1. 已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 3x - my = 5, \\ 2x + ny = 6 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2, \end{cases} $ 求关于 $ a,b $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 3(a + b) - m(a - b) = 5, \\ 2(a + b) + n(a - b) = 6 \end{cases} $ 的解.
答案：1.
∵ 关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5, \\2x + ny = 6\end{cases}$ 的解是$\begin{cases}x = 1, \\y = 2,\end{cases}$
∴ 关于a，b的二元一次方程组$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5, \\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$满足$\begin{cases}a + b = 1, \\a - b = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{3}{2}, \\b = -\frac{1}{2}.\end{cases}$
∴ 关于a，b的二元一次方程组$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5, \\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}a = \frac{3}{2}, \\b = -\frac{1}{2}.\end{cases}$
∵ 关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5, \\2x + ny = 6\end{cases}$ 的解是$\begin{cases}x = 1, \\y = 2,\end{cases}$
∴ 关于a，b的二元一次方程组$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5, \\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$满足$\begin{cases}a + b = 1, \\a - b = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{3}{2}, \\b = -\frac{1}{2}.\end{cases}$
∴ 关于a，b的二元一次方程组$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5, \\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}a = \frac{3}{2}, \\b = -\frac{1}{2}.\end{cases}$
2. 两名同学对问题“若方程组 $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 4, \end{cases} $ 求方程组 $ \begin{cases} 3a_1x + 2b_1y = 5c_1, \\ 3a_2x + 2b_2y = 5c_2 \end{cases} $ 的解”提出各自的想法. 甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解. ”乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试. ”参考他们的讨论，谈谈你的看法（若不能求解，请说明原因；若能够求解，请写出求解过程）.
答案：2.$\begin{cases}3a_1x + 2b_1y = 5c_1, \\3a_2x + 2b_2y = 5c_2\end{cases}$可变形为$\begin{cases}\frac{3}{5}a_1x + \frac{2}{5}b_1y = c_1, \frac{3}{5}a_2x + \frac{2}{5}b_2y = c_2\end{cases}$①.设$\begin{cases}a_1m + b_1n = c_1, \\a_2m + b_2n = c_2\end{cases}$②.又
∵$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3, \\y = 4,\end{cases}$
∴ 方程组②的解是$\begin{cases}m = 3, \ = 4.\end{cases}$
∴ 3 = $\frac{3}{5}x$，4 = $\frac{2}{5}y$.
∴ x = 5，y = 10.
∴ 方程组$\begin{cases}3a_1x + 2b_1y = 5c_1, \\3a_2x + 2b_2y = 5c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 5, \\y = 10\end{cases}$
∵$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3, \\y = 4,\end{cases}$
∴ 方程组②的解是$\begin{cases}m = 3, \ = 4.\end{cases}$
∴ 3 = $\frac{3}{5}x$，4 = $\frac{2}{5}y$.
∴ x = 5，y = 10.
∴ 方程组$\begin{cases}3a_1x + 2b_1y = 5c_1, \\3a_2x + 2b_2y = 5c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 5, \\y = 10\end{cases}$
3. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}4x - y = 13, \\ ax + y = b\end{cases}$ 和 $ \begin{cases}x + by = a, \\ 3x - y = 10\end{cases}$ 有相同的解，则 $ a,b $ 的值分别为 ( )
A.$ 1,2 $
B.$ 4,-6 $
C.$ -6,2 $
D.$ 14,2 $
A.$ 1,2 $
B.$ 4,-6 $
C.$ -6,2 $
D.$ 14,2 $
答案：3. A
解析：
解：因为两个方程组有相同的解，所以联立不含$a$、$b$的方程：
$\begin{cases}4x - y = 13 \\3x - y = 10\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$4x - y - (3x - y) = 13 - 10$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$3x - y = 10$，得$3×3 - y = 10$，解得$y = -1$。
把$x = 3$，$y = -1$代入含$a$、$b$的方程：
$\begin{cases}3a + (-1) = b \\3 + b×(-1) = a\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}3a - b = 1 \\-a - b = -3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$3a - b - (-a - b) = 1 - (-3)$，即$4a = 4$，解得$a = 1$。
将$a = 1$代入$3a - b = 1$，得$3×1 - b = 1$，解得$b = 2$。
A
$\begin{cases}4x - y = 13 \\3x - y = 10\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$4x - y - (3x - y) = 13 - 10$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$3x - y = 10$，得$3×3 - y = 10$，解得$y = -1$。
把$x = 3$，$y = -1$代入含$a$、$b$的方程：
$\begin{cases}3a + (-1) = b \\3 + b×(-1) = a\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}3a - b = 1 \\-a - b = -3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$3a - b - (-a - b) = 1 - (-3)$，即$4a = 4$，解得$a = 1$。
将$a = 1$代入$3a - b = 1$，得$3×1 - b = 1$，解得$b = 2$。
A
4. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} x - y = 2a + 1, \\ 2x + 3y = 9a - 8, \end{cases} $ 其中 $ a $ 是实数.
（1）解这个方程组（用含 $ a $ 的式子表示 $ x,y $）；
（2）若方程组的解也是方程 $ x - 5y = 3 $ 的一个解，求 $ (a - 4)^{2025} $ 的值.
（1）解这个方程组（用含 $ a $ 的式子表示 $ x,y $）；
（2）若方程组的解也是方程 $ x - 5y = 3 $ 的一个解，求 $ (a - 4)^{2025} $ 的值.
答案：4. (1) 令$\begin{cases}x - y = 2a + 1①, \\2x + 3y = 9a - 8②,\end{cases}$由①×3 + ②，得5x = 15a - 5，解得x = 3a - 1;把x = 3a - 1代入①，得3a - 1 - y = 2a + 1，解得y = a - 2.
∴ 方程组的解为$\begin{cases}x = 3a - 1, \\y = a - 2\end{cases}$ (2) 把$\begin{cases}x = 3a - 1, \\y = a - 2\end{cases}$代入方程x - 5y = 3，得3a - 1 - 5a + 10 = 3，解得a = 3.
∴ (a - 4)^2025 = -1
∴ 方程组的解为$\begin{cases}x = 3a - 1, \\y = a - 2\end{cases}$ (2) 把$\begin{cases}x = 3a - 1, \\y = a - 2\end{cases}$代入方程x - 5y = 3，得3a - 1 - 5a + 10 = 3，解得a = 3.
∴ (a - 4)^2025 = -1