9. 如图，$ AB // CD $，$ \angle 1 = \angle B $，$ \angle 2 = \angle D $。求证：$ BE ⊥ DE $。
答案：9.过点E向左作EF//AB.
∵AB//CD,
∴EF//CD.
∴∠DEF=∠D.又
∵∠D=∠2,
∴∠DEF=∠2.同理,由EF//AB,∠1=∠B,可得∠BEF=∠1.又
∵∠1+∠2+∠BEF+∠DEF=180°,
∴∠1+∠2=∠BEF+∠DEF=∠BED=90°.
∴BE⊥DE
∵AB//CD,
∴EF//CD.
∴∠DEF=∠D.又
∵∠D=∠2,
∴∠DEF=∠2.同理,由EF//AB,∠1=∠B,可得∠BEF=∠1.又
∵∠1+∠2+∠BEF+∠DEF=180°,
∴∠1+∠2=∠BEF+∠DEF=∠BED=90°.
∴BE⊥DE
10. 若 $ \angle \alpha $ 与 $ \angle \beta $ 的两边分别平行，且 $ \angle \alpha = (2x + 10)^{\circ} $，$ \angle \beta = (3x - 20)^{\circ} $，则 $ \angle \alpha $ 的度数为(
A.$ 70^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $ 或 $ 86^{\circ} $
C.$ 86^{\circ} $
D.$ 30^{\circ} $ 或 $ 38^{\circ} $
B
)A.$ 70^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $ 或 $ 86^{\circ} $
C.$ 86^{\circ} $
D.$ 30^{\circ} $ 或 $ 38^{\circ} $
答案：10.B
解析：
∵∠α与∠β的两边分别平行，
∴∠α=∠β或∠α+∠β=180°。
当∠α=∠β时，
2x+10=3x-20，
解得x=30，
∠α=(2×30+10)°=70°。
当∠α+∠β=180°时，
2x+10+3x-20=180，
5x=190，
解得x=38，
∠α=(2×38+10)°=86°。
综上，∠α的度数为70°或86°。
答案：B
11. 在直线 $ MN $ 上取一点 $ P $，过点 $ P $ 作射线 $ PA $，$ PB $。若 $ PA ⊥ PB $，则当 $ \angle MPA = 40^{\circ} $ 时，$ \angle NPB $ 的度数是
50°或130°
。答案：11.50°或130°
解析：
- 当射线 $PA$，$PB$ 在直线 $MN$ 同侧时：
$\angle APB = 90°$，$\angle MPA = 40°$，
$\angle MPB = \angle MPA + \angle APB = 40° + 90° = 130°$，
$\angle NPB = 180° - \angle MPB = 180° - 130° = 50°$。
当射线 $PA$，$PB$ 在直线 $MN$ 异侧时：
$\angle APB = 90°$，$\angle MPA = 40°$，
$\angle NPA = 180° - \angle MPA = 180° - 40° = 140°$，
$\angle NPB = \angle NPA - \angle APB = 140° - 90° = 50°$（此处原解析有误，应为$\angle NPB = \angle NPA - \angle APB = 140° - 90° = 50°$，但根据正确逻辑，异侧时应为$\angle NPB = \angle APB + \angle NPA' = 90° + 40° = 130°$，其中$\angle NPA' = \angle MPA = 40°$），
综上，$\angle NPB$ 的度数是 $50°$ 或 $130°$。
50°或130°
$\angle APB = 90°$，$\angle MPA = 40°$，
$\angle MPB = \angle MPA + \angle APB = 40° + 90° = 130°$，
$\angle NPB = 180° - \angle MPB = 180° - 130° = 50°$。
当射线 $PA$，$PB$ 在直线 $MN$ 异侧时：
$\angle APB = 90°$，$\angle MPA = 40°$，
$\angle NPA = 180° - \angle MPA = 180° - 40° = 140°$，
$\angle NPB = \angle NPA - \angle APB = 140° - 90° = 50°$（此处原解析有误，应为$\angle NPB = \angle NPA - \angle APB = 140° - 90° = 50°$，但根据正确逻辑，异侧时应为$\angle NPB = \angle APB + \angle NPA' = 90° + 40° = 130°$，其中$\angle NPA' = \angle MPA = 40°$），
综上，$\angle NPB$ 的度数是 $50°$ 或 $130°$。
50°或130°
12. 如图，直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ EO ⊥ CD $ 于点 $ O $。
（1）若 $ \angle AOC = 36^{\circ} $，求 $ \angle BOE $ 的度数；
（2）若 $ \angle BOD : \angle BOC = 1 : 5 $，求 $ \angle AOE $ 的度数；
（3）在（2）的条件下，请先过点 $ O $ 作直线 $ MN ⊥ AB $，并在直线 $ MN $ 上取一点 $ F $（点 $ F $ 与点 $ O $ 不重合），然后求出 $ \angle EOF $ 的度数。
（1）若 $ \angle AOC = 36^{\circ} $，求 $ \angle BOE $ 的度数；
（2）若 $ \angle BOD : \angle BOC = 1 : 5 $，求 $ \angle AOE $ 的度数；
（3）在（2）的条件下，请先过点 $ O $ 作直线 $ MN ⊥ AB $，并在直线 $ MN $ 上取一点 $ F $（点 $ F $ 与点 $ O $ 不重合），然后求出 $ \angle EOF $ 的度数。
答案：
12.(1)
∵EO⊥CD,
∴∠DOE=90°.又
∵∠BOD=∠AOC=36°,
∴∠BOE=90°−36°=54° (2)
∵∠BOD:∠BOC=1:5,
∴∠BOD=$\frac{1}{6}$∠COD=30°.
∴∠AOC=30°.又
∵EO⊥CD,
∴∠COE=90°.
∴∠AOE=90°+30°=120° (3)如图，分两种情况讨论:当点F在射线OM上时，
∵EO⊥CD,
∴∠DOE=90°.
∴∠BOE=90°−∠BOD=60°.
∵MN⊥AB,
∴∠BOM=∠BON=90°.
∴∠EOF=∠BOM−∠BOE=30°.当点F在射线ON上时，即在点F'处时，易得∠EOF'=∠BOE+∠BON=60°+90°=150°.综上所述,∠EOF的度数为30°或150°
12.(1)
∵EO⊥CD,
∴∠DOE=90°.又
∵∠BOD=∠AOC=36°,
∴∠BOE=90°−36°=54° (2)
∵∠BOD:∠BOC=1:5,
∴∠BOD=$\frac{1}{6}$∠COD=30°.
∴∠AOC=30°.又
∵EO⊥CD,
∴∠COE=90°.
∴∠AOE=90°+30°=120° (3)如图，分两种情况讨论:当点F在射线OM上时，
∵EO⊥CD,
∴∠DOE=90°.
∴∠BOE=90°−∠BOD=60°.
∵MN⊥AB,
∴∠BOM=∠BON=90°.
∴∠EOF=∠BOM−∠BOE=30°.当点F在射线ON上时，即在点F'处时，易得∠EOF'=∠BOE+∠BON=60°+90°=150°.综上所述,∠EOF的度数为30°或150°
13. （新考法·新定义题）我们已经学习了同旁内角的定义。类似地，现规定：如图①，具有 $ \angle 1 $ 与 $ \angle 2 $ 这种位置关系的两个角叫作同旁外角。
（1）请在图①中再找出一对同旁外角，分别用 $ \angle 3 $，$ \angle 4 $ 在图①中标记出来；
（2）如图②，直线 $ a // b $，当 $ \angle 1 = 125^{\circ} $ 时，求 $ \angle 2 $ 的度数；
（3）如图③，当 $ \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} $ 时，试说明直线 $ a // b $，并用文字叙述由此你能得出的结论。
（1）请在图①中再找出一对同旁外角，分别用 $ \angle 3 $，$ \angle 4 $ 在图①中标记出来；
（2）如图②，直线 $ a // b $，当 $ \angle 1 = 125^{\circ} $ 时，求 $ \angle 2 $ 的度数；
（3）如图③，当 $ \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} $ 时，试说明直线 $ a // b $，并用文字叙述由此你能得出的结论。
答案：
13.(1)如图①，∠3与∠4互为同旁外角 (2)如图②.
∵直线a//b,
∴∠3+∠4=180°.又
∵∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠1+∠2=180°.
∵∠1=125°,
∴∠2=180°−∠1=55° (3)如图③.
∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,
∴∠2=∠3.
∴a//b 结论:同旁外角互补，两直线平行
13.(1)如图①，∠3与∠4互为同旁外角 (2)如图②.
∵直线a//b,
∴∠3+∠4=180°.又
∵∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠1+∠2=180°.
∵∠1=125°,
∴∠2=180°−∠1=55° (3)如图③.
∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,
∴∠2=∠3.
∴a//b 结论:同旁外角互补，两直线平行