6. 如图，直线 $ m // n $，$ AB ⊥ BC $. 若 $ \angle 1 = 35^{\circ} $，$ \angle 2 = 62^{\circ} $，则 $ \angle BCD $ 的度数为(
A.$ 97^{\circ} $
B.$ 117^{\circ} $
C.$ 125^{\circ} $
D.$ 152^{\circ} $
B
)A.$ 97^{\circ} $
B.$ 117^{\circ} $
C.$ 125^{\circ} $
D.$ 152^{\circ} $
答案：
6.B 解析：如图，过点B作BE//m，过点C作CF//n.
∵m//n，
∴m//BE//CF//n.
∴∠ABE = ∠1 = 35°，∠BCF = ∠EBC，∠DCF = ∠2 = 62°.又
∵AB⊥BC，
∴∠ABC = 90°.
∴∠EBC = 90°−35° = 55°.
∴∠BCF = ∠EBC = 55°.
∴∠BCD = ∠BCF + ∠DCF = 55° + 62° = 117°.
6.B 解析：如图，过点B作BE//m，过点C作CF//n.
∵m//n，
∴m//BE//CF//n.
∴∠ABE = ∠1 = 35°，∠BCF = ∠EBC，∠DCF = ∠2 = 62°.又
∵AB⊥BC，
∴∠ABC = 90°.
∴∠EBC = 90°−35° = 55°.
∴∠BCF = ∠EBC = 55°.
∴∠BCD = ∠BCF + ∠DCF = 55° + 62° = 117°.
7. 如图，直线 $ AE // DF $. 若 $ \angle ABC = 120^{\circ} $，$ \angle DCB = 95^{\circ} $，则 $ \angle 1 + \angle 2 = $
35°
.答案：7.35°
解析：
解：过点$ B $作$ BG // AE $，过点$ C $作$ CH // DF $。
因为$ AE // DF $，所以$ BG // CH // AE // DF $。
所以$ \angle 1 = \angle ABG $，$ \angle 2 = \angle DCH $，$ \angle GBC + \angle HCB = 180° $。
因为$ \angle ABC = \angle ABG + \angle GBC = 120° $，$ \angle DCB = \angle DCH + \angle HCB = 95° $，
所以$ \angle 1 + \angle GBC + \angle 2 + \angle HCB = 120° + 95° = 215° $。
又因为$ \angle GBC + \angle HCB = 180° $，
所以$ \angle 1 + \angle 2 = 215° - 180° = 35° $。
$ 35° $
因为$ AE // DF $，所以$ BG // CH // AE // DF $。
所以$ \angle 1 = \angle ABG $，$ \angle 2 = \angle DCH $，$ \angle GBC + \angle HCB = 180° $。
因为$ \angle ABC = \angle ABG + \angle GBC = 120° $，$ \angle DCB = \angle DCH + \angle HCB = 95° $，
所以$ \angle 1 + \angle GBC + \angle 2 + \angle HCB = 120° + 95° = 215° $。
又因为$ \angle GBC + \angle HCB = 180° $，
所以$ \angle 1 + \angle 2 = 215° - 180° = 35° $。
$ 35° $
8. 如图，若 $ AB // EF $，$ \angle C = 90^{\circ} $，则 $ \alpha $，$ \beta $ 与 $ \gamma $ 之间的数量关系是
α + β - γ = 90°
.答案：8.α + β - γ = 90°
解析：
解：过点$C$作$CM// AB$，过点$D$作$DN// EF$。
因为$AB// EF$，所以$AB// CM// DN// EF$。
$\angle BCM = \alpha$，$\angle DCM = \angle CDN$，$\angle EDN = \gamma$。
因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle BCM + \angle DCM = 90^{\circ}$，即$\alpha + \angle CDN = 90^{\circ}$。
又因为$\beta = \angle CDN + \angle EDN = \angle CDN + \gamma$，所以$\angle CDN = \beta - \gamma$。
代入$\alpha + \angle CDN = 90^{\circ}$，得$\alpha + \beta - \gamma = 90^{\circ}$。
$\alpha + \beta - \gamma = 90^{\circ}$
因为$AB// EF$，所以$AB// CM// DN// EF$。
$\angle BCM = \alpha$，$\angle DCM = \angle CDN$，$\angle EDN = \gamma$。
因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle BCM + \angle DCM = 90^{\circ}$，即$\alpha + \angle CDN = 90^{\circ}$。
又因为$\beta = \angle CDN + \angle EDN = \angle CDN + \gamma$，所以$\angle CDN = \beta - \gamma$。
代入$\alpha + \angle CDN = 90^{\circ}$，得$\alpha + \beta - \gamma = 90^{\circ}$。
$\alpha + \beta - \gamma = 90^{\circ}$
9. 已知直线 $ AB // CD $，直线 $ GH $ 分别交 $ AB $，$ CD $ 于点 $ E $，$ F $.
(1) 如图①，$ \angle BEF $ 的平分线 $ EP $ 与 $ \angle DFE $ 的平分线 $ FP $ 交于点 $ P $，试探究 $ EP $ 与 $ FP $ 的位置关系；
(2) 如图②，$ P $ 为直线 $ AB $，$ CD $ 之间一点，作 $ \angle FEP $ 的平分线，与 $ \angle PFG $ 的平分线交于点 $ Q $，试探究 $ \angle Q $ 与 $ \angle EPF $ 之间的数量关系.
(1) 如图①，$ \angle BEF $ 的平分线 $ EP $ 与 $ \angle DFE $ 的平分线 $ FP $ 交于点 $ P $，试探究 $ EP $ 与 $ FP $ 的位置关系；
(2) 如图②，$ P $ 为直线 $ AB $，$ CD $ 之间一点，作 $ \angle FEP $ 的平分线，与 $ \angle PFG $ 的平分线交于点 $ Q $，试探究 $ \angle Q $ 与 $ \angle EPF $ 之间的数量关系.
答案：
9.(1)如图①，过点P作MN//CD.
∴∠MPF = ∠PFD.
∵AB//CD，
∴∠BEF + ∠DFE = 180°，AB//MN.
∴∠MPE = ∠PEB.
∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
∴∠PEB = $\frac{1}{2}$∠BEF，∠PFD = $\frac{1}{2}$∠DFE.
∴∠MPE + ∠MPF = $\frac{1}{2}$(∠BEF + ∠DFE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，即∠EPF = 90°.
∴EP⊥FP
(2)∠EPF = 2∠EQF 如图②，过点P作MN//CD，过点Q作KQ//CD，交HG于点K.设∠FEQ = α，∠GFQ = β，∠MPE = ∠1，∠MPF = ∠2，则∠EPF = ∠1 + ∠2.
∵MN//CD，KQ//CD，
∴∠PFD = ∠2，∠DFQ = ∠KQF.
∵AB//CD，
∴∠BEF + ∠DFE = 180°，AB//MN//CD//KQ.
∴∠PEB = ∠1.
∵EQ平分∠FEP，FQ平分∠PFG，
∴∠FEP = 2∠PEQ = 2∠FEQ = 2α，∠PFG = 2∠PFQ = 2∠GFQ = 2β.
∴∠PFE = 180°−∠PFG = 180°−2β.
∵∠EPF + ∠PEF + ∠EFP = ∠1 + ∠2 + 2α + 180°−2β = 180°，
∴∠1 + ∠2 = 2β−2α，即∠EPF = ∠1 + ∠2 = 2(β−α).
∵AB//KQ，
∴∠KQE = ∠QEB，即∠KQF + ∠FQE = ∠PEQ + ∠PEB.
∴∠EQF = ∠PEQ + ∠PEB−∠KQF = α + ∠1−∠DFQ = α + ∠1−(∠PFQ−∠PFD) = α + ∠1−(β−∠2) = ∠1 + ∠2−(β−α) = ∠EPF−$\frac{1}{2}$∠EPF = $\frac{1}{2}$∠EPF.
∴∠EPF = 2∠EQF
9.(1)如图①，过点P作MN//CD.
∴∠MPF = ∠PFD.
∵AB//CD，
∴∠BEF + ∠DFE = 180°，AB//MN.
∴∠MPE = ∠PEB.
∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
∴∠PEB = $\frac{1}{2}$∠BEF，∠PFD = $\frac{1}{2}$∠DFE.
∴∠MPE + ∠MPF = $\frac{1}{2}$(∠BEF + ∠DFE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，即∠EPF = 90°.
∴EP⊥FP
(2)∠EPF = 2∠EQF 如图②，过点P作MN//CD，过点Q作KQ//CD，交HG于点K.设∠FEQ = α，∠GFQ = β，∠MPE = ∠1，∠MPF = ∠2，则∠EPF = ∠1 + ∠2.
∵MN//CD，KQ//CD，
∴∠PFD = ∠2，∠DFQ = ∠KQF.
∵AB//CD，
∴∠BEF + ∠DFE = 180°，AB//MN//CD//KQ.
∴∠PEB = ∠1.
∵EQ平分∠FEP，FQ平分∠PFG，
∴∠FEP = 2∠PEQ = 2∠FEQ = 2α，∠PFG = 2∠PFQ = 2∠GFQ = 2β.
∴∠PFE = 180°−∠PFG = 180°−2β.
∵∠EPF + ∠PEF + ∠EFP = ∠1 + ∠2 + 2α + 180°−2β = 180°，
∴∠1 + ∠2 = 2β−2α，即∠EPF = ∠1 + ∠2 = 2(β−α).
∵AB//KQ，
∴∠KQE = ∠QEB，即∠KQF + ∠FQE = ∠PEQ + ∠PEB.
∴∠EQF = ∠PEQ + ∠PEB−∠KQF = α + ∠1−∠DFQ = α + ∠1−(∠PFQ−∠PFD) = α + ∠1−(β−∠2) = ∠1 + ∠2−(β−α) = ∠EPF−$\frac{1}{2}$∠EPF = $\frac{1}{2}$∠EPF.
∴∠EPF = 2∠EQF
10. 已知 $ AB // CD $，$ \angle ABE $ 与 $ \angle CDE $ 的平分线相交于点 $ F $.
(1) 如图①，若 $ \angle E = 80^{\circ} $，求 $ \angle BFD $ 的度数；
(2) 如图②，$ \angle ABM = \frac{1}{3} \angle ABF $，$ \angle CDM = \frac{1}{3} \angle CDF $，写出 $ \angle M $ 与 $ \angle E $ 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3) 如图②，若 $ \angle ABM = \frac{1}{n} \angle ABF $，$ \angle CDM = \frac{1}{n} \angle CDF $，设 $ \angle E = m $，直接用含 $ m $，$ n $ 的式子表示 $ \angle M $ 的度数.
(1) 如图①，若 $ \angle E = 80^{\circ} $，求 $ \angle BFD $ 的度数；
(2) 如图②，$ \angle ABM = \frac{1}{3} \angle ABF $，$ \angle CDM = \frac{1}{3} \angle CDF $，写出 $ \angle M $ 与 $ \angle E $ 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3) 如图②，若 $ \angle ABM = \frac{1}{n} \angle ABF $，$ \angle CDM = \frac{1}{n} \angle CDF $，设 $ \angle E = m $，直接用含 $ m $，$ n $ 的式子表示 $ \angle M $ 的度数.
答案：
10.(1)如图，分别过点E，F作EG//AB，FH//AB.
∵AB//CD，
∴EG//AB//FH//CD.
∴∠ABF = ∠BFH，∠CDF = ∠DFH，∠ABE + ∠BEG = 180°，∠GED + ∠CDE = 180°.
∴∠ABE + ∠BEG + ∠GED + ∠CDE = 360°.
∵∠BED = ∠BEG + ∠GED = 80°，
∴∠ABE + ∠CDE = 280°.
∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，
∴易得∠ABF + ∠CDF = 140°.
∵∠ABF = ∠BFH，∠DFH = ∠CDF，
∴∠BFD = ∠BFH + ∠DFH = ∠ABF + ∠CDF = 140°
(2)6∠M + ∠E = 360°
∵∠ABM = $\frac{1}{3}$∠ABF，∠CDM = $\frac{1}{3}$∠CDF，
∴∠ABF = 3∠ABM，∠CDF = 3∠CDM.
∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，
∴易得∠ABE = 6∠ABM，∠CDE = 6∠CDM.由(1)，易得∠ABE + ∠E + ∠CDE = 360°，
∴6∠ABM + 6∠CDM + ∠E = 360°.由题意，易得∠M = ∠ABM + ∠CDM，
∴6∠M + ∠E = 360°
(3)由(2)，易得2n∠ABM + 2n∠CDM + ∠E = 360°.
∵∠E = m，∠M = ∠ABM + ∠CDM，
∴∠M = $\frac{360° - m}{2n}$
10.(1)如图，分别过点E，F作EG//AB，FH//AB.
∵AB//CD，
∴EG//AB//FH//CD.
∴∠ABF = ∠BFH，∠CDF = ∠DFH，∠ABE + ∠BEG = 180°，∠GED + ∠CDE = 180°.
∴∠ABE + ∠BEG + ∠GED + ∠CDE = 360°.
∵∠BED = ∠BEG + ∠GED = 80°，
∴∠ABE + ∠CDE = 280°.
∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，
∴易得∠ABF + ∠CDF = 140°.
∵∠ABF = ∠BFH，∠DFH = ∠CDF，
∴∠BFD = ∠BFH + ∠DFH = ∠ABF + ∠CDF = 140°
(2)6∠M + ∠E = 360°
∵∠ABM = $\frac{1}{3}$∠ABF，∠CDM = $\frac{1}{3}$∠CDF，
∴∠ABF = 3∠ABM，∠CDF = 3∠CDM.
∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，
∴易得∠ABE = 6∠ABM，∠CDE = 6∠CDM.由(1)，易得∠ABE + ∠E + ∠CDE = 360°，
∴6∠ABM + 6∠CDM + ∠E = 360°.由题意，易得∠M = ∠ABM + ∠CDM，
∴6∠M + ∠E = 360°
(3)由(2)，易得2n∠ABM + 2n∠CDM + ∠E = 360°.
∵∠E = m，∠M = ∠ABM + ∠CDM，
∴∠M = $\frac{360° - m}{2n}$