1. 已知 $ x,y,z $ 是未知数，下列方程属于二元一次方程的是(
A.$ x^{2}+x = 10 $
B.$ \frac{1}{x}+5y = 8 $
C.$ \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y = 5 $
D.$ 6z = 2x+3y $
C
)A.$ x^{2}+x = 10 $
B.$ \frac{1}{x}+5y = 8 $
C.$ \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y = 5 $
D.$ 6z = 2x+3y $
答案：1.C
2. 二元一次方程 $ x+3y = 10 $ 的正整数解的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案：2.C
解析：
由方程$x + 3y = 10$得$x = 10 - 3y$。
因为$x$，$y$为正整数，所以$x＞0$，$y＞0$，即：
当$y = 1$时，$x = 10 - 3×1 = 7$；
当$y = 2$时，$x = 10 - 3×2 = 4$；
当$y = 3$时，$x = 10 - 3×3 = 1$；
当$y = 4$时，$x = 10 - 3×4 = -2$（不符合正整数要求）。
故正整数解为$(7,1)$，$(4,2)$，$(1,3)$，共3个。
C
因为$x$，$y$为正整数，所以$x＞0$，$y＞0$，即：
当$y = 1$时，$x = 10 - 3×1 = 7$；
当$y = 2$时，$x = 10 - 3×2 = 4$；
当$y = 3$时，$x = 10 - 3×3 = 1$；
当$y = 4$时，$x = 10 - 3×4 = -2$（不符合正整数要求）。
故正整数解为$(7,1)$，$(4,2)$，$(1,3)$，共3个。
C
3. 已知三元一次方程组 $ \begin{cases}5x+4y+z = 0,\\3x+y-4z = 11,\\x+y+z = -2,\end{cases}$ 消去未知数 $ z $ 后，得到的二元一次方程组是（ ）
A.$ \begin{cases}4x+3y = 2,\\7x+5y = 3\end{cases} $
B.$ \begin{cases}4x+3y = 2,\\23x+5y = 11\end{cases} $
C.$ \begin{cases}3x+4y = 2,\\7x+5y = 3\end{cases} $
D.$ \begin{cases}3x+4y = 2,\\23x+17y = 11\end{cases} $
A.$ \begin{cases}4x+3y = 2,\\7x+5y = 3\end{cases} $
B.$ \begin{cases}4x+3y = 2,\\23x+5y = 11\end{cases} $
C.$ \begin{cases}3x+4y = 2,\\7x+5y = 3\end{cases} $
D.$ \begin{cases}3x+4y = 2,\\23x+17y = 11\end{cases} $
答案：3.A
解析：
解：$\begin{cases}5x + 4y + z = 0, \quad①\\3x + y - 4z = 11, \quad②\\x + y + z = -2, \quad③\end{cases}$
$① - ③$，得$4x + 3y = 2$；
$② + 4×③$，得$7x + 5y = 3$。
得到的二元一次方程组是$\begin{cases}4x + 3y = 2,\\7x + 5y = 3\end{cases}$
A
$① - ③$，得$4x + 3y = 2$；
$② + 4×③$，得$7x + 5y = 3$。
得到的二元一次方程组是$\begin{cases}4x + 3y = 2,\\7x + 5y = 3\end{cases}$
A
4. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}ax - by = 4,\\ax + by = 2\end{cases}$ 的解为 $ \begin{cases}x = -1,\\y = 2,\end{cases}$ 则 $ a - 2b $ 的值为( )
A.4
B.-2
C.2
D.-4
A.4
B.-2
C.2
D.-4
答案：4.B
解析：
将$\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax - by = 4\\ax + by = 2\end{cases}$，得：
$\begin{cases}-a - 2b = 4 \\-a + 2b = 2\end{cases}$
两式相加：$-2a = 6\Rightarrow a = -3$
将$a = -3$代入$-a - 2b = 4$：$3 - 2b = 4\Rightarrow -2b = 1\Rightarrow b = -\frac{1}{2}$
$a - 2b = -3 - 2×(-\frac{1}{2}) = -3 + 1 = -2$
B
$\begin{cases}-a - 2b = 4 \\-a + 2b = 2\end{cases}$
两式相加：$-2a = 6\Rightarrow a = -3$
将$a = -3$代入$-a - 2b = 4$：$3 - 2b = 4\Rightarrow -2b = 1\Rightarrow b = -\frac{1}{2}$
$a - 2b = -3 - 2×(-\frac{1}{2}) = -3 + 1 = -2$
B
5. 五一小长假，小华和家人到公园游玩，湖边有大、小两种游船. 小华发现 1 艘大船与 2 艘小船一次共可以满载游客 32 人，2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人，则 1 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客的人数为(
A.30
B.26
C.24
D.22
B
)A.30
B.26
C.24
D.22
答案：5.B
解析：
设1艘大船一次可满载游客$x$人，1艘小船一次可满载游客$y$人。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + 2y = 32 \\2x + y = 46\end{cases}$
将两式相加：$(x + 2y) + (2x + y) = 32 + 46$
$3x + 3y = 78$
两边同时除以3：$x + y = 26$
1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人。
B
根据题意，得：
$\begin{cases}x + 2y = 32 \\2x + y = 46\end{cases}$
将两式相加：$(x + 2y) + (2x + y) = 32 + 46$
$3x + 3y = 78$
两边同时除以3：$x + y = 26$
1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人。
B
6. 方程组 $ \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=x + y - 4 $ 的解是.
答案：6.$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$
解析：
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=k$，则$x = 3k$，$y = 2k$。
因为$\frac{x}{3}=x + y - 4$，所以$k=3k + 2k - 4$。
解得$k = 1$。
则$x=3×1=3$，$y=2×1=2$。
$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$
因为$\frac{x}{3}=x + y - 4$，所以$k=3k + 2k - 4$。
解得$k = 1$。
则$x=3×1=3$，$y=2×1=2$。
$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$
7. 已知 $ \begin{cases}x = 2,\\y = -1\end{cases}$ 是关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ 2x + my = 7 $ 的解，则 $ m $ 的值为 ______ .
答案：7.$-3$
解析：
将$x = 2$，$y=-1$代入方程$2x + my = 7$，得$2×2 + m×(-1)=7$，即$4 - m = 7$，解得$m=-3$。
$-3$
$-3$
8. 某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费 48 元购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买 1 件. 其中甲种奖品每件 4 元，乙种奖品每件 3 元，则有
3
种购买方案.答案：8.$3$
解析：
设购买甲种奖品$x$件，乙种奖品$y$件，其中$x$，$y$为正整数。
根据题意，得$4x + 3y = 48$，
整理，得$y=\frac{48 - 4x}{3}=16-\frac{4x}{3}$。
因为$x$，$y$为正整数，所以$x$必须是$3$的倍数。
当$x = 3$时，$y=16-\frac{4×3}{3}=16 - 4=12$；
当$x = 6$时，$y=16-\frac{4×6}{3}=16 - 8=8$；
当$x = 9$时，$y=16-\frac{4×9}{3}=16 - 12=4$；
当$x = 12$时，$y=16-\frac{4×12}{3}=16 - 16=0$（不符合$y$为正整数，舍去）。
所以共有$3$种购买方案。
3
根据题意，得$4x + 3y = 48$，
整理，得$y=\frac{48 - 4x}{3}=16-\frac{4x}{3}$。
因为$x$，$y$为正整数，所以$x$必须是$3$的倍数。
当$x = 3$时，$y=16-\frac{4×3}{3}=16 - 4=12$；
当$x = 6$时，$y=16-\frac{4×6}{3}=16 - 8=8$；
当$x = 9$时，$y=16-\frac{4×9}{3}=16 - 12=4$；
当$x = 12$时，$y=16-\frac{4×12}{3}=16 - 16=0$（不符合$y$为正整数，舍去）。
所以共有$3$种购买方案。
3
9. 在一次剪纸活动中，小聪依次剪出 6 张正方形纸片，拼成如图所示的图形. 若小聪所拼得的图形中正方形①的面积为 1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，则正方形⑤的面积为
36
.答案：9.$36$
10. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$ 的解是 $ \begin{cases}x = 3,\\y = 4,\end{cases}$ 则关于 $ m,n $ 的方程组 $ \begin{cases}3a_{1}m + b_{1}(n + 2) = c_{1},\\3a_{2}m + b_{2}(n + 2) = c_{2}\end{cases}$ 的解是 ______ .
答案：10.$\begin{cases}m = 1,\ = 2\end{cases}$