrt{2}-a\vert=a - \sqrt{2}$。
$\vert a - \pi\vert+\vert\sqrt{2}-a\vert=(\pi - a)+(a - \sqrt{2})=\pi - \sqrt{2}$
答案：B
因为$\pi\approx3.14$，所以$a - \pi ＜ 0$，则$\vert a - \pi\vert=\pi - a$。
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\sqrt{2}-a ＜ 0$，则$\vert\sqrt{2}-a\vert=a - \sqrt{2}$。
$\vert a - \pi\vert+\vert\sqrt{2}-a\vert=(\pi - a)+(a - \sqrt{2})=\pi - \sqrt{2}$
答案：B
6. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入值为$9$时，输出值为(
A.$\sqrt{3}$
B.$8$
C.$2$
D.$\pm\sqrt{3}$
A
)A.$\sqrt{3}$
B.$8$
C.$2$
D.$\pm\sqrt{3}$
答案：6.A
解析：
解：输入9，取算术平方根得$\sqrt{9}=3$，3是有理数；
将3输入，取算术平方根得$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，输出$\sqrt{3}$。
答案：A
将3输入，取算术平方根得$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，输出$\sqrt{3}$。
答案：A
7. 对任意两个实数$a$，$b$定义两种运算：$a\oplus b=\begin{cases}a(a\geqslant b),\\b(a\lt b),\end{cases}a\otimes b=\begin{cases}b(a\geqslant b),\\a(a\lt b),\end{cases}$并且定义运算顺序仍然是先算括号内的，例如：$(-2)\oplus3=3$，$(-2)\otimes3=-2$，$[(-2)\oplus3]\otimes2=2$，那么$(\sqrt{5}\oplus2)\otimes\sqrt[3]{27}$的值为( )
A.$\sqrt{5}$
B.$3$
C.$6$
D.$3\sqrt{5}$
A.$\sqrt{5}$
B.$3$
C.$6$
D.$3\sqrt{5}$
答案：7.A
解析：
先计算括号内的$\sqrt{5}\oplus2$：
因为$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{5}\gt2$，根据$a\oplus b$的定义，当$a\geqslant b$时，$a\oplus b = a$，所以$\sqrt{5}\oplus2=\sqrt{5}$。
再计算$(\sqrt{5})\otimes\sqrt[3]{27}$：
因为$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{5}\approx2.236\lt3$，根据$a\otimes b$的定义，当$a\lt b$时，$a\otimes b = a$，所以$\sqrt{5}\otimes3=\sqrt{5}$。
最终结果为$\sqrt{5}$。
A
因为$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{5}\gt2$，根据$a\oplus b$的定义，当$a\geqslant b$时，$a\oplus b = a$，所以$\sqrt{5}\oplus2=\sqrt{5}$。
再计算$(\sqrt{5})\otimes\sqrt[3]{27}$：
因为$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{5}\approx2.236\lt3$，根据$a\otimes b$的定义，当$a\lt b$时，$a\otimes b = a$，所以$\sqrt{5}\otimes3=\sqrt{5}$。
最终结果为$\sqrt{5}$。
A
8. 若$\sqrt[3]{a}=2$，则$a=$
2
；若$\sqrt{b^{2}}=2$，则$b=$$\pm 2$
；若$-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{\dfrac{7}{8}}$，则$a=$$-\frac{7}{8}$
。答案：8.$2$ $\pm 2$ $-\frac{7}{8}$
解析：
8. $8$；$\pm 2$；$-\dfrac{7}{8}$
9. 若$\vert m-\sqrt{5}\vert-\sqrt{5}+m=0$，则$m$的取值范围是
$m\leq\sqrt{5}$
。答案：9.$m\leq\sqrt{5}$
解析：
解：$\vert m - \sqrt{5}\vert - \sqrt{5} + m = 0$
$\vert m - \sqrt{5}\vert = \sqrt{5} - m$
因为绝对值为非负值，所以$\sqrt{5} - m \geq 0$
解得$m \leq \sqrt{5}$
$m\leq\sqrt{5}$
$\vert m - \sqrt{5}\vert = \sqrt{5} - m$
因为绝对值为非负值，所以$\sqrt{5} - m \geq 0$
解得$m \leq \sqrt{5}$
$m\leq\sqrt{5}$
10. 若$\sqrt[3]{6}$取$1.817$，则计算$\sqrt[3]{6}-5\sqrt[3]{6}-96\sqrt[3]{6}$的结果是
$-181.7$
。答案：10.$-181.7$
解析：
$\sqrt[3]{6}-5\sqrt[3]{6}-96\sqrt[3]{6}=(1-5-96)\sqrt[3]{6}=-100\sqrt[3]{6}$，将$\sqrt[3]{6}=1.817$代入，得$-100×1.817=-181.7$。
11. 已知$(a-3)^{2}+\sqrt{4b-1}=0$，则$\sqrt[3]{b^{a}}$的值为
$\frac{1}{4}$
。答案：11.$\frac{1}{4}$
解析：
因为$(a - 3)^2 + \sqrt{4b - 1} = 0$，且$(a - 3)^2 \geq 0$，$\sqrt{4b - 1} \geq 0$，所以$a - 3 = 0$，$4b - 1 = 0$。解得$a = 3$，$b = \frac{1}{4}$。则$b^a = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$，所以$\sqrt[3]{b^a} = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$。
12. 已知$\sqrt{3m-30}+\sqrt{30-3m}-n=m+2017$，则$m-n=$
$2037$
。答案：12.$2037$
解析：
要使$\sqrt{3m - 30}$和$\sqrt{30 - 3m}$有意义，则：
$\begin{cases}3m - 30 \geq 0 \\30 - 3m \geq 0\end{cases}$
解得$m = 10$。
将$m = 10$代入原式：$0 + 0 - n = 10 + 2017$，即$-n = 2027$，解得$n = -2027$。
所以$m - n = 10 - (-2027) = 2037$。
$2037$
$\begin{cases}3m - 30 \geq 0 \\30 - 3m \geq 0\end{cases}$
解得$m = 10$。
将$m = 10$代入原式：$0 + 0 - n = 10 + 2017$，即$-n = 2027$，解得$n = -2027$。
所以$m - n = 10 - (-2027) = 2037$。
$2037$
13. 小雪和小娟一起做手工，小雪做了一个棱长为$7\mathrm{cm}$的正方体盒子，小娟说：“我做的正方体盒子的体积比你做的大$386\mathrm{cm}^{3}$。”小娟做的正方体盒子的棱长为
$9$
$\mathrm{cm}$。答案：13.$9$
解析：
设小娟做的正方体盒子的棱长为$x\ \mathrm{cm}$。
小雪做的正方体体积为$7^3 = 343\ \mathrm{cm}^3$，小娟做的正方体体积为$x^3\ \mathrm{cm}^3$。
由题意得：$x^3 - 343 = 386$
$x^3 = 386 + 343 = 729$
$x = \sqrt[3]{729} = 9$
$9$
小雪做的正方体体积为$7^3 = 343\ \mathrm{cm}^3$，小娟做的正方体体积为$x^3\ \mathrm{cm}^3$。
由题意得：$x^3 - 343 = 386$
$x^3 = 386 + 343 = 729$
$x = \sqrt[3]{729} = 9$
$9$