10. 已知数轴上表示$\sqrt{2}$，$\pi$的点分别为$A$，$B$，$A$是$BC$的中点，则点$C$表示的数是(
A.$\sqrt{2}-\pi$
B.$\pi-\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-\pi$
D.$\pi-2\sqrt{2}$
C
)A.$\sqrt{2}-\pi$
B.$\pi-\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-\pi$
D.$\pi-2\sqrt{2}$
答案：10.C
解析：
设点$C$表示的数是$x$。
因为$A$是$BC$的中点，点$A$表示$\sqrt{2}$，点$B$表示$\pi$，所以根据中点坐标公式可得：$\sqrt{2}=\dfrac{x + \pi}{2}$。
等式两边同时乘以$2$：$2\sqrt{2}=x + \pi$。
移项可得：$x=2\sqrt{2}-\pi$。
C
因为$A$是$BC$的中点，点$A$表示$\sqrt{2}$，点$B$表示$\pi$，所以根据中点坐标公式可得：$\sqrt{2}=\dfrac{x + \pi}{2}$。
等式两边同时乘以$2$：$2\sqrt{2}=x + \pi$。
移项可得：$x=2\sqrt{2}-\pi$。
C
11. (新考法·新定义题)若实数$a$，$b$满足$a + b = 6$，我们就说$a$与$b$是关于$6$的“如意数”，则与$3-\sqrt{2}$是关于$6$的“如意数”的是(
A.$3+\sqrt{2}$
B.$3-\sqrt{2}$
C.$9-\sqrt{2}$
D.$9+\sqrt{2}$
A
)A.$3+\sqrt{2}$
B.$3-\sqrt{2}$
C.$9-\sqrt{2}$
D.$9+\sqrt{2}$
答案：11.A
解析：
设与$3 - \sqrt{2}$是关于$6$的“如意数”的数为$x$，根据“如意数”的定义，得$(3 - \sqrt{2}) + x = 6$，解得$x = 6 - (3 - \sqrt{2}) = 3 + \sqrt{2}$。
A
A
12. 计算：
(1) $4\sqrt{6}+2\sqrt{6}=$
(2) $\sqrt[3]{4}-|-\sqrt[3]{4}|=$
(1) $4\sqrt{6}+2\sqrt{6}=$
$6\sqrt{6}$
；(2) $\sqrt[3]{4}-|-\sqrt[3]{4}|=$
$0$
.答案：12.(1)$6\sqrt{6}$ (2)$0$
解析：
(1) $6\sqrt{6}$；
(2) $0$
(2) $0$
13. 已知$a$是小于$3+\sqrt{5}$的整数，且$|2 - a| = a - 2$，则$a$的所有可能值是
2,3,4,5
.答案：13.2,3,4,5
14. (2024·启东期中)如图，数轴上点$A$与点$B$表示的数互为相反数.若点$A$表示的数是$-\sqrt{3}$，以点$B$为圆心，$AB$的长为半径，用圆规在数轴上确定一点$C$，则点$C$表示的实数是
]
$3\sqrt{3}$
.]答案：14.$3\sqrt{3}$
解析：
解：因为点$A$与点$B$表示的数互为相反数，点$A$表示的数是$-\sqrt{3}$，所以点$B$表示的数是$\sqrt{3}$。
$AB$的长为$\vert\sqrt{3} - (-\sqrt{3})\vert = 2\sqrt{3}$。
以点$B$为圆心，$AB$的长为半径画圆，与数轴正半轴交于点$C$，则点$C$表示的数为$\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$。
$3\sqrt{3}$
$AB$的长为$\vert\sqrt{3} - (-\sqrt{3})\vert = 2\sqrt{3}$。
以点$B$为圆心，$AB$的长为半径画圆，与数轴正半轴交于点$C$，则点$C$表示的数为$\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$。
$3\sqrt{3}$
15. 如图，一只蚂蚁从点$A$处沿数轴向右爬行了$2$个单位长度到达点$B$处，点$A$表示的数为$-\sqrt{2}$.设点$B$表示的数为$m$，则$|m - 1|$的值是
$\sqrt{2}-1$
.答案：15.$\sqrt{2}-1$
解析：
解：由题意得，点$A$表示的数为$-\sqrt{2}$，蚂蚁向右爬行$2$个单位长度到达点$B$，则点$B$表示的数$m = -\sqrt{2} + 2$。
$\vert m - 1\vert=\vert -\sqrt{2} + 2 - 1\vert=\vert 1 - \sqrt{2}\vert$
因为$\sqrt{2}\approx1.414\gt1$，所以$1 - \sqrt{2}\lt0$，则$\vert 1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1$。
$\sqrt{2}-1$
$\vert m - 1\vert=\vert -\sqrt{2} + 2 - 1\vert=\vert 1 - \sqrt{2}\vert$
因为$\sqrt{2}\approx1.414\gt1$，所以$1 - \sqrt{2}\lt0$，则$\vert 1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1$。
$\sqrt{2}-1$
16. 求下面各式的值：
(1) $\sqrt[3]{8}+\sqrt{16}+|1-\sqrt{2}|-\sqrt{2}$；
(2) $3(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.
(1) $\sqrt[3]{8}+\sqrt{16}+|1-\sqrt{2}|-\sqrt{2}$；
(2) $3(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.
答案：$(1)$ 计算$\boldsymbol{\sqrt[3]{8}+\sqrt{16}+|1 - \sqrt{2}|-\sqrt{2}}$的值
解：
根据根式运算规则$\sqrt[3]{a^3}=a$，$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$（$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$），绝对值的性质$\vert a\vert=\begin{cases}a, & a≥0 \\ -a, & a＜0\end{cases}$来计算：
因为$2^3 = 8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；
因为$4^2 = 16$，所以$\sqrt{16}=4$；
因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$\vert1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1$。
将上述值代入原式可得：
$\begin{aligned}&\sqrt[3]{8}+\sqrt{16}+|1 - \sqrt{2}|-\sqrt{2}\\=&2 + 4+(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}\\=&2 + 4+\sqrt{2}-1-\sqrt{2}\\=&(2 + 4-1)+(\sqrt{2}-\sqrt{2})\\=&5+0\\=&5\end{aligned}$
$(2)$ 计算$\boldsymbol{3(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$的值
解：
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$展开式子，再合并同类二次根式（同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式）：
$\begin{aligned}&3(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2(\sqrt{2}+\sqrt{3})\\=&3\sqrt{2}-3\sqrt{3}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\\=&(3\sqrt{2}+2\sqrt{2})+(2\sqrt{3}-3\sqrt{3})\\=&5\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
综上，$(1)$式的值为$\boldsymbol{5}$；$(2)$式的值为$\boldsymbol{5\sqrt{2}-\sqrt{3}}$。
解：
根据根式运算规则$\sqrt[3]{a^3}=a$，$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$（$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$），绝对值的性质$\vert a\vert=\begin{cases}a, & a≥0 \\ -a, & a＜0\end{cases}$来计算：
因为$2^3 = 8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；
因为$4^2 = 16$，所以$\sqrt{16}=4$；
因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$\vert1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1$。
将上述值代入原式可得：
$\begin{aligned}&\sqrt[3]{8}+\sqrt{16}+|1 - \sqrt{2}|-\sqrt{2}\\=&2 + 4+(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}\\=&2 + 4+\sqrt{2}-1-\sqrt{2}\\=&(2 + 4-1)+(\sqrt{2}-\sqrt{2})\\=&5+0\\=&5\end{aligned}$
$(2)$ 计算$\boldsymbol{3(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$的值
解：
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$展开式子，再合并同类二次根式（同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式）：
$\begin{aligned}&3(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2(\sqrt{2}+\sqrt{3})\\=&3\sqrt{2}-3\sqrt{3}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\\=&(3\sqrt{2}+2\sqrt{2})+(2\sqrt{3}-3\sqrt{3})\\=&5\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
综上，$(1)$式的值为$\boldsymbol{5}$；$(2)$式的值为$\boldsymbol{5\sqrt{2}-\sqrt{3}}$。
解析：
(1) $\sqrt[3]{8}+\sqrt{16}+|1-\sqrt{2}|-\sqrt{2}$
$=2 + 4 + (\sqrt{2}-1) - \sqrt{2}$
$=2 + 4 + \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2}$
$=5$
(2) $3(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$
$=3\sqrt{2} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
$=(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (-3\sqrt{3} + 2\sqrt{3})$
$=5\sqrt{2} - \sqrt{3}$
$=2 + 4 + (\sqrt{2}-1) - \sqrt{2}$
$=2 + 4 + \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2}$
$=5$
(2) $3(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$
$=3\sqrt{2} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
$=(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (-3\sqrt{3} + 2\sqrt{3})$
$=5\sqrt{2} - \sqrt{3}$
17. 实数$a$，$b$，$c$在数轴上的对应点的位置如图所示，其中，$c$为$8$的立方根，求$\sqrt{a^2}+|b - a|+\sqrt{(b - c)^2}-|2b|$的值.
]
]答案：17.$\because c$为$8$的立方根，$\therefore c = 2$.由题图，易得$a＜0,b - a＜0$，$b - c＜0,2b＜0$，$\therefore$原式$=|a|+|b - a|+\sqrt{(b - c)^2}-|2b|=$
$-a + a - b + c - b + 2b = c = 2$
$-a + a - b + c - b + 2b = c = 2$
18. (新考法·阅读理解题)先阅读材料，然后解答问题：
设$a$，$b$都是有理数，且满足$a+\sqrt{2}b = 3 - 2\sqrt{2}$，求$b^a$的值.
解：由题意，得$(a - 3)+\sqrt{2}(b + 2) = 0$. $\because a$，$b$都是有理数，$\therefore a - 3$，$b + 2$也是有理数. $\because \sqrt{2}$是无理数，$\therefore b + 2 = 0$，$a - 3 = 0$. $\therefore b = - 2$，$a = 3$. $\therefore b^a = (-2)^3 = - 8$.
问题：设$x$，$y$都是有理数，且满足$x^2 - 2y+\sqrt{5}y = 10 + 3\sqrt{5}$，求$x + y$的值.
设$a$，$b$都是有理数，且满足$a+\sqrt{2}b = 3 - 2\sqrt{2}$，求$b^a$的值.
解：由题意，得$(a - 3)+\sqrt{2}(b + 2) = 0$. $\because a$，$b$都是有理数，$\therefore a - 3$，$b + 2$也是有理数. $\because \sqrt{2}$是无理数，$\therefore b + 2 = 0$，$a - 3 = 0$. $\therefore b = - 2$，$a = 3$. $\therefore b^a = (-2)^3 = - 8$.
问题：设$x$，$y$都是有理数，且满足$x^2 - 2y+\sqrt{5}y = 10 + 3\sqrt{5}$，求$x + y$的值.
答案：18.由题意，得$(x^{2}-2y - 10)+\sqrt{5}(y - 3)=0.\because x,y$都是有理数，$\therefore x^{2}-2y - 10,y - 3$也是有理数.$\because\sqrt{5}$是无理数，$\therefore y -3 = 0,x^{2}-2y - 10 = 0.\therefore y = 3,x=\pm4.\therefore x + y = 7$或$-1$
解析：
由题意，得$(x^{2}-2y - 10)+\sqrt{5}(y - 3)=0$。
$\because x,y$都是有理数，
$\therefore x^{2}-2y - 10,y - 3$也是有理数。
$\because\sqrt{5}$是无理数，
$\therefore y - 3 = 0$，$x^{2}-2y - 10 = 0$。
$\therefore y = 3$，$x^{2}=2y + 10 = 2×3 + 10 = 16$，$x = \pm4$。
当$x = 4$，$y = 3$时，$x + y = 4 + 3 = 7$；
当$x = -4$，$y = 3$时，$x + y = -4 + 3 = -1$。
$\therefore x + y = 7$或$-1$。
$\because x,y$都是有理数，
$\therefore x^{2}-2y - 10,y - 3$也是有理数。
$\because\sqrt{5}$是无理数，
$\therefore y - 3 = 0$，$x^{2}-2y - 10 = 0$。
$\therefore y = 3$，$x^{2}=2y + 10 = 2×3 + 10 = 16$，$x = \pm4$。
当$x = 4$，$y = 3$时，$x + y = 4 + 3 = 7$；
当$x = -4$，$y = 3$时，$x + y = -4 + 3 = -1$。
$\therefore x + y = 7$或$-1$。