1. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A(2,4) $，$ B(1,0) $，$ C(-3,0) $，则三角形 $ ABC $ 的面积是
8
.答案：1.8
解析：
解：由点$B(1,0)$，$C(-3,0)$可知，$BC$在$x$轴上，$BC$的长度为$|1 - (-3)| = 4$。
点$A(2,4)$到$x$轴的距离即为$A$点的纵坐标的绝对值，为$4$，此距离为三角形$ABC$中$BC$边上的高。
三角形面积公式为$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$，所以$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
8
点$A(2,4)$到$x$轴的距离即为$A$点的纵坐标的绝对值，为$4$，此距离为三角形$ABC$中$BC$边上的高。
三角形面积公式为$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$，所以$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
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2. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A(0,2) $，$ B(5,4) $，$ C(4,0) $，则三角形 $ ABC $ 的面积是
9
.答案：2.9
解析：
解：过点$ B $作$ BD ⊥ x $轴于点$ D $，则$ D(5,0) $。
梯形$ AODB $的面积为$\frac{1}{2} × (OA + BD) × OD = \frac{1}{2} × (2 + 4) × 5 = 15$。
三角形$ AOC $的面积为$\frac{1}{2} × OA × OC = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。
三角形$ BCD $的面积为$\frac{1}{2} × CD × BD = \frac{1}{2} × (5 - 4) × 4 = 2$。
三角形$ ABC $的面积为梯形$ AODB $的面积减去三角形$ AOC $和三角形$ BCD $的面积，即$15 - 4 - 2 = 9$。
9
梯形$ AODB $的面积为$\frac{1}{2} × (OA + BD) × OD = \frac{1}{2} × (2 + 4) × 5 = 15$。
三角形$ AOC $的面积为$\frac{1}{2} × OA × OC = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。
三角形$ BCD $的面积为$\frac{1}{2} × CD × BD = \frac{1}{2} × (5 - 4) × 4 = 2$。
三角形$ ABC $的面积为梯形$ AODB $的面积减去三角形$ AOC $和三角形$ BCD $的面积，即$15 - 4 - 2 = 9$。
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3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ OABC $ 各个顶点的坐标分别为 $ O(0,0) $，$ A(6,0) $，$ B(4,4) $，$ C(2,3) $，求四边形 $ OABC $ 的面积.
答案：3.分别过点C，B作CD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足分别为D，E.
∵四边形OABC各个顶点的坐标分别为O(0,0)，A(6,0)，B(4,4)，C(2,3)，
∴OD = 2，DE = 2，AE = 2，CD = 3，BE = 4.
∴S四边形OABC = S三角形OCD + S梯形CDEB + S三角形$ABE = \frac{1}{2}OD·$
$CD+\frac{1}{2}(CD + BE)·DE+\frac{1}{2}AE·BE=\frac{1}{2}×2×3+\frac{1}{2}×$
$(3 + 4)×2+\frac{1}{2}×2×4=3 + 7 + 4 = 14$
∵四边形OABC各个顶点的坐标分别为O(0,0)，A(6,0)，B(4,4)，C(2,3)，
∴OD = 2，DE = 2，AE = 2，CD = 3，BE = 4.
∴S四边形OABC = S三角形OCD + S梯形CDEB + S三角形$ABE = \frac{1}{2}OD·$
$CD+\frac{1}{2}(CD + BE)·DE+\frac{1}{2}AE·BE=\frac{1}{2}×2×3+\frac{1}{2}×$
$(3 + 4)×2+\frac{1}{2}×2×4=3 + 7 + 4 = 14$
4. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $，$ B $，$ C $ 的坐标分别为 $ (a,0) $，$ (b,0) $，$ (-1,2) $，且实数 $ a $，$ b $ 满足 $ |a + 2| + \sqrt{b - 3} = 0 $.
（1）求 $ a $，$ b $ 的值.
（2）① 若在 $ x $ 轴的正半轴上存在一点 $ M $，使 $ S_{\mathrm{三角形}COM} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{三角形}ABC} $，求点 $ M $ 的坐标.
② 在坐标轴的其他位置是否存在点 $ M $，使 $ S_{\mathrm{三角形}COM} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{三角形}ABC} $ 成立？若存在，请写出符合条件的点 $ M $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）求 $ a $，$ b $ 的值.
（2）① 若在 $ x $ 轴的正半轴上存在一点 $ M $，使 $ S_{\mathrm{三角形}COM} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{三角形}ABC} $，求点 $ M $ 的坐标.
② 在坐标轴的其他位置是否存在点 $ M $，使 $ S_{\mathrm{三角形}COM} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{三角形}ABC} $ 成立？若存在，请写出符合条件的点 $ M $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：4.(1)由题意，得a + 2 = 0，b - 3 = 0，解得a = - 2，b = 3
(2)①
∵a = - 2，b = 3，C(-1,2)，
∴AB = 3 - (-2)=5，点C到AB的距离为2.
∵S三角形$COM=\frac{1}{2}S$三角形ABC，
∴$\frac{1}{2}OM×2 =$
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×5×2.$
∴OM = 2.5.
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为(2.5,0) ②存在 当点M在x轴的负半轴上时，坐标为(-2.5,0).当点M在y轴上时，易得$\frac{1}{2}OM×1 =$
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×5×2，$
∴OM = 5.
∴点M的坐标为(0,5)或(0,-5).
综上所述，符合条件的点M的坐标为(-2.5,0)或(0,5)或(0,-5)
(2)①
∵a = - 2，b = 3，C(-1,2)，
∴AB = 3 - (-2)=5，点C到AB的距离为2.
∵S三角形$COM=\frac{1}{2}S$三角形ABC，
∴$\frac{1}{2}OM×2 =$
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×5×2.$
∴OM = 2.5.
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为(2.5,0) ②存在 当点M在x轴的负半轴上时，坐标为(-2.5,0).当点M在y轴上时，易得$\frac{1}{2}OM×1 =$
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×5×2，$
∴OM = 5.
∴点M的坐标为(0,5)或(0,-5).
综上所述，符合条件的点M的坐标为(-2.5,0)或(0,5)或(0,-5)