1. 下列方程组中，属于三元一次方程组的是（
A.$\begin{cases}x + y + z = 5,\\y + z + 2w = 1,\\x - z + w = 6\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y - z = 1,\\xz = 6,\\x - y = 10\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - z = 10,\\x - y + z = 1,\\x - z = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 3,\\y + \frac{1}{z} = 1,\\x - z = 6\end{cases}$
C
）A.$\begin{cases}x + y + z = 5,\\y + z + 2w = 1,\\x - z + w = 6\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y - z = 1,\\xz = 6,\\x - y = 10\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - z = 10,\\x - y + z = 1,\\x - z = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 3,\\y + \frac{1}{z} = 1,\\x - z = 6\end{cases}$
答案：1.C
2. 已知方程组$\begin{cases}x + 2y + 3z = 23①,\\y - z = 5②,\\x + 2z = 10③,\end{cases}$由②，得$y =$ ______ ④；由③，得$x =$ ______ ⑤；将④⑤代入①，得$z =$ ______ .
答案：2.5+z 10-2z 1
解析：
5+z；10-2z；1
3. (教材P111习题10.4第1题变式)解方程组：
（1）$\begin{cases}z = x + y,\\2x - 3y + 5z = 5,\\3x + y - z = 2;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}x + y + z = 8,\\3x - y + z = 4,\\x - z = 3.\end{cases}$
（1）$\begin{cases}z = x + y,\\2x - 3y + 5z = 5,\\3x + y - z = 2;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}x + y + z = 8,\\3x - y + z = 4,\\x - z = 3.\end{cases}$
答案：$(1)$ 解方程组$\begin{cases}z = x + y,\\2x - 3y + 5z = 5,\\3x + y - z = 2\end{cases}$
- 步骤一：将$z = x + y$代入$2x - 3y + 5z = 5$和$3x + y - z = 2$中
把$z = x + y$代入$2x - 3y + 5z = 5$，可得：
$2x - 3y + 5(x + y)=5$，
去括号得$2x - 3y + 5x + 5y = 5$，
合并同类项得$7x + 2y = 5$ $(a)$。
把$z = x + y$代入$3x + y - z = 2$，可得：
$3x + y-(x + y)=2$，
去括号得$3x + y - x - y = 2$，
合并同类项得$2x = 2$，
解得$x = 1$。
步骤二：将$x = 1$代入$(a)$式求$y$的值
把$x = 1$代入$7x + 2y = 5$，即$7×1 + 2y = 5$，
移项得$2y = 5 - 7$，
$2y=-2$，
解得$y = - 1$。
步骤三：将$x = 1$，$y = - 1$代入$z = x + y$求$z$的值
$z = 1+( - 1)=0$。
所以方程组$\begin{cases}z = x + y,\\2x - 3y + 5z = 5,\\3x + y - z = 2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1\\y = - 1\\z = 0\end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}x + y + z = 8,\\3x - y + z = 4,\\x - z = 3\end{cases}$
步骤一：由$x + y + z = 8$加上$3x - y + z = 4$消去$y$
$(x + y + z)+(3x - y + z)=8 + 4$，
去括号得$x + y + z + 3x - y + z = 12$，
合并同类项得$4x + 2z = 12$，
两边同时除以$2$得$2x + z = 6$ $(b)$。
步骤二：联立$(b)$式与$x - z = 3$求解$x$和$z$
$\begin{cases}2x + z = 6\\x - z = 3\end{cases}$，
将两式相加消去$z$得：$(2x + z)+(x - z)=6 + 3$，
$2x + z + x - z = 9$，
$3x = 9$，
解得$x = 3$。
把$x = 3$代入$x - z = 3$，得$3 - z = 3$，
解得$z = 0$。
步骤三：将$x = 3$，$z = 0$代入$x + y + z = 8$求$y$的值
$3 + y + 0 = 8$，
解得$y = 5$。
所以方程组$\begin{cases}x + y + z = 8,\\3x - y + z = 4,\\x - z = 3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 5\\z = 0\end{cases}$。
综上，$(1)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 1\\y = - 1\\z = 0\end{cases}}$；$(2)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 3\\y = 5\\z = 0\end{cases}}$。
- 步骤一：将$z = x + y$代入$2x - 3y + 5z = 5$和$3x + y - z = 2$中
把$z = x + y$代入$2x - 3y + 5z = 5$，可得：
$2x - 3y + 5(x + y)=5$，
去括号得$2x - 3y + 5x + 5y = 5$，
合并同类项得$7x + 2y = 5$ $(a)$。
把$z = x + y$代入$3x + y - z = 2$，可得：
$3x + y-(x + y)=2$，
去括号得$3x + y - x - y = 2$，
合并同类项得$2x = 2$，
解得$x = 1$。
步骤二：将$x = 1$代入$(a)$式求$y$的值
把$x = 1$代入$7x + 2y = 5$，即$7×1 + 2y = 5$，
移项得$2y = 5 - 7$，
$2y=-2$，
解得$y = - 1$。
步骤三：将$x = 1$，$y = - 1$代入$z = x + y$求$z$的值
$z = 1+( - 1)=0$。
所以方程组$\begin{cases}z = x + y,\\2x - 3y + 5z = 5,\\3x + y - z = 2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1\\y = - 1\\z = 0\end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}x + y + z = 8,\\3x - y + z = 4,\\x - z = 3\end{cases}$
步骤一：由$x + y + z = 8$加上$3x - y + z = 4$消去$y$
$(x + y + z)+(3x - y + z)=8 + 4$，
去括号得$x + y + z + 3x - y + z = 12$，
合并同类项得$4x + 2z = 12$，
两边同时除以$2$得$2x + z = 6$ $(b)$。
步骤二：联立$(b)$式与$x - z = 3$求解$x$和$z$
$\begin{cases}2x + z = 6\\x - z = 3\end{cases}$，
将两式相加消去$z$得：$(2x + z)+(x - z)=6 + 3$，
$2x + z + x - z = 9$，
$3x = 9$，
解得$x = 3$。
把$x = 3$代入$x - z = 3$，得$3 - z = 3$，
解得$z = 0$。
步骤三：将$x = 3$，$z = 0$代入$x + y + z = 8$求$y$的值
$3 + y + 0 = 8$，
解得$y = 5$。
所以方程组$\begin{cases}x + y + z = 8,\\3x - y + z = 4,\\x - z = 3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 5\\z = 0\end{cases}$。
综上，$(1)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 1\\y = - 1\\z = 0\end{cases}}$；$(2)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 3\\y = 5\\z = 0\end{cases}}$。
解析：
（1）解：$\begin{cases}z = x + y,①\\2x - 3y + 5z = 5,②\\3x + y - z = 2,③\end{cases}$
将①代入②得：$2x - 3y + 5(x + y) = 5$，化简得$7x + 2y = 5,④$
将①代入③得：$3x + y - (x + y) = 2$，化简得$2x = 2$，解得$x = 1$
把$x = 1$代入④得：$7×1 + 2y = 5$，解得$y = -1$
把$x = 1$，$y = -1$代入①得：$z = 1 + (-1) = 0$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = -1, \\ z = 0 \end{cases}$
（2）解：$\begin{cases}x + y + z = 8,①\\3x - y + z = 4,②\\x - z = 3,③\end{cases}$
① + ②得：$4x + 2z = 12$，化简得$2x + z = 6,④$
③ + ④得：$3x = 9$，解得$x = 3$
把$x = 3$代入③得：$3 - z = 3$，解得$z = 0$
把$x = 3$，$z = 0$代入①得：$3 + y + 0 = 8$，解得$y = 5$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 3, \\ y = 5, \\ z = 0 \end{cases}$
将①代入②得：$2x - 3y + 5(x + y) = 5$，化简得$7x + 2y = 5,④$
将①代入③得：$3x + y - (x + y) = 2$，化简得$2x = 2$，解得$x = 1$
把$x = 1$代入④得：$7×1 + 2y = 5$，解得$y = -1$
把$x = 1$，$y = -1$代入①得：$z = 1 + (-1) = 0$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = -1, \\ z = 0 \end{cases}$
（2）解：$\begin{cases}x + y + z = 8,①\\3x - y + z = 4,②\\x - z = 3,③\end{cases}$
① + ②得：$4x + 2z = 12$，化简得$2x + z = 6,④$
③ + ④得：$3x = 9$，解得$x = 3$
把$x = 3$代入③得：$3 - z = 3$，解得$z = 0$
把$x = 3$，$z = 0$代入①得：$3 + y + 0 = 8$，解得$y = 5$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 3, \\ y = 5, \\ z = 0 \end{cases}$
4. 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解.规定：关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1,\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$可以写成矩阵$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{pmatrix}$的形式.例如：$\begin{cases}3x + 4y = 16,\\5x - 6y = 33\end{cases}$可以写成矩阵$\begin{pmatrix}3&4&16\\5& - 6&33\end{pmatrix}$的形式.
根据以上信息解决下面的问题：
（1）请求出矩阵$\begin{pmatrix}4&1&5\\3& - 2&1\end{pmatrix}$对应的方程组的解；
（2）若矩阵$\begin{pmatrix}a& - 2&3&7\\1&b&4&5\\2& - 1&c&8\end{pmatrix}$所对应的方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\\z = 1,\end{cases}$求$a + b + c$的值.
根据以上信息解决下面的问题：
（1）请求出矩阵$\begin{pmatrix}4&1&5\\3& - 2&1\end{pmatrix}$对应的方程组的解；
（2）若矩阵$\begin{pmatrix}a& - 2&3&7\\1&b&4&5\\2& - 1&c&8\end{pmatrix}$所对应的方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\\z = 1,\end{cases}$求$a + b + c$的值.
答案：4.(1) 由题意，得矩阵$\begin{pmatrix}4 & 1 & 5 \\3 & -2 & 3\end{pmatrix}$对应的方程组为
$\begin{cases}4x + y = 5, \\3x - 2y = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases} x = \frac{13}{11}, \\ y = \frac{3}{11} \end{cases}$
∴矩阵$\begin{pmatrix}4 & 1 & 5 \\3 & -2 & 3\end{pmatrix}$对应的方程组
的解为$\begin{cases} x = \frac{13}{11}, \\ y = \frac{3}{11} \end{cases}$
(2)
∵矩阵$\begin{pmatrix}a & -2 & 3 & 7 \\1 & b & 4 & 5 \\2 & -1 & c & 8\end{pmatrix}$所对应的方程
组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 1, \\ z = 1 \end{cases}$
∴将$\begin{cases} x = 1, \\ y = 1, \\ z = 1 \end{cases}$代入$\begin{cases}ax - 2y + 3z = 7, \\x + by + 4z = 5, \\2x - y + cz = 8\end{cases}$
得$\begin{cases}a - 2 + 3 = 7①, \\1 + b + 4 = 5②, \\2 - 1 + c = 8③\end{cases}$
①+②+③，得$a + b + c = 13$
$\begin{cases}4x + y = 5, \\3x - 2y = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases} x = \frac{13}{11}, \\ y = \frac{3}{11} \end{cases}$
∴矩阵$\begin{pmatrix}4 & 1 & 5 \\3 & -2 & 3\end{pmatrix}$对应的方程组
的解为$\begin{cases} x = \frac{13}{11}, \\ y = \frac{3}{11} \end{cases}$
(2)
∵矩阵$\begin{pmatrix}a & -2 & 3 & 7 \\1 & b & 4 & 5 \\2 & -1 & c & 8\end{pmatrix}$所对应的方程
组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 1, \\ z = 1 \end{cases}$
∴将$\begin{cases} x = 1, \\ y = 1, \\ z = 1 \end{cases}$代入$\begin{cases}ax - 2y + 3z = 7, \\x + by + 4z = 5, \\2x - y + cz = 8\end{cases}$
得$\begin{cases}a - 2 + 3 = 7①, \\1 + b + 4 = 5②, \\2 - 1 + c = 8③\end{cases}$
①+②+③，得$a + b + c = 13$