14. 点$A$在数轴上和原点相距$\sqrt{7}$个单位长度，点$B$在数轴上和原点相距$3$个单位长度，且点$B$在点$A$的左边，则$A$，$B$两点之间的距离为
$3-\sqrt{7}$或$3+\sqrt{7}$
。答案：14.$3-\sqrt{7}$或$3+\sqrt{7}$
解析：
点$A$表示的数为$\pm \sqrt{7}$，点$B$表示的数为$\pm 3$。
因为点$B$在点$A$的左边，所以：
当点$A$表示$\sqrt{7}$时，点$B$只能表示$-3$，此时$A$，$B$两点之间的距离为$\sqrt{7}-(-3)=\sqrt{7}+3$；
当点$A$表示$-\sqrt{7}$时，点$B$只能表示$-3$，此时$A$，$B$两点之间的距离为$-\sqrt{7}-(-3)=3 - \sqrt{7}$。
综上，$A$，$B$两点之间的距离为$3 - \sqrt{7}$或$3 + \sqrt{7}$。
因为点$B$在点$A$的左边，所以：
当点$A$表示$\sqrt{7}$时，点$B$只能表示$-3$，此时$A$，$B$两点之间的距离为$\sqrt{7}-(-3)=\sqrt{7}+3$；
当点$A$表示$-\sqrt{7}$时，点$B$只能表示$-3$，此时$A$，$B$两点之间的距离为$-\sqrt{7}-(-3)=3 - \sqrt{7}$。
综上，$A$，$B$两点之间的距离为$3 - \sqrt{7}$或$3 + \sqrt{7}$。
15. 将实数$0$，$-\sqrt{3}$，$0.54$，$\sqrt{(-5)^{2}}$，$\pi$，$-\sqrt[3]{-20}$，$-\dfrac{13}{7}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$0.7171171117···$（相邻的两个$7$之间依次多一个$1$）填在相应的集合中。
（1）整数集合：$\{\_\_\_\_\_···\}$；
（2）正无理数集合：$\{\_\_\_\_\_···\}$；
（3）有理数集合：$\{\_\_\_\_\_···\}$。
（1）整数集合：$\{\_\_\_\_\_···\}$；
（2）正无理数集合：$\{\_\_\_\_\_···\}$；
（3）有理数集合：$\{\_\_\_\_\_···\}$。
答案：15.(1)$0$,$\sqrt{(-5)^2}$
(2)$\pi$,$-\sqrt[3]{-20}$,$\sqrt{\frac{1}{3}}$,$0.7171171117···$（相邻的两个$7$之间依次多一个$1$）
(3)$0$,$0.54$,$\sqrt{(-5)^2}$,$-\frac{13}{7}$
(2)$\pi$,$-\sqrt[3]{-20}$,$\sqrt{\frac{1}{3}}$,$0.7171171117···$（相邻的两个$7$之间依次多一个$1$）
(3)$0$,$0.54$,$\sqrt{(-5)^2}$,$-\frac{13}{7}$
16. 求下面各式中$x$的值：
（1）$4(2x-1)^{2}=36$；
（2）$8(3x-1)^{3}=\dfrac{125}{8}$。
（1）$4(2x-1)^{2}=36$；
（2）$8(3x-1)^{3}=\dfrac{125}{8}$。
答案：$(1)$ 求解$4(2x - 1)^2 = 36$中$x$的值
解：
首先，对等式两边同时除以$4$，得到$(2x - 1)^2=\dfrac{36}{4} = 9$。
根据平方根的定义，若$a^2 = b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，所以$2x - 1=\pm\sqrt{9}=\pm3$。
当$2x - 1 = 3$时：
等式两边同时加$1$，得到$2x=3 + 1$，即$2x = 4$。
等式两边再同时除以$2$，解得$x = 2$。
当$2x - 1=-3$时：
等式两边同时加$1$，得到$2x=-3 + 1$，即$2x=-2$。
等式两边再同时除以$2$，解得$x=-1$。
综上，$x = 2$或$x=-1$。
$(2)$ 求解$8(3x - 1)^3=\dfrac{125}{8}$中$x$的值
解：
首先，对等式两边同时除以$8$，得到$(3x - 1)^3=\dfrac{125}{8}÷8=\dfrac{125}{64}$。
根据立方根的定义，若$a^3 = b$，则$a=\sqrt[3]{b}$，所以$3x - 1=\sqrt[3]{\dfrac{125}{64}}$。
因为$\sqrt[3]{\dfrac{125}{64}}=\dfrac{5}{4}$，则$3x - 1=\dfrac{5}{4}$。
等式两边同时加$1$，得到$3x=\dfrac{5}{4}+1=\dfrac{5 + 4}{4}=\dfrac{9}{4}$。
等式两边再同时除以$3$，解得$x=\dfrac{9}{4}÷3=\dfrac{9}{4}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}$。
综上，$x=\dfrac{3}{4}$。
所以，$(1)$$\boldsymbol{x = 2}$或$\boldsymbol{x=-1}$；$(2)$$\boldsymbol{x=\dfrac{3}{4}}$。
解：
首先，对等式两边同时除以$4$，得到$(2x - 1)^2=\dfrac{36}{4} = 9$。
根据平方根的定义，若$a^2 = b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，所以$2x - 1=\pm\sqrt{9}=\pm3$。
当$2x - 1 = 3$时：
等式两边同时加$1$，得到$2x=3 + 1$，即$2x = 4$。
等式两边再同时除以$2$，解得$x = 2$。
当$2x - 1=-3$时：
等式两边同时加$1$，得到$2x=-3 + 1$，即$2x=-2$。
等式两边再同时除以$2$，解得$x=-1$。
综上，$x = 2$或$x=-1$。
$(2)$ 求解$8(3x - 1)^3=\dfrac{125}{8}$中$x$的值
解：
首先，对等式两边同时除以$8$，得到$(3x - 1)^3=\dfrac{125}{8}÷8=\dfrac{125}{64}$。
根据立方根的定义，若$a^3 = b$，则$a=\sqrt[3]{b}$，所以$3x - 1=\sqrt[3]{\dfrac{125}{64}}$。
因为$\sqrt[3]{\dfrac{125}{64}}=\dfrac{5}{4}$，则$3x - 1=\dfrac{5}{4}$。
等式两边同时加$1$，得到$3x=\dfrac{5}{4}+1=\dfrac{5 + 4}{4}=\dfrac{9}{4}$。
等式两边再同时除以$3$，解得$x=\dfrac{9}{4}÷3=\dfrac{9}{4}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}$。
综上，$x=\dfrac{3}{4}$。
所以，$(1)$$\boldsymbol{x = 2}$或$\boldsymbol{x=-1}$；$(2)$$\boldsymbol{x=\dfrac{3}{4}}$。
17. 求下面各式的值：
（1）$\sqrt{(-4)^{2}}×\sqrt{2\dfrac{1}{4}}-(-2)^{3}×\sqrt[3]{(-\dfrac{1}{8})^{2}}$；
（2）（2025·南通期末）$(-\sqrt{3})^{2}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}-\sqrt[3]{-0.125}+\sqrt{(-4)^{2}}-\vert-6\vert$。
（1）$\sqrt{(-4)^{2}}×\sqrt{2\dfrac{1}{4}}-(-2)^{3}×\sqrt[3]{(-\dfrac{1}{8})^{2}}$；
（2）（2025·南通期末）$(-\sqrt{3})^{2}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}-\sqrt[3]{-0.125}+\sqrt{(-4)^{2}}-\vert-6\vert$。
答案：$(1)$
解：
$\begin{aligned}&\sqrt{(-4)^{2}}×\sqrt{2\frac{1}{4}} - (-2)^{3}×\sqrt[3]{(-\frac{1}{8})^{2}}\\=&\sqrt{16}×\sqrt{\frac{9}{4}} - (-8)×\sqrt[3]{\frac{1}{64}}\\=&4×\frac{3}{2} - (-8)×\frac{1}{4}\\=&6 + 2\\=&8\end{aligned}$
$(2)$
解：
$\begin{aligned}&(-\sqrt{3})^{2}-\sqrt{\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{-0.125}+\sqrt{(-4)^{2}}-\vert -6\vert\\=&3 - \frac{1}{2} - (-0.5) + 4 - 6\\=&3 - \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4 - 6\\=&(3 + 4 - 6)+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})\\=&1 + 0\\=&1\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)\boldsymbol{8}$；$(2)\boldsymbol{1}$。
解：
$\begin{aligned}&\sqrt{(-4)^{2}}×\sqrt{2\frac{1}{4}} - (-2)^{3}×\sqrt[3]{(-\frac{1}{8})^{2}}\\=&\sqrt{16}×\sqrt{\frac{9}{4}} - (-8)×\sqrt[3]{\frac{1}{64}}\\=&4×\frac{3}{2} - (-8)×\frac{1}{4}\\=&6 + 2\\=&8\end{aligned}$
$(2)$
解：
$\begin{aligned}&(-\sqrt{3})^{2}-\sqrt{\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{-0.125}+\sqrt{(-4)^{2}}-\vert -6\vert\\=&3 - \frac{1}{2} - (-0.5) + 4 - 6\\=&3 - \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4 - 6\\=&(3 + 4 - 6)+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})\\=&1 + 0\\=&1\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)\boldsymbol{8}$；$(2)\boldsymbol{1}$。
18. 如图，实数$-\sqrt{5}$，$-1$，$\sqrt{5}$，$4$在数轴上所对应的点分别为$B$，$A$，$D$，$C$。
(1)点$C$与点$D$之间的距离为
(2)记点$A$与点$B$之间的距离为$a$，点$C$与点$D$之间的距离为$b$，求$a-b$的值。
(1)点$C$与点$D$之间的距离为
$4-\sqrt{5}$
；(2)记点$A$与点$B$之间的距离为$a$，点$C$与点$D$之间的距离为$b$，求$a-b$的值。
答案：18.(1)$4-\sqrt{5}$
(2)$\because$数轴上点$A$,$B$分别表示数$-1$和$-\sqrt{5}$,$\therefore$点$A$与点$B$之间的距离$a=|-1-(-\sqrt{5})|=\sqrt{5}-1$.由(1),知$b=4-\sqrt{5}$.$\therefore a - b=(\sqrt{5}-1)-(4-\sqrt{5})=\sqrt{5}-1-4+\sqrt{5}=-5 + 2\sqrt{5}$.$\therefore a - b$的值为$-5 + 2\sqrt{5}$
(2)$\because$数轴上点$A$,$B$分别表示数$-1$和$-\sqrt{5}$,$\therefore$点$A$与点$B$之间的距离$a=|-1-(-\sqrt{5})|=\sqrt{5}-1$.由(1),知$b=4-\sqrt{5}$.$\therefore a - b=(\sqrt{5}-1)-(4-\sqrt{5})=\sqrt{5}-1-4+\sqrt{5}=-5 + 2\sqrt{5}$.$\therefore a - b$的值为$-5 + 2\sqrt{5}$