1. (教材P24练习第1题变式)如图，∠1 = ∠2，∠4 = ∠B，∠ADF = 90°。求证：GF⊥BC。
阅读下面的解答过程，填空并填写理由。
证明：∵ ∠4 = ∠B（已知），∴ AB//
∴ ∠2 = ∠3（
∵ ∠1 = ∠2（已知），∴ ∠1 = ∠3（
∴ AD//
∴ ∠ADF +
又∵ ∠ADF = 90°（已知），∴ ∠GFD = 90°。
∴ GF⊥BC（
阅读下面的解答过程，填空并填写理由。
证明：∵ ∠4 = ∠B（已知），∴ AB//
ED
（同位角相等，两直线平行
）。∴ ∠2 = ∠3（
两直线平行，内错角相等
）。∵ ∠1 = ∠2（已知），∴ ∠1 = ∠3（
等式的基本事实
）。∴ AD//
GF
。∴ ∠ADF +
∠GFD
= 180°（两直线平行，同旁内角互补
）。又∵ ∠ADF = 90°（已知），∴ ∠GFD = 90°。
∴ GF⊥BC（
垂直的定义
）。答案：1. ED 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 等式的基本事实 GF ∠GFD 两直线平行，同旁内角互补 垂直的定义
解析：
证明：
∵ ∠4 = ∠B（已知），
∴ AB//ED（同位角相等，两直线平行）。
∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠1 = ∠2（已知），
∴ ∠1 = ∠3（等式的基本事实）。
∴ AD//GF。
∴ ∠ADF + ∠GFD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ ∠ADF = 90°（已知），
∴ ∠GFD = 90°。
∴ GF⊥BC（垂直的定义）。
∵ ∠4 = ∠B（已知），
∴ AB//ED（同位角相等，两直线平行）。
∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠1 = ∠2（已知），
∴ ∠1 = ∠3（等式的基本事实）。
∴ AD//GF。
∴ ∠ADF + ∠GFD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ ∠ADF = 90°（已知），
∴ ∠GFD = 90°。
∴ GF⊥BC（垂直的定义）。
2. 如图，AB//CD，∠B = ∠D，直线EF与AD及BC的延长线分别交于点E，F。求证：∠DEF = ∠F。
答案：2.
∵ AB//CD,
∴ ∠DCF = ∠B.
∵ ∠B = ∠D,
∴ ∠DCF = ∠D.
∴ AD//BC.
∴ ∠DEF = ∠F
∵ AB//CD,
∴ ∠DCF = ∠B.
∵ ∠B = ∠D,
∴ ∠DCF = ∠D.
∴ AD//BC.
∴ ∠DEF = ∠F
3. 如图，∠E = ∠1，∠3 + ∠ABC = 180°，BE是∠ABC的平分线。求证：DF//AB。
答案：3.
∵ BE 是∠ABC 的平分线,
∴ ∠1 = ∠2.
∵ ∠E = ∠1,
∴ ∠E = ∠2.
∴ AE//BC.
∴ ∠ABC + ∠A = 180°.
∵ ∠3 + ∠ABC = 180°,
∴ ∠3 = ∠A.
∴ DF//AB
∵ BE 是∠ABC 的平分线,
∴ ∠1 = ∠2.
∵ ∠E = ∠1,
∴ ∠E = ∠2.
∴ AE//BC.
∴ ∠ABC + ∠A = 180°.
∵ ∠3 + ∠ABC = 180°,
∴ ∠3 = ∠A.
∴ DF//AB
4. (教材P25习题7.3第3题变式)完成下面的证明推理过程，并在括号里填上依据。
如图，DE//BC，DF，BE分别平分∠ADE和∠ABC。求证：∠FDE = ∠DEB。
证明：∵ DE//BC（已知），
∴ ∠ADE =
∵ DF，BE分别平分∠ADE和∠ABC（已知），
∴ ∠ADF = $\frac{1}{2}$∠ADE，∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC（
∴ ∠ADF = ∠ABE。∴
∴ ∠FDE =
如图，DE//BC，DF，BE分别平分∠ADE和∠ABC。求证：∠FDE = ∠DEB。
证明：∵ DE//BC（已知），
∴ ∠ADE =
∠ABC
（两直线平行，同位角相等
）。∵ DF，BE分别平分∠ADE和∠ABC（已知），
∴ ∠ADF = $\frac{1}{2}$∠ADE，∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC（
角的平分线的定义
）。∴ ∠ADF = ∠ABE。∴
DF
//BE
（同位角相等，两直线平行
）。∴ ∠FDE =
∠DEB
（两直线平行，内错角相等
）。答案：4. ∠ABC 两直线平行，同位角相等 角的平分线的定义 DF BE 同位角相等，两直线平行 ∠DEB 两直线平行，内错角相等
解析：
证明：
∵ DE//BC（已知），
∴ ∠ADE = ∠ABC（两直线平行，同位角相等）。
∵ DF，BE分别平分∠ADE和∠ABC（已知），
∴ ∠ADF = $\frac{1}{2}$∠ADE，∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC（角的平分线的定义）。
∴ ∠ADF = ∠ABE。
∴ DF//BE（同位角相等，两直线平行）。
∴ ∠FDE = ∠DEB（两直线平行，内错角相等）。
∵ DE//BC（已知），
∴ ∠ADE = ∠ABC（两直线平行，同位角相等）。
∵ DF，BE分别平分∠ADE和∠ABC（已知），
∴ ∠ADF = $\frac{1}{2}$∠ADE，∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC（角的平分线的定义）。
∴ ∠ADF = ∠ABE。
∴ DF//BE（同位角相等，两直线平行）。
∴ ∠FDE = ∠DEB（两直线平行，内错角相等）。