9. （2025·南通期中）如图，$AB// CD$，$F$ 为 $AB$ 上一点，连接 $AC$，$DF$ 交于点 $E$，$\angle B = \angle D$。
（1）求证：$BC// DF$；
（2）若 $G$ 为 $BC$ 上一点，$FG// AC$，$\angle A + \angle B = 115^{\circ}$，求 $\angle GFE$ 的度数。
（1）求证：$BC// DF$；
（2）若 $G$ 为 $BC$ 上一点，$FG// AC$，$\angle A + \angle B = 115^{\circ}$，求 $\angle GFE$ 的度数。
答案：(1)
∵AB//CD,
∴∠D=∠AFD.
∵∠B=∠D,
∴∠AFD=∠B.
∴BC//DF (2)
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,且∠A+∠B=115°,
∴∠ACB=180°−115°=65°.
∵FG//AC,
∴∠FGB=∠ACB=65°.
∵BC//DF,
∴∠GFE=∠FGB=65°
∵AB//CD,
∴∠D=∠AFD.
∵∠B=∠D,
∴∠AFD=∠B.
∴BC//DF (2)
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,且∠A+∠B=115°,
∴∠ACB=180°−115°=65°.
∵FG//AC,
∴∠FGB=∠ACB=65°.
∵BC//DF,
∴∠GFE=∠FGB=65°
10. (2025·启东期中)下列选项中，可以用来说明命题“若 $|a|＞4$，则 $a＞4$”是假命题的反例是(
A.$a = -5$
B.$a = -4$
C.$a = -3$
D.$a = 5$
A
)A.$a = -5$
B.$a = -4$
C.$a = -3$
D.$a = 5$
答案：A
解析：
要说明命题“若$|a|＞4$，则$a＞4$”是假命题，需找到满足$|a|＞4$但$a≤4$的反例。
选项A：$a=-5$，$|a|=|-5|=5＞4$，而$-5＜4$，满足条件，是反例。
选项B：$a=-4$，$|a|=4$，不满足$|a|＞4$，不是反例。
选项C：$a=-3$，$|a|=3＜4$，不满足$|a|＞4$，不是反例。
选项D：$a=5$，$|a|=5＞4$且$5＞4$，是命题的正例，不是反例。
A
选项A：$a=-5$，$|a|=|-5|=5＞4$，而$-5＜4$，满足条件，是反例。
选项B：$a=-4$，$|a|=4$，不满足$|a|＞4$，不是反例。
选项C：$a=-3$，$|a|=3＜4$，不满足$|a|＞4$，不是反例。
选项D：$a=5$，$|a|=5＞4$且$5＞4$，是命题的正例，不是反例。
A
11. 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设为
两条直线垂直于同一条直线
。答案：两条直线垂直于同一条直线
12. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $CD$ 两方的延长线上，连接 $FA$。若 $\angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$，$\angle B = \angle 1$，求证：$\angle 4 = \angle F$。
答案：
∵点E在CD的延长线上，
∴∠2+∠1=180°.
∵∠2+∠3=180°,
∴∠3=∠1.又
∵∠B=∠1,
∴∠B=∠3.
∴AB//FD.
∴∠4=∠F
∵点E在CD的延长线上，
∴∠2+∠1=180°.
∵∠2+∠3=180°,
∴∠3=∠1.又
∵∠B=∠1,
∴∠B=∠3.
∴AB//FD.
∴∠4=∠F
13. 如图，三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 的长为 $5\mathrm{cm}$，将三角形 $ABC$ 向上平移 $2\mathrm{cm}$ 得到三角形 $A'B'C'$，且 $BB'⊥ BC$，则阴影部分的面积为(
A.$5\mathrm{cm}^2$
B.$10\mathrm{cm}^2$
C.$20\mathrm{cm}^2$
D.$30\mathrm{cm}^2$
B
)A.$5\mathrm{cm}^2$
B.$10\mathrm{cm}^2$
C.$20\mathrm{cm}^2$
D.$30\mathrm{cm}^2$
答案：B
解析：
解：由平移性质得，$B'C'=BC=5\mathrm{cm}$，$BB'=2\mathrm{cm}$，且$BB'⊥BC$，$CC'⊥BC$，
故阴影部分为梯形$BB'C'C$，
其面积为$\frac{1}{2}× (BB'+CC')× BC=\frac{1}{2}× (2+2)× 5=10\mathrm{cm}^2$。
答案：B
故阴影部分为梯形$BB'C'C$，
其面积为$\frac{1}{2}× (BB'+CC')× BC=\frac{1}{2}× (2+2)× 5=10\mathrm{cm}^2$。
答案：B
14. 如图，$CA⊥ BE$ 于点 $A$，$AD⊥ BF$ 于点 $D$。下列说法正确的是(
A.$\angle \alpha$ 与 $\angle B$ 是同位角
B.$\angle \alpha$ 的邻补角是 $\angle DAC$
C.$\angle ACF$ 是 $\angle \alpha$ 的余角
D.$\angle \alpha$ 与 $\angle ACF$ 互补
D
)A.$\angle \alpha$ 与 $\angle B$ 是同位角
B.$\angle \alpha$ 的邻补角是 $\angle DAC$
C.$\angle ACF$ 是 $\angle \alpha$ 的余角
D.$\angle \alpha$ 与 $\angle ACF$ 互补
答案：D
解析：
解：
A. $\angle \alpha$ 与 $\angle B$ 不是同位角，A错误；
B. $\angle \alpha$ 的邻补角是 $\angle EAC$，B错误；
C. $\angle ACF$ 与 $\angle \alpha$ 不互余，C错误；
D. $\angle \alpha + \angle ACF = 180°$，$\angle \alpha$ 与 $\angle ACF$ 互补，D正确。
答案：D
A. $\angle \alpha$ 与 $\angle B$ 不是同位角，A错误；
B. $\angle \alpha$ 的邻补角是 $\angle EAC$，B错误；
C. $\angle ACF$ 与 $\angle \alpha$ 不互余，C错误；
D. $\angle \alpha + \angle ACF = 180°$，$\angle \alpha$ 与 $\angle ACF$ 互补，D正确。
答案：D
15. (2025·凉山)如图，$DF// AB$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$\angle ACE = 100^{\circ}$，则 $\angle CED$ 的度数为(
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
B
)A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
答案：B
解析：
解：延长 $AC$ 交 $DF$ 于点 $G$。
∵ $DF // AB$，
∴ $\angle AGF + \angle BAC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $\angle BAC = 120°$，
∴ $\angle AGF = 180° - 120° = 60°$。
∵ $\angle ACE = 100°$，
∴ $\angle CEG = \angle ACE - \angle AGF = 100° - 60° = 40°$（三角形外角性质）。
∵ $\angle CED = \angle CEG$（对顶角相等），
∴ $\angle CED = 40°$。
答案：B
∵ $DF // AB$，
∴ $\angle AGF + \angle BAC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $\angle BAC = 120°$，
∴ $\angle AGF = 180° - 120° = 60°$。
∵ $\angle ACE = 100°$，
∴ $\angle CEG = \angle ACE - \angle AGF = 100° - 60° = 40°$（三角形外角性质）。
∵ $\angle CED = \angle CEG$（对顶角相等），
∴ $\angle CED = 40°$。
答案：B