16. 若方程组 $ \begin{cases}2x + y = □,\\x - 3y = 7\end{cases}$ 的解为 $ \begin{cases}x = 1,\\y = \triangle,\end{cases}$ 则“$ □ $”表示的数为 ______ .
答案：16.0
解析：
将$x = 1$代入$x - 3y = 7$，得$1 - 3y = 7$，解得$y = -2$。
将$x = 1$，$y = -2$代入$2x + y$，得$2×1 + (-2) = 0$。
0
将$x = 1$，$y = -2$代入$2x + y$，得$2×1 + (-2) = 0$。
0
17. 已知 $ \vert a - b - 1\vert+(b - 2a + c)^2+\vert 2c - b\vert = 0 $，则 $ a = $
-3
，$ b = $-4
，$ c = $-2
.答案：17.-3 -4 -2
解析：
解：由题意得：
$\begin{cases}a - b - 1 = 0 \\b - 2a + c = 0 \\2c - b = 0\end{cases}$
由$2c - b = 0$得$b = 2c$，代入$a - b - 1 = 0$得$a = 2c + 1$，将$a = 2c + 1$，$b = 2c$代入$b - 2a + c = 0$：
$2c - 2(2c + 1) + c = 0$
$2c - 4c - 2 + c = 0$
$-c - 2 = 0 \implies c = -2$
则$b = 2c = -4$，$a = 2c + 1 = -3$
-3 -4 -2
$\begin{cases}a - b - 1 = 0 \\b - 2a + c = 0 \\2c - b = 0\end{cases}$
由$2c - b = 0$得$b = 2c$，代入$a - b - 1 = 0$得$a = 2c + 1$，将$a = 2c + 1$，$b = 2c$代入$b - 2a + c = 0$：
$2c - 2(2c + 1) + c = 0$
$2c - 4c - 2 + c = 0$
$-c - 2 = 0 \implies c = -2$
则$b = 2c = -4$，$a = 2c + 1 = -3$
-3 -4 -2
18. 有人问某男孩有几个兄弟，几个姐妹，他回答：“有几个兄弟就有几个姐妹.”再问他妹妹有几个兄弟，几个姐妹，他妹妹回答：“我的兄弟人数是我姐妹的 2 倍.”若设男孩有 $ x $ 个，女孩有 $ y $ 个，则所列方程组为.
答案：$18.\begin{cases} x - 1 = y ,\\ x = 2 ( y - 1 ) \end{cases}$
19. 解方程组：
(1) $ \begin{cases}3x - 5y = 3,\\\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1;\end{cases} $
(2) $ \begin{cases}2x + 3y - z = 9,\\x + y + z = 15,\\5x - 4y - z = 0.\end{cases} $
(1) $ \begin{cases}3x - 5y = 3,\\\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1;\end{cases} $
(2) $ \begin{cases}2x + 3y - z = 9,\\x + y + z = 15,\\5x - 4y - z = 0.\end{cases} $
答案：$(1)$ 解方程组$\begin{cases}3x - 5y = 3\\\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1\end{cases}$
- 步骤一：对第二个方程进行化简
给$\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1$两边同时乘以$6$去分母得：$3x - 2y = 6$。
此时方程组变为$\begin{cases}3x - 5y = 3&(a)\\3x - 2y = 6&(b)\end{cases}$。
- 步骤二：消元求解$y$的值
用$(b)$式减去$(a)$式消去$x$：
$(3x - 2y)-(3x - 5y)=6 - 3$
去括号得：$3x - 2y - 3x + 5y = 3$
合并同类项得：$3y = 3$
解得：$y = 1$。
- 步骤三：将$y$的值代入方程求解$x$的值
把$y = 1$代入$3x - 5y = 3$中，得到$3x - 5×1 = 3$，即$3x - 5 = 3$。
移项得：$3x = 3 + 5$，即$3x = 8$。
解得：$x=\dfrac{8}{3}$。
所以，方程组$\begin{cases}3x - 5y = 3\\\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=\dfrac{8}{3}\\y = 1\end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}2x + 3y - z = 9&(c)\\x + y + z = 15&(d)\\5x - 4y - z = 0&(e)\end{cases}$
- 步骤一：消去$z$得到关于$x$，$y$的方程组
$(c)+(d)$消去$z$：
$(2x + 3y - z)+(x + y + z)=9 + 15$
去括号得：$2x + 3y - z + x + y + z = 24$
合并同类项得：$3x + 4y = 24$ $(f)$。
$(e)+(d)$消去$z$：
$(5x - 4y - z)+(x + y + z)=0 + 15$
去括号得：$5x - 4y - z + x + y + z = 15$
合并同类项得：$6x - 3y = 15$，两边同时除以$3$得$2x - y = 5$ $(g)$。
此时得到关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x + 4y = 24&(f)\\2x - y = 5&(g)\end{cases}$。
- 步骤二：求解$y$关于$x$的表达式并代入消元
由$(g)$式得$y = 2x - 5$ $(h)$。
把$(h)$代入$(f)$式：$3x + 4(2x - 5)=24$。
去括号得：$3x + 8x - 20 = 24$。
移项得：$3x + 8x = 24 + 20$。
合并同类项得：$11x = 44$。
解得：$x = 4$。
- 步骤三：将$x$的值代入$(h)$式求$y$的值
把$x = 4$代入$(h)$式$y = 2x - 5$，得$y = 2×4 - 5=3$。
- 步骤四：将$x$，$y$的值代入方程求$z$的值
把$x = 4$，$y = 3$代入$(d)$式$x + y + z = 15$，得$4 + 3 + z = 15$。
移项得：$z = 15 - 4 - 3$。
解得：$z = 8$。
所以，方程组$\begin{cases}2x + 3y - z = 9\\x + y + z = 15\\5x - 4y - z = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 3\\z = 8\end{cases}$。
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{\begin{cases}x=\dfrac{8}{3}\\y = 1\end{cases}}$；$(2)$$\boldsymbol{\begin{cases}x = 4\\y = 3\\z = 8\end{cases}}$。
- 步骤一：对第二个方程进行化简
给$\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1$两边同时乘以$6$去分母得：$3x - 2y = 6$。
此时方程组变为$\begin{cases}3x - 5y = 3&(a)\\3x - 2y = 6&(b)\end{cases}$。
- 步骤二：消元求解$y$的值
用$(b)$式减去$(a)$式消去$x$：
$(3x - 2y)-(3x - 5y)=6 - 3$
去括号得：$3x - 2y - 3x + 5y = 3$
合并同类项得：$3y = 3$
解得：$y = 1$。
- 步骤三：将$y$的值代入方程求解$x$的值
把$y = 1$代入$3x - 5y = 3$中，得到$3x - 5×1 = 3$，即$3x - 5 = 3$。
移项得：$3x = 3 + 5$，即$3x = 8$。
解得：$x=\dfrac{8}{3}$。
所以，方程组$\begin{cases}3x - 5y = 3\\\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=\dfrac{8}{3}\\y = 1\end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}2x + 3y - z = 9&(c)\\x + y + z = 15&(d)\\5x - 4y - z = 0&(e)\end{cases}$
- 步骤一：消去$z$得到关于$x$，$y$的方程组
$(c)+(d)$消去$z$：
$(2x + 3y - z)+(x + y + z)=9 + 15$
去括号得：$2x + 3y - z + x + y + z = 24$
合并同类项得：$3x + 4y = 24$ $(f)$。
$(e)+(d)$消去$z$：
$(5x - 4y - z)+(x + y + z)=0 + 15$
去括号得：$5x - 4y - z + x + y + z = 15$
合并同类项得：$6x - 3y = 15$，两边同时除以$3$得$2x - y = 5$ $(g)$。
此时得到关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x + 4y = 24&(f)\\2x - y = 5&(g)\end{cases}$。
- 步骤二：求解$y$关于$x$的表达式并代入消元
由$(g)$式得$y = 2x - 5$ $(h)$。
把$(h)$代入$(f)$式：$3x + 4(2x - 5)=24$。
去括号得：$3x + 8x - 20 = 24$。
移项得：$3x + 8x = 24 + 20$。
合并同类项得：$11x = 44$。
解得：$x = 4$。
- 步骤三：将$x$的值代入$(h)$式求$y$的值
把$x = 4$代入$(h)$式$y = 2x - 5$，得$y = 2×4 - 5=3$。
- 步骤四：将$x$，$y$的值代入方程求$z$的值
把$x = 4$，$y = 3$代入$(d)$式$x + y + z = 15$，得$4 + 3 + z = 15$。
移项得：$z = 15 - 4 - 3$。
解得：$z = 8$。
所以，方程组$\begin{cases}2x + 3y - z = 9\\x + y + z = 15\\5x - 4y - z = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 3\\z = 8\end{cases}$。
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{\begin{cases}x=\dfrac{8}{3}\\y = 1\end{cases}}$；$(2)$$\boldsymbol{\begin{cases}x = 4\\y = 3\\z = 8\end{cases}}$。
解析：
(1)
$\begin{cases}3x - 5y = 3 & ① \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 & ②\end{cases}$
由②得：$3x - 2y = 6$ ③
③ - ①得：$3y = 3$，解得$y = 1$
将$y = 1$代入①得：$3x - 5 = 3$，解得$x = \frac{8}{3}$
$\begin{cases}x = \frac{8}{3} \\y = 1\end{cases}$
(2)
$\begin{cases}2x + 3y - z = 9 & ① \\x + y + z = 15 & ② \\5x - 4y - z = 0 & ③\end{cases}$
① + ②得：$3x + 4y = 24$ ④
③ + ②得：$6x - 3y = 15$，即$2x - y = 5$ ⑤
由⑤得：$y = 2x - 5$
将$y = 2x - 5$代入④得：$3x + 4(2x - 5) = 24$，解得$x = 4$
将$x = 4$代入$y = 2x - 5$得：$y = 3$
将$x = 4$，$y = 3$代入②得：$4 + 3 + z = 15$，解得$z = 8$
$\begin{cases}x = 4 \\y = 3 \\z = 8\end{cases}$
$\begin{cases}3x - 5y = 3 & ① \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 & ②\end{cases}$
由②得：$3x - 2y = 6$ ③
③ - ①得：$3y = 3$，解得$y = 1$
将$y = 1$代入①得：$3x - 5 = 3$，解得$x = \frac{8}{3}$
$\begin{cases}x = \frac{8}{3} \\y = 1\end{cases}$
(2)
$\begin{cases}2x + 3y - z = 9 & ① \\x + y + z = 15 & ② \\5x - 4y - z = 0 & ③\end{cases}$
① + ②得：$3x + 4y = 24$ ④
③ + ②得：$6x - 3y = 15$，即$2x - y = 5$ ⑤
由⑤得：$y = 2x - 5$
将$y = 2x - 5$代入④得：$3x + 4(2x - 5) = 24$，解得$x = 4$
将$x = 4$代入$y = 2x - 5$得：$y = 3$
将$x = 4$，$y = 3$代入②得：$4 + 3 + z = 15$，解得$z = 8$
$\begin{cases}x = 4 \\y = 3 \\z = 8\end{cases}$
20. (新考法·新定义题)定义：关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ ax + y = b $ 与 $ bx + y = a $ 互为“对称二元一次方程”，例如：$ 2x + y = 3 $ 与 $ 3x + y = 2 $ 互为“对称二元一次方程”.
(1) 直接写出二元一次方程 $ 4x + y = - 1 $ 的“对称二元一次方程”；
(2) 关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ (1 + 2a)x + y = - 4 - 3b $ 与 $ (2a + 3)x + y = - b - 4 $ 互为“对称二元一次方程”，求 $ a,b $ 的值.
(1) 直接写出二元一次方程 $ 4x + y = - 1 $ 的“对称二元一次方程”；
(2) 关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ (1 + 2a)x + y = - 4 - 3b $ 与 $ (2a + 3)x + y = - b - 4 $ 互为“对称二元一次方程”，求 $ a,b $ 的值.
答案：20.(1)由新定义，可得二元一次方程4x+y=-1的“对称二元一次方程”是-x+y=4 (2)
∵关于x,y的二元一次方程(1+2a)x+y=-4-3b与(2a+3)x+y=-b-4互为“对称二元一次方程”，
∴$\begin{cases}2a+3=-4-3b,\\1+2a=-b-4.\end{cases}$即$\begin{cases}2a+3b=-7①,\\2a+b=-5②.\end{cases}$
②,得2b=-2,解得b=-1.把b=-1代入②，得2a-1=-5,
解得a=-2
∵关于x,y的二元一次方程(1+2a)x+y=-4-3b与(2a+3)x+y=-b-4互为“对称二元一次方程”，
∴$\begin{cases}2a+3=-4-3b,\\1+2a=-b-4.\end{cases}$即$\begin{cases}2a+3b=-7①,\\2a+b=-5②.\end{cases}$
②,得2b=-2,解得b=-1.把b=-1代入②，得2a-1=-5,
解得a=-2
21. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}x + y = - 1,\\3x - 2y = 7\end{cases} $ 的解满足 $ 2x - ky = 10 $（$ k $ 是常数）. 求：
(1) $ k $ 的值；
(2) 关于 $ x,y $ 的方程 $ (k - 1)x + 2y = 13 $ 的正整数解.
(1) $ k $ 的值；
(2) 关于 $ x,y $ 的方程 $ (k - 1)x + 2y = 13 $ 的正整数解.
答案：21.(1)解方程组$\begin{cases}x+y=-1,\\3x-2y=7,\end{cases}$得$\begin{cases}x=1,\\y=-2.\end{cases}$代入2x-ky=10，
得2+2k=10,解得k=4 (2)把k=4代入方程(k-1)x+
2y=13,得3x+2y=13,即$y=\frac{13-3x}{2},$
∴关于x,y的方程
(k-1)x+2y=13的正整数解为$\begin{cases}x=1,\\y=5,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$
得2+2k=10,解得k=4 (2)把k=4代入方程(k-1)x+
2y=13,得3x+2y=13,即$y=\frac{13-3x}{2},$
∴关于x,y的方程
(k-1)x+2y=13的正整数解为$\begin{cases}x=1,\\y=5,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$