11. 求下面各式中$x$的值：
（1）$8x^{3}+729 = 0$；
（2）$(3x + 1)^{3}+\frac{61}{64}=-1$.
（1）$8x^{3}+729 = 0$；
（2）$(3x + 1)^{3}+\frac{61}{64}=-1$.
答案：$(1)$ 求解$8x^{3}+729 = 0$中$x$的值
解：
首先对$8x^{3}+729 = 0$进行移项可得$8x^{3}=-729$，
两边同时除以$8$，得到$x^{3}=-\frac{729}{8}$。
因为$(-\frac{9}{2})^{3}=-\frac{729}{8}$，根据立方根的定义：若$x^{3}=a$，则$x = \sqrt[3]{a}$，所以$x=\sqrt[3]{-\frac{729}{8}}=-\frac{9}{2}$。
$(2)$ 求解$(3x + 1)^{3}+\frac{61}{64}=-1$中$x$的值
解：
先对$(3x + 1)^{3}+\frac{61}{64}=-1$进行移项，得到$(3x + 1)^{3}=-1-\frac{61}{64}$。
计算$-1-\frac{61}{64}=-\frac{64 + 61}{64}=-\frac{125}{64}$，即$(3x + 1)^{3}=-\frac{125}{64}$。
因为$(-\frac{5}{4})^{3}=-\frac{125}{64}$，根据立方根的定义，可得$3x + 1=\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}=-\frac{5}{4}$。
然后对$3x + 1=-\frac{5}{4}$进行求解，移项可得$3x=-\frac{5}{4}-1$，
计算$-\frac{5}{4}-1=-\frac{5 + 4}{4}=-\frac{9}{4}$，即$3x=-\frac{9}{4}$，
两边同时除以$3$，$x=-\frac{9}{4}÷3=-\frac{9}{4}×\frac{1}{3}=-\frac{3}{4}$。
综上，$(1)$中$x = -\frac{9}{2}$；$(2)$中$x = -\frac{3}{4}$。
解：
首先对$8x^{3}+729 = 0$进行移项可得$8x^{3}=-729$，
两边同时除以$8$，得到$x^{3}=-\frac{729}{8}$。
因为$(-\frac{9}{2})^{3}=-\frac{729}{8}$，根据立方根的定义：若$x^{3}=a$，则$x = \sqrt[3]{a}$，所以$x=\sqrt[3]{-\frac{729}{8}}=-\frac{9}{2}$。
$(2)$ 求解$(3x + 1)^{3}+\frac{61}{64}=-1$中$x$的值
解：
先对$(3x + 1)^{3}+\frac{61}{64}=-1$进行移项，得到$(3x + 1)^{3}=-1-\frac{61}{64}$。
计算$-1-\frac{61}{64}=-\frac{64 + 61}{64}=-\frac{125}{64}$，即$(3x + 1)^{3}=-\frac{125}{64}$。
因为$(-\frac{5}{4})^{3}=-\frac{125}{64}$，根据立方根的定义，可得$3x + 1=\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}=-\frac{5}{4}$。
然后对$3x + 1=-\frac{5}{4}$进行求解，移项可得$3x=-\frac{5}{4}-1$，
计算$-\frac{5}{4}-1=-\frac{5 + 4}{4}=-\frac{9}{4}$，即$3x=-\frac{9}{4}$，
两边同时除以$3$，$x=-\frac{9}{4}÷3=-\frac{9}{4}×\frac{1}{3}=-\frac{3}{4}$。
综上，$(1)$中$x = -\frac{9}{2}$；$(2)$中$x = -\frac{3}{4}$。
解析：
（1）$8x^{3}+729 = 0$
$8x^{3}=-729$
$x^{3}=-\frac{729}{8}$
$x=\sqrt[3]{-\frac{729}{8}}$
$x=-\frac{9}{2}$
（2）$(3x + 1)^{3}+\frac{61}{64}=-1$
$(3x + 1)^{3}=-1 - \frac{61}{64}$
$(3x + 1)^{3}=-\frac{125}{64}$
$3x + 1=\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}$
$3x + 1=-\frac{5}{4}$
$3x=-\frac{5}{4}-1$
$3x=-\frac{9}{4}$
$x=-\frac{3}{4}$
$8x^{3}=-729$
$x^{3}=-\frac{729}{8}$
$x=\sqrt[3]{-\frac{729}{8}}$
$x=-\frac{9}{2}$
（2）$(3x + 1)^{3}+\frac{61}{64}=-1$
$(3x + 1)^{3}=-1 - \frac{61}{64}$
$(3x + 1)^{3}=-\frac{125}{64}$
$3x + 1=\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}$
$3x + 1=-\frac{5}{4}$
$3x=-\frac{5}{4}-1$
$3x=-\frac{9}{4}$
$x=-\frac{3}{4}$
12. 已知实数$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2026}$，$\frac{2}{\pi}$，$\sqrt[3]{7}$，$\sqrt{4}$，其中，无理数有(
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
C
)A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案：12. C
解析：
$\sqrt{3}$是无理数；$\frac{1}{2026}$是分数，属于有理数；$\frac{2}{\pi}$是无理数；$\sqrt[3]{7}$是无理数；$\sqrt{4}=2$是整数，属于有理数。无理数有$\sqrt{3}$，$\frac{2}{\pi}$，$\sqrt[3]{7}$，共3个。
C
C
13. 比较大小：$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$_________$\frac{5}{6}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
答案：13. ＜
解析：
$\frac{\sqrt{7}-1}{2} ＜ \frac{5}{6}$
14. 求下面的各式的值：
（1）$\sqrt{7}-(2\sqrt{7}-6\sqrt{7})$；
（2）$-2^{2}+\sqrt{(-2)^{2}}-\sqrt[3]{-64}+|1-\sqrt{3}|$.
（1）$\sqrt{7}-(2\sqrt{7}-6\sqrt{7})$；
（2）$-2^{2}+\sqrt{(-2)^{2}}-\sqrt[3]{-64}+|1-\sqrt{3}|$.
答案：1. （1）
解：
先去括号：$\sqrt{7}-(2\sqrt{7}-6\sqrt{7})=\sqrt{7}-2\sqrt{7}+6\sqrt{7}$。
再合并同类二次根式：$(1 - 2 + 6)\sqrt{7}=5\sqrt{7}$。
2. （2）
解：
分别计算各项：
对于$-2^{2}$，根据乘方运算规则，$-2^{2}=-4$（先计算指数，再取相反数）；
对于$\sqrt{(-2)^{2}}$，根据$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，$\sqrt{(-2)^{2}}=\vert - 2\vert = 2$；
对于$\sqrt[3]{-64}$，因为$(-4)^{3}=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$；
对于$\vert1 - \sqrt{3}\vert$，因为$\sqrt{3}\approx1.73＞1$，所以$\vert1 - \sqrt{3}\vert=\sqrt{3}-1$。
然后代入原式计算：
$-2^{2}+\sqrt{(-2)^{2}}-\sqrt[3]{-64}+\vert1 - \sqrt{3}\vert=-4 + 2-(-4)+(\sqrt{3}-1)$。
去括号得：$-4 + 2 + 4+\sqrt{3}-1$。
合并同类项：$(-4 + 4)+(2-1)+\sqrt{3}=1+\sqrt{3}$。
综上，（1）的值为$5\sqrt{7}$；（2）的值为$1+\sqrt{3}$。
解：
先去括号：$\sqrt{7}-(2\sqrt{7}-6\sqrt{7})=\sqrt{7}-2\sqrt{7}+6\sqrt{7}$。
再合并同类二次根式：$(1 - 2 + 6)\sqrt{7}=5\sqrt{7}$。
2. （2）
解：
分别计算各项：
对于$-2^{2}$，根据乘方运算规则，$-2^{2}=-4$（先计算指数，再取相反数）；
对于$\sqrt{(-2)^{2}}$，根据$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，$\sqrt{(-2)^{2}}=\vert - 2\vert = 2$；
对于$\sqrt[3]{-64}$，因为$(-4)^{3}=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$；
对于$\vert1 - \sqrt{3}\vert$，因为$\sqrt{3}\approx1.73＞1$，所以$\vert1 - \sqrt{3}\vert=\sqrt{3}-1$。
然后代入原式计算：
$-2^{2}+\sqrt{(-2)^{2}}-\sqrt[3]{-64}+\vert1 - \sqrt{3}\vert=-4 + 2-(-4)+(\sqrt{3}-1)$。
去括号得：$-4 + 2 + 4+\sqrt{3}-1$。
合并同类项：$(-4 + 4)+(2-1)+\sqrt{3}=1+\sqrt{3}$。
综上，（1）的值为$5\sqrt{7}$；（2）的值为$1+\sqrt{3}$。
解析：
（1）$\sqrt{7}-(2\sqrt{7}-6\sqrt{7})=\sqrt{7}-(-4\sqrt{7})=\sqrt{7}+4\sqrt{7}=5\sqrt{7}$；
（2）$-2^{2}+\sqrt{(-2)^{2}}-\sqrt[3]{-64}+|1-\sqrt{3}|=-4+2-(-4)+(\sqrt{3}-1)=-4+2+4+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}+1$.
（2）$-2^{2}+\sqrt{(-2)^{2}}-\sqrt[3]{-64}+|1-\sqrt{3}|=-4+2-(-4)+(\sqrt{3}-1)=-4+2+4+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}+1$.
15. 若$a^{2}=16$，$\sqrt[3]{b}=2$，则$a + b$的值为(
A.$12$
B.$4$
C.$12$或$-4$
D.$12$或$4$
D
)A.$12$
B.$4$
C.$12$或$-4$
D.$12$或$4$
答案：15. D
解析：
因为$a^{2}=16$，所以$a = \pm 4$；
因为$\sqrt[3]{b}=2$，所以$b = 2^{3}=8$；
当$a = 4$时，$a + b=4 + 8=12$；
当$a=-4$时，$a + b=-4 + 8=4$；
则$a + b$的值为$12$或$4$。
因为$\sqrt[3]{b}=2$，所以$b = 2^{3}=8$；
当$a = 4$时，$a + b=4 + 8=12$；
当$a=-4$时，$a + b=-4 + 8=4$；
则$a + b$的值为$12$或$4$。
16. 文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小$1$.若输入的数为$\sqrt{7}$，则输出的数为(
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
B
)A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
答案：16. B
解析：
输入的数为$\sqrt{7}$，输出的数为$(\sqrt{7})^2 - 1 = 7 - 1 = 6$。
B
B
17. 如图，数轴上的点$A$，$O$，$B$，$C$，$D$表示的数分别为$-2$，$0$，$1$，$2$，$3$，则表示$3-\sqrt{5}$的点落在线段(
A.$OB$上
B.$AO$上
C.$BC$上
D.$CD$上
A
)A.$OB$上
B.$AO$上
C.$BC$上
D.$CD$上
答案：17. A
解析：
解：$\because 4＜5＜9$，$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore -3＜-\sqrt{5}＜-2$，$\therefore 3 - 3＜3 - \sqrt{5}＜3 - 2$，即$0＜3 - \sqrt{5}＜1$，$\because$点$O$表示$0$，点$B$表示$1$，$\therefore$表示$3 - \sqrt{5}$的点落在线段$OB$上。
A
A
18. 若$m$是$2026$的算术平方根，则$\frac{2026}{100}$的平方根是
$\pm \frac{m}{10}$
(用含$m$的式子表示).答案：18. $\pm \frac{m}{10}$
19. 大于$-\sqrt{11}$而小于$\sqrt{5}$的所有整数的和是
－3
.答案：19. －3
解析：
因为$-\sqrt{16} ＜ -\sqrt{11} ＜ -\sqrt{9}$，即$-4 ＜ -\sqrt{11} ＜ -3$；$\sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$。所以大于$-\sqrt{11}$而小于$\sqrt{5}$的整数有$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$。它们的和为$-3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -3$。
$-3$
$-3$
20. 有一个正方体集装箱，容积为$64\mathrm{m}^{3}$，现准备将其改造扩充，以便放置更多的货物，则其棱长增加
4
$\mathrm{m}$，才能使容积达到$512\mathrm{m}^{3}$.答案：20. 4
解析：
设原正方体集装箱的棱长为$a\ \mathrm{m}$，由容积为$64\ \mathrm{m}^3$，可得$a^3 = 64$，解得$a = 4$。
设棱长增加$x\ \mathrm{m}$后容积达到$512\ \mathrm{m}^3$，则此时棱长为$(4 + x)\ \mathrm{m}$，可得$(4 + x)^3 = 512$。
因为$8^3 = 512$，所以$4 + x = 8$，解得$x = 4$。
4
设棱长增加$x\ \mathrm{m}$后容积达到$512\ \mathrm{m}^3$，则此时棱长为$(4 + x)\ \mathrm{m}$，可得$(4 + x)^3 = 512$。
因为$8^3 = 512$，所以$4 + x = 8$，解得$x = 4$。
4