1. $(-7)^{2}$的算术平方根是(
A.$7$
B.$-7$
C.$\pm7$
D.$\sqrt{7}$
A
)A.$7$
B.$-7$
C.$\pm7$
D.$\sqrt{7}$
答案：1. A
解析：
$(-7)^{2}=49$，49的算术平方根是$\sqrt{49}=7$，答案选A。
2. (新考向·数学文化)《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之.”作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”，例如：面积为$5$的正方形的边长称为$5$“面”.$27$“面”的值是(
A.$4$和$5$之间的实数
B.$5$和$6$之间的实数
C.$6$和$7$之间的实数
D.$7$和$8$之间的实数
B
)A.$4$和$5$之间的实数
B.$5$和$6$之间的实数
C.$6$和$7$之间的实数
D.$7$和$8$之间的实数
答案：2. B
解析：
因为$5^2 = 25$，$6^2 = 36$，且$25 ＜ 27 ＜ 36$，所以$\sqrt{25} ＜ \sqrt{27} ＜ \sqrt{36}$，即$5 ＜ \sqrt{27} ＜ 6$，故27“面”的值是5和6之间的实数。
B
B
3. 有下列说法或运算：①$-8$是$64$的平方根；②$-\sqrt{-64}=-(-8)=8$；③$\sqrt{-2^{2}}=-\sqrt{2^{2}}=-2$；④$\pm\sqrt{-64}=\pm(-8)=\pm8$.其中，正确的有(
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
B
)A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
答案：3. B
解析：
①因为$(-8)^2 = 64$，所以$-8$是$64$的平方根，①正确；
②负数没有平方根，$-64$是负数，$\sqrt{-64}$无意义，②错误；
③$-2^2=-4$，负数没有平方根，$\sqrt{-2^2}$无意义，③错误；
④负数没有平方根，$-64$是负数，$\pm\sqrt{-64}$无意义，④错误。
正确的有1个。
B
②负数没有平方根，$-64$是负数，$\sqrt{-64}$无意义，②错误；
③$-2^2=-4$，负数没有平方根，$\sqrt{-2^2}$无意义，③错误；
④负数没有平方根，$-64$是负数，$\pm\sqrt{-64}$无意义，④错误。
正确的有1个。
B
4. 将大、中、小三个正方形按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积为$5$，小正方形的面积为$1$，则正方形$ABCD$的边长可能是(
A.$1$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$3$
B
)A.$1$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$3$
答案：4. B
解析：
设中正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，大正方形边长为$c$。
小正方形面积为$1$，则$b^2=1$，得$b=1$。
大正方形面积为$5$，则$c^2=5$，得$c=\sqrt{5}$。
由图形可知，正方形$ABCD$的边长为$a - b$，且$a + b = c$，即$a = c - b=\sqrt{5}-1$。
则正方形$ABCD$的边长为$a - b=\sqrt{5}-1 - 1=\sqrt{5}-2\approx0.236$（此结果与选项不符，推测边长表达式应为$\sqrt{a^2 + b^2}$）。
重新分析：设中正方形边长为$m$，小正方形边长$b=1$，大正方形边长$c=\sqrt{5}$。由图形几何关系，$m^2 + 1^2 = (\sqrt{5})^2$（勾股定理），即$m^2 + 1 = 5$，解得$m^2=4$，$m=2$。
正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{m^2 - b^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
B
小正方形面积为$1$，则$b^2=1$，得$b=1$。
大正方形面积为$5$，则$c^2=5$，得$c=\sqrt{5}$。
由图形可知，正方形$ABCD$的边长为$a - b$，且$a + b = c$，即$a = c - b=\sqrt{5}-1$。
则正方形$ABCD$的边长为$a - b=\sqrt{5}-1 - 1=\sqrt{5}-2\approx0.236$（此结果与选项不符，推测边长表达式应为$\sqrt{a^2 + b^2}$）。
重新分析：设中正方形边长为$m$，小正方形边长$b=1$，大正方形边长$c=\sqrt{5}$。由图形几何关系，$m^2 + 1^2 = (\sqrt{5})^2$（勾股定理），即$m^2 + 1 = 5$，解得$m^2=4$，$m=2$。
正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{m^2 - b^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
B
5. 若实数$x$，$y$满足$\sqrt{x - y + 1}+|x - 3| = 0$，则$x^{y}$的值为
81
.答案：5. 81
解析：
因为$\sqrt{x - y + 1} \geq 0$，$|x - 3| \geq 0$，且$\sqrt{x - y + 1} + |x - 3| = 0$，所以$\begin{cases}x - y + 1 = 0 \\ x - 3 = 0\end{cases}$。解得$x = 3$，将$x = 3$代入$x - y + 1 = 0$，得$3 - y + 1 = 0$，$y = 4$。则$x^y = 3^4 = 81$。
6. (2025·启东期中)已知$\sqrt{9.31}\approx3.0512$，$\sqrt{0.931}\approx0.9649$，则$\sqrt{93.1}\approx$
9.649
.答案：6. 9.649
解析：
$\sqrt{93.1}=\sqrt{100×0.931}=\sqrt{100}×\sqrt{0.931}\approx10×0.9649=9.649$
7. 物体自由下落的高度$h$(单位：米)与下落时间$t$(单位：秒)之间的关系为$h = 4.9t^{2}$，有一物体从$122.5$米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为
5
秒.答案：7. 5
解析：
当$h = 122.5$时，代入$h = 4.9t^{2}$，得$4.9t^{2}=122.5$，两边同时除以$4.9$，$t^{2}=25$，解得$t = 5$（$t=-5$舍去）。
5
5
8. 求下面各式中$x$的值：
（1）$7x^{2}-343 = 0$；
（2）$\frac{1}{2}(3x + 2)^{2}-4 = 28$.
（1）$7x^{2}-343 = 0$；
（2）$\frac{1}{2}(3x + 2)^{2}-4 = 28$.
答案：8. (1) $x = \pm 7$ (2) $x = 2$ 或 $x = -\frac{10}{3}$
解析：
（1）$7x^{2}-343 = 0$
$7x^{2}=343$
$x^{2}=49$
$x=\pm 7$
（2）$\frac{1}{2}(3x + 2)^{2}-4 = 28$
$\frac{1}{2}(3x + 2)^{2}=32$
$(3x + 2)^{2}=64$
$3x + 2=\pm 8$
当$3x + 2=8$时，$3x=6$，$x=2$
当$3x + 2=-8$时，$3x=-10$，$x=-\frac{10}{3}$
所以$x = 2$或$x = -\frac{10}{3}$
$7x^{2}=343$
$x^{2}=49$
$x=\pm 7$
（2）$\frac{1}{2}(3x + 2)^{2}-4 = 28$
$\frac{1}{2}(3x + 2)^{2}=32$
$(3x + 2)^{2}=64$
$3x + 2=\pm 8$
当$3x + 2=8$时，$3x=6$，$x=2$
当$3x + 2=-8$时，$3x=-10$，$x=-\frac{10}{3}$
所以$x = 2$或$x = -\frac{10}{3}$
9. 若$a$是$(-3)^{2}$的平方根，则$\sqrt[3]{a}$的值为(
A.$-3$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt[3]{3}$或$-\sqrt[3]{3}$
D.$3$和$-3$
C
)A.$-3$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt[3]{3}$或$-\sqrt[3]{3}$
D.$3$和$-3$
答案：9. C
解析：
$(-3)^2=9$，$a$是$9$的平方根，所以$a=\pm 3$。
当$a=3$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{3}$；当$a=-3$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}$。
综上，$\sqrt[3]{a}$的值为$\sqrt[3]{3}$或$-\sqrt[3]{3}$。
C
当$a=3$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{3}$；当$a=-3$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}$。
综上，$\sqrt[3]{a}$的值为$\sqrt[3]{3}$或$-\sqrt[3]{3}$。
C
10. 如图，将两个正方体摞在一起(点$A$，$B$，$C$在同一条直线上)，大正方体的体积为$1331\mathrm{cm}^{3}$，小正方体的体积为$125\mathrm{cm}^{3}$，则最高点$A$与最低点$C$之间的距离是
16
$\mathrm{cm}$.答案：10. 16
解析：
解：设大正方体的棱长为$a$，小正方体的棱长为$b$。
因为大正方体的体积为$1331\,\mathrm{cm}^3$，所以$a^3 = 1331$，解得$a=\sqrt[3]{1331}=11\,\mathrm{cm}$。
因为小正方体的体积为$125\,\mathrm{cm}^3$，所以$b^3 = 125$，解得$b=\sqrt[3]{125}=5\,\mathrm{cm}$。
由于点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，最高点$A$与最低点$C$之间的距离为大正方体的棱长与小正方体的棱长之和，即$a + b=11 + 5=16\,\mathrm{cm}$。
16
因为大正方体的体积为$1331\,\mathrm{cm}^3$，所以$a^3 = 1331$，解得$a=\sqrt[3]{1331}=11\,\mathrm{cm}$。
因为小正方体的体积为$125\,\mathrm{cm}^3$，所以$b^3 = 125$，解得$b=\sqrt[3]{125}=5\,\mathrm{cm}$。
由于点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，最高点$A$与最低点$C$之间的距离为大正方体的棱长与小正方体的棱长之和，即$a + b=11 + 5=16\,\mathrm{cm}$。
16