1. 如图，直线 $ AB $ 与直线 $ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE ⊥ AB $，垂足为 $ O $。若 $ \angle EOD = \frac{1}{3} \angle AOC $，则 $ \angle BOC $ 的度数为(
A.$ 112.5^{\circ} $
B.$ 135^{\circ} $
C.$ 140^{\circ} $
D.$ 157.5^{\circ} $
A
)A.$ 112.5^{\circ} $
B.$ 135^{\circ} $
C.$ 140^{\circ} $
D.$ 157.5^{\circ} $
答案：1.A
解析：
解：设$\angle AOC = x$，则$\angle EOD = \frac{1}{3}x$。
因为直线$AB$与$CD$相交于点$O$，所以$\angle AOC = \angle BOD = x$（对顶角相等）。
因为$OE ⊥ AB$，所以$\angle EOB = 90°$。
又因为$\angle EOD + \angle DOB = \angle EOB$，所以$\frac{1}{3}x + x = 90°$，解得$x = 67.5°$。
因为$\angle AOC + \angle BOC = 180°$（邻补角互补），所以$\angle BOC = 180° - 67.5° = 112.5°$。
A
因为直线$AB$与$CD$相交于点$O$，所以$\angle AOC = \angle BOD = x$（对顶角相等）。
因为$OE ⊥ AB$，所以$\angle EOB = 90°$。
又因为$\angle EOD + \angle DOB = \angle EOB$，所以$\frac{1}{3}x + x = 90°$，解得$x = 67.5°$。
因为$\angle AOC + \angle BOC = 180°$（邻补角互补），所以$\angle BOC = 180° - 67.5° = 112.5°$。
A
2. 如图，$ OA ⊥ OB $，$ OC ⊥ OD $，$ \angle BOA : \angle AOD = 2 : 3 $，则 $ \angle BOD $ 的度数为
135°
。答案：2.135°
解析：
解：
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠BOA:∠AOD=2:3，
∴90°:∠AOD=2:3，
∴∠AOD=135°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∵∠AOB+∠AOC=∠BOC，∠AOC+∠COD=∠AOD，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+∠AOC，
∠AOD=∠AOC+∠COD=∠AOC+90°=135°，
∴∠AOC=135°-90°=45°，
∴∠BOC=90°+45°=135°，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=135°+90°=225°（不符合实际，舍去）或∠BOD=360°-∠AOB-∠AOD=360°-90°-135°=135°，
∴∠BOD=135°。
135°
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠BOA:∠AOD=2:3，
∴90°:∠AOD=2:3，
∴∠AOD=135°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∵∠AOB+∠AOC=∠BOC，∠AOC+∠COD=∠AOD，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+∠AOC，
∠AOD=∠AOC+∠COD=∠AOC+90°=135°，
∴∠AOC=135°-90°=45°，
∴∠BOC=90°+45°=135°，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=135°+90°=225°（不符合实际，舍去）或∠BOD=360°-∠AOB-∠AOD=360°-90°-135°=135°，
∴∠BOD=135°。
135°
3. 如图，$ \angle B = \angle BCD $，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ \angle B + \angle D = 180^{\circ} $，$ \angle ACB : \angle ACD = 1 : 2 $，则 $ \angle BAD $ 的度数为
112.5°
。答案：3.112.5° 解析:
∵∠B=∠BCD,∠B+∠D=180°,
∴∠D+∠BCD=180°.
∴AD//BC.
∴∠B+∠BAD=180°,∠ACB=∠CAD.
∵∠ACB:∠ACD=1:2,
∴设∠ACB=∠CAD=x,则∠ACD=2x.
∴∠B=∠BCD=3x.
∴∠B+∠BAD=3x+90°+x=180°.
∴x=22.5°.
∴∠BAD=90°+22.5°=112.5°.
∵∠B=∠BCD,∠B+∠D=180°,
∴∠D+∠BCD=180°.
∴AD//BC.
∴∠B+∠BAD=180°,∠ACB=∠CAD.
∵∠ACB:∠ACD=1:2,
∴设∠ACB=∠CAD=x,则∠ACD=2x.
∴∠B=∠BCD=3x.
∴∠B+∠BAD=3x+90°+x=180°.
∴x=22.5°.
∴∠BAD=90°+22.5°=112.5°.
4. 如图，直线 $ CD $，$ EF $ 交于点 $ O $，$ OA $，$ OB $ 分别平分 $ \angle COE $ 和 $ \angle DOE $，且 $ \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ} $。
（1）若 $ \angle 2 : \angle 3 = 2 : 5 $，求 $ \angle BOF $ 的度数；
（2）试判断 $ AB $ 与 $ CD $ 之间的位置关系，并说明理由。
（1）若 $ \angle 2 : \angle 3 = 2 : 5 $，求 $ \angle BOF $ 的度数；
（2）试判断 $ AB $ 与 $ CD $ 之间的位置关系，并说明理由。
答案：4.(1)
∵OB平分∠DOE,
∴∠BOE=∠2.
∵∠2:∠3=2:5,
∴设∠2=2α,则∠BOE=2α,∠3=5α.
∴∠BOF=∠2+∠3=7α.
∵∠BOE+∠BOF=2α+7α=9α=180°,
∴α=20°.
∴∠BOF=7α=140° (2)AB//CD 理由:
∵OA,OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠COE=2∠AOC,∠DOE=2∠2.
∵∠COE+∠DOE=2(∠AOC+∠2)=180°,
∴∠2+∠AOC=90°.
∵∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠AOC.
∴AB//CD.
∵OB平分∠DOE,
∴∠BOE=∠2.
∵∠2:∠3=2:5,
∴设∠2=2α,则∠BOE=2α,∠3=5α.
∴∠BOF=∠2+∠3=7α.
∵∠BOE+∠BOF=2α+7α=9α=180°,
∴α=20°.
∴∠BOF=7α=140° (2)AB//CD 理由:
∵OA,OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠COE=2∠AOC,∠DOE=2∠2.
∵∠COE+∠DOE=2(∠AOC+∠2)=180°,
∴∠2+∠AOC=90°.
∵∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠AOC.
∴AB//CD.
5. 如图，$ AD // BC $，$ BE $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AD $ 于点 $ E $，$ BD $ 平分 $ \angle EBC $。
（1）若 $ \angle DBC = 30^{\circ} $，求 $ \angle A $ 的度数。
（2）若点 $ F $ 在线段 $ AE $ 上，且 $ 7 \angle DBC - 2 \angle ABF = 180^{\circ} $，则图中是否存在与 $ \angle DFB $ 相等的角？若存在，请写出这个角并证明；若不存在，请说明理由。
（1）若 $ \angle DBC = 30^{\circ} $，求 $ \angle A $ 的度数。
（2）若点 $ F $ 在线段 $ AE $ 上，且 $ 7 \angle DBC - 2 \angle ABF = 180^{\circ} $，则图中是否存在与 $ \angle DFB $ 相等的角？若存在，请写出这个角并证明；若不存在，请说明理由。
答案：5.(1)
∵BD平分∠EBC，∠DBC=30°,
∴∠EBC=2∠DBC=60°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=120°.
∵AD//BC,
∴∠A+∠ABC=180°.
∴∠A=60°
(2)存在 ∠DBF=∠DFB 设∠DBC=x.
∵BD平分∠EBC,
∴∠EBC=2∠DBC=2x.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=4x.
∵7∠DBC−2∠ABF=180°,
∴7x−2∠ABF=180°.
∴∠ABF=$\frac{7}{2}$x−90°.
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=$\frac{1}{2}$x+90°,∠DBF=∠ABC−∠ABF−∠DBC=90°−$\frac{1}{2}$x.
∵AD//BC,
∴∠DFB+∠CBF=180°.
∴∠DFB=90°−$\frac{1}{2}$x.
∴∠DBF=∠DFB
∵BD平分∠EBC，∠DBC=30°,
∴∠EBC=2∠DBC=60°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=120°.
∵AD//BC,
∴∠A+∠ABC=180°.
∴∠A=60°
(2)存在 ∠DBF=∠DFB 设∠DBC=x.
∵BD平分∠EBC,
∴∠EBC=2∠DBC=2x.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=4x.
∵7∠DBC−2∠ABF=180°,
∴7x−2∠ABF=180°.
∴∠ABF=$\frac{7}{2}$x−90°.
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=$\frac{1}{2}$x+90°,∠DBF=∠ABC−∠ABF−∠DBC=90°−$\frac{1}{2}$x.
∵AD//BC,
∴∠DFB+∠CBF=180°.
∴∠DFB=90°−$\frac{1}{2}$x.
∴∠DBF=∠DFB
6. 如图，$ AB // CD $，$ \angle E = 90^{\circ} $，$ \angle 1 = 55^{\circ} $，则 $ \angle B $ 的度数为
35°
。答案：6.35°
解析：
解：设AB与EF交于点G。
∵AB//CD，
∴∠AGE=∠1=55°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠E=90°，
∴∠B=180°-∠E-∠AGE=180°-90°-55°=35°。
35°
∵AB//CD，
∴∠AGE=∠1=55°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠E=90°，
∴∠B=180°-∠E-∠AGE=180°-90°-55°=35°。
35°
7. 如图，$ AB // CD $，$ \angle ABE = 40^{\circ} $。若 $ CF $ 平分 $ \angle ECD $，且满足 $ CF // BE $，则 $ \angle ECD $ 的度数为
80°
。答案：7.80°
解析：
解：过点$E$作$EG // AB$，
因为$AB // CD$，所以$EG // CD$，
所以$\angle ABE = \angle BEG = 40^{\circ}$，$\angle GEC = \angle ECD$，
因为$CF // BE$，所以$\angle BEC = \angle ECF$，
因为$CF$平分$\angle ECD$，所以$\angle ECF = \frac{1}{2}\angle ECD$，
设$\angle ECD = x$，则$\angle GEC = x$，$\angle ECF = \frac{1}{2}x$，
所以$\angle BEC = \angle BEG + \angle GEC = 40^{\circ} + x$，
又因为$\angle BEC = \angle ECF$，所以$40^{\circ} + x = \frac{1}{2}x$，
解得$x = 80^{\circ}$，即$\angle ECD = 80^{\circ}$。
80°
因为$AB // CD$，所以$EG // CD$，
所以$\angle ABE = \angle BEG = 40^{\circ}$，$\angle GEC = \angle ECD$，
因为$CF // BE$，所以$\angle BEC = \angle ECF$，
因为$CF$平分$\angle ECD$，所以$\angle ECF = \frac{1}{2}\angle ECD$，
设$\angle ECD = x$，则$\angle GEC = x$，$\angle ECF = \frac{1}{2}x$，
所以$\angle BEC = \angle BEG + \angle GEC = 40^{\circ} + x$，
又因为$\angle BEC = \angle ECF$，所以$40^{\circ} + x = \frac{1}{2}x$，
解得$x = 80^{\circ}$，即$\angle ECD = 80^{\circ}$。
80°
8. 如图，在一块长 $ 20 \, \mathrm{m} $、宽 $ 14 \, \mathrm{m} $ 的长方形草地上有一条宽为 $ 2 \, \mathrm{m} $ 的曲折小路，则这块草地的绿地面积(空白部分)为
216
$ \mathrm{m}^2 $。答案：8.216
解析：
将曲折小路平移后，绿地部分可看作一个长为$20 - 2 = 18\,\mathrm{m}$，宽为$14 - 2 = 12\,\mathrm{m}$的长方形。绿地面积为$18×12 = 216\,\mathrm{m}^2$。
216
216