1. (教材 P46 习题 8.1 第 3 题变式)下列说法正确的是(
A.$\sqrt{25}$表示 25 的算术平方根
B.$-\sqrt{7}$表示 7 的算术平方根
C.49 的算术平方根为$\pm7$
D.7 是$\sqrt{7}$的算术平方根
A
)A.$\sqrt{25}$表示 25 的算术平方根
B.$-\sqrt{7}$表示 7 的算术平方根
C.49 的算术平方根为$\pm7$
D.7 是$\sqrt{7}$的算术平方根
答案：1. A
2. 下列关于式子$3-\sqrt{x + 4}$的说法正确的是(
A.$x = 0$时值最大
B.$x = 0$时值最小
C.$x = -4$时值最大
D.$x = -4$时值最小
C
)A.$x = 0$时值最大
B.$x = 0$时值最小
C.$x = -4$时值最大
D.$x = -4$时值最小
答案：2. C
解析：
要使式子$3 - \sqrt{x + 4}$有意义，则$x + 4 \geq 0$，即$x \geq -4$。
因为$\sqrt{x + 4} \geq 0$，当且仅当$x + 4 = 0$，即$x = -4$时，$\sqrt{x + 4}$取得最小值$0$。
此时$3 - \sqrt{x + 4}$取得最大值$3 - 0 = 3$。
所以$x = -4$时值最大。
C
因为$\sqrt{x + 4} \geq 0$，当且仅当$x + 4 = 0$，即$x = -4$时，$\sqrt{x + 4}$取得最小值$0$。
此时$3 - \sqrt{x + 4}$取得最大值$3 - 0 = 3$。
所以$x = -4$时值最大。
C
3. (2025·广安)公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数$\sqrt{2}$. 他的发现在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”. 请估计$\sqrt{2}$的值在(
A.1 和 2 之间
B.2 和 3 之间
C.3 和 4 之间
D.4 和 5 之间
A
)A.1 和 2 之间
B.2 和 3 之间
C.3 和 4 之间
D.4 和 5 之间
答案：3. A
解析：
因为$1^2 = 1$，$2^2 = 4$，且$1 ＜ 2 ＜ 4$，所以$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，即$\sqrt{2}$的值在1和2之间。
A
A
4. 144 的算术平方根是
12
；$(-\frac{1}{3})^{2}$的算术平方根是$\frac{1}{3}$
.答案：4. 12 $\frac{1}{3}$
5. (教材 P44 练习第 3 题变式)若直角三角形两直角边的长之比为$3:4$，面积为 24，则较长直角边的长为
8
.答案：5. 8
解析：
设直角三角形两直角边的长分别为$3x$和$4x$（$x＞0$）。
根据直角三角形面积公式，面积为$\frac{1}{2}×3x×4x = 24$，
即$6x^{2}=24$，
$x^{2}=4$，
解得$x = 2$（$x=-2$舍去）。
较长直角边的长为$4x=4×2 = 8$。
8
根据直角三角形面积公式，面积为$\frac{1}{2}×3x×4x = 24$，
即$6x^{2}=24$，
$x^{2}=4$，
解得$x = 2$（$x=-2$舍去）。
较长直角边的长为$4x=4×2 = 8$。
8
6. (教材 P42 例 3 变式)求下列各数的算术平方根：
(1) 196；
(2) 0.49；
(3) $1\frac{11}{25}$；
(4) 0.
(1) 196；
(2) 0.49；
(3) $1\frac{11}{25}$；
(4) 0.
答案：1. （1）
解：因为$14^{2}=196$，根据算术平方根的定义：若$x^{2}=a(a≥0)$，则$x = \sqrt{a}(x≥0)$，所以$\sqrt{196}=14$。
2. （2）
解：因为$0.7^{2}=0.49$，根据算术平方根的定义，所以$\sqrt{0.49}=0.7$。
3. （3）
解：先将$1\frac{11}{25}$化为假分数，$1\frac{11}{25}=\frac{25 + 11}{25}=\frac{36}{25}$。
因为$(\frac{6}{5})^{2}=\frac{36}{25}$，根据算术平方根的定义，所以$\sqrt{1\frac{11}{25}}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}$。
4. （4）
解：因为$0^{2}=0$，根据算术平方根的定义，所以$\sqrt{0}=0$。
综上，（1）$14$；（2）$0.7$；（3）$\frac{6}{5}$；（4）$0$。
解：因为$14^{2}=196$，根据算术平方根的定义：若$x^{2}=a(a≥0)$，则$x = \sqrt{a}(x≥0)$，所以$\sqrt{196}=14$。
2. （2）
解：因为$0.7^{2}=0.49$，根据算术平方根的定义，所以$\sqrt{0.49}=0.7$。
3. （3）
解：先将$1\frac{11}{25}$化为假分数，$1\frac{11}{25}=\frac{25 + 11}{25}=\frac{36}{25}$。
因为$(\frac{6}{5})^{2}=\frac{36}{25}$，根据算术平方根的定义，所以$\sqrt{1\frac{11}{25}}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}$。
4. （4）
解：因为$0^{2}=0$，根据算术平方根的定义，所以$\sqrt{0}=0$。
综上，（1）$14$；（2）$0.7$；（3）$\frac{6}{5}$；（4）$0$。
解析：
(1) $\sqrt{196}=14$
(2) $\sqrt{0.49}=0.7$
(3) $\sqrt{1\frac{11}{25}}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}$
(4) $\sqrt{0}=0$
(2) $\sqrt{0.49}=0.7$
(3) $\sqrt{1\frac{11}{25}}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}$
(4) $\sqrt{0}=0$
7. (教材 P44 练习第 2 题变式)求下列各式的值：
(1) $\sqrt{256}$；
(2) $-\sqrt{1.69}$；
(3) $\pm\sqrt{\frac{25}{36}}$；
(4) $\sqrt{(-3)×(-27)}$.
(1) $\sqrt{256}$；
(2) $-\sqrt{1.69}$；
(3) $\pm\sqrt{\frac{25}{36}}$；
(4) $\sqrt{(-3)×(-27)}$.
答案：1. （1）
因为$16^{2}=256$，根据算术平方根的定义$\sqrt{a}(a≥0)$表示$a$的算术平方根，所以$\sqrt{256}=16$。
2. （2）
因为$1.3^{2}=1.69$，$-\sqrt{1.69}$表示$1.69$的算术平方根的相反数，所以$-\sqrt{1.69}=-1.3$。
3. （3）
因为$(\frac{5}{6})^{2}=\frac{25}{36}$，$\pm\sqrt{\frac{25}{36}}$表示$\frac{25}{36}$的平方根，所以$\pm\sqrt{\frac{25}{36}}=\pm\frac{5}{6}$。
4. （4）
先计算$( - 3)×(-27)=81$，又因为$9^{2}=81$，根据算术平方根的定义，所以$\sqrt{(-3)×(-27)}=\sqrt{81}=9$。
综上，答案依次为：（1）$16$；（2）$-1.3$；（3）$\pm\frac{5}{6}$；（4）$9$。
因为$16^{2}=256$，根据算术平方根的定义$\sqrt{a}(a≥0)$表示$a$的算术平方根，所以$\sqrt{256}=16$。
2. （2）
因为$1.3^{2}=1.69$，$-\sqrt{1.69}$表示$1.69$的算术平方根的相反数，所以$-\sqrt{1.69}=-1.3$。
3. （3）
因为$(\frac{5}{6})^{2}=\frac{25}{36}$，$\pm\sqrt{\frac{25}{36}}$表示$\frac{25}{36}$的平方根，所以$\pm\sqrt{\frac{25}{36}}=\pm\frac{5}{6}$。
4. （4）
先计算$( - 3)×(-27)=81$，又因为$9^{2}=81$，根据算术平方根的定义，所以$\sqrt{(-3)×(-27)}=\sqrt{81}=9$。
综上，答案依次为：（1）$16$；（2）$-1.3$；（3）$\pm\frac{5}{6}$；（4）$9$。
解析：
(1) $\sqrt{256}=16$
(2) $-\sqrt{1.69}=-1.3$
(3) $\pm\sqrt{\frac{25}{36}}=\pm\frac{5}{6}$
(4) $\sqrt{(-3)×(-27)}=\sqrt{81}=9$
(2) $-\sqrt{1.69}=-1.3$
(3) $\pm\sqrt{\frac{25}{36}}=\pm\frac{5}{6}$
(4) $\sqrt{(-3)×(-27)}=\sqrt{81}=9$
8. $\sqrt{64}$的算术平方根是(
A.$\pm4$
B.$\pm\sqrt{8}$
C.4
D.$\sqrt{8}$
D
)A.$\pm4$
B.$\pm\sqrt{8}$
C.4
D.$\sqrt{8}$
答案：8. D
解析：
$\sqrt{64}=8$，8的算术平方根是$\sqrt{8}$。D
9. 下列运算正确的是(
A.$-\sqrt{-25}=-(-5)=5$
B.$\sqrt{2\frac{1}{4}}=1\frac{1}{2}$
C.$\sqrt{4+\frac{9}{16}}=2+\frac{3}{4}=2\frac{3}{4}$
D.$\sqrt{0.25}=\pm0.5$
B
)A.$-\sqrt{-25}=-(-5)=5$
B.$\sqrt{2\frac{1}{4}}=1\frac{1}{2}$
C.$\sqrt{4+\frac{9}{16}}=2+\frac{3}{4}=2\frac{3}{4}$
D.$\sqrt{0.25}=\pm0.5$
答案：9. B
解析：
A. 负数没有算术平方根，故A错误；
B. $\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$，故B正确；
C. $\sqrt{4+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{73}{16}}=\frac{\sqrt{73}}{4}\neq2\frac{3}{4}$，故C错误；
D. $\sqrt{0.25}=0.5$，算术平方根为非负数，故D错误。
答案：B
B. $\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$，故B正确；
C. $\sqrt{4+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{73}{16}}=\frac{\sqrt{73}}{4}\neq2\frac{3}{4}$，故C错误；
D. $\sqrt{0.25}=0.5$，算术平方根为非负数，故D错误。
答案：B