21. （10 分）某超市销售每台进价分别为 $160$ 元、$120$ 元的 $A$，$B$ 两种型号的电器，下表是近两周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润 $=$ 销售收入 $-$ 进货成本）：
（1）求 $A$，$B$ 两种型号的电器的销售单价；
（2）若该超市准备用不多于 $7500$ 元的金额再采购这两种型号的电器共 $50$ 台，求 $A$ 种型号的电器最多能采购多少台.
（1）求 $A$，$B$ 两种型号的电器的销售单价；
（2）若该超市准备用不多于 $7500$ 元的金额再采购这两种型号的电器共 $50$ 台，求 $A$ 种型号的电器最多能采购多少台.
答案：21.(1)设 A 种型号的电器的销售单价为 x 元，B 种型号的电器
的销售单价为 y 元.依题意，得$ \begin{cases} 3x + 4y = 1200, \\ 5x + 6y = 1900, \end{cases} $解得$ \begin{cases} x = 200, \\ y = 150. \end{cases}$
答：A 种型号的电器的销售单价为 200 元，B 种型号的电器的销
售单价为 150 元 (2)设采购 A 种型号电器 a 台，则采购 B 种
型号电器(50 - a)台.依题意，得$ 160a + 120(50 - a) \leqslant 7500，$解
得$ a \leqslant 37\frac{1}{2}.$又$\because a $为正整数，$\therefore a $的最大值为 37.答：A 种型
号的电器最多能采购 37 台
的销售单价为 y 元.依题意，得$ \begin{cases} 3x + 4y = 1200, \\ 5x + 6y = 1900, \end{cases} $解得$ \begin{cases} x = 200, \\ y = 150. \end{cases}$
答：A 种型号的电器的销售单价为 200 元，B 种型号的电器的销
售单价为 150 元 (2)设采购 A 种型号电器 a 台，则采购 B 种
型号电器(50 - a)台.依题意，得$ 160a + 120(50 - a) \leqslant 7500，$解
得$ a \leqslant 37\frac{1}{2}.$又$\because a $为正整数，$\therefore a $的最大值为 37.答：A 种型
号的电器最多能采购 37 台
22. （10 分）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”.例如：方程 $2x - 7 = 1$ 的解为 $x = 4$，不等式组 $\begin{cases}x - 5 ＜ 0, \\ 3x ＞ 6\end{cases}$ 的解集为 $2 ＜ x ＜ 5$，因为 $2 ＜ 4 ＜ 5$，所以称方程 $2x - 7 = 1$ 是不等式组 $\begin{cases}x - 5 ＜ 0, \\ 3x ＞ 6\end{cases}$ 的“相伴方程”.
（1）方程 $2(x - 1) + 9 = 1$ 是不是不等式组 $\begin{cases}x - 3 ＜ 1, \\ x + 2 \leq 0\end{cases}$ 的“相伴方程”？请说明理由.
（2）若关于 $x$ 的方程 $2x - a = 1$ 是不等式组 $\begin{cases}3x + 2 ＞ 3 + x, \\ x - 3 \geq 2x - 6\end{cases}$ 的“相伴方程”，求 $a$ 的取值范围.
（3）若方程 $5x + 10 = 0$ 和 $\frac{2x - 4}{3} = -2$ 都是关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}kx + 2x ＜ k + 2, \\ x + 3 \geq k\end{cases}$（$k \neq -2$）的“相伴方程”，求 $k$ 的取值范围.
（1）方程 $2(x - 1) + 9 = 1$ 是不是不等式组 $\begin{cases}x - 3 ＜ 1, \\ x + 2 \leq 0\end{cases}$ 的“相伴方程”？请说明理由.
（2）若关于 $x$ 的方程 $2x - a = 1$ 是不等式组 $\begin{cases}3x + 2 ＞ 3 + x, \\ x - 3 \geq 2x - 6\end{cases}$ 的“相伴方程”，求 $a$ 的取值范围.
（3）若方程 $5x + 10 = 0$ 和 $\frac{2x - 4}{3} = -2$ 都是关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}kx + 2x ＜ k + 2, \\ x + 3 \geq k\end{cases}$（$k \neq -2$）的“相伴方程”，求 $k$ 的取值范围.
答案：22.(1)方程 2(x - 1) + 9 = 1 是不等式组$ \begin{cases} x - 3 ＜ 1, \\ x + 2 \leqslant 0 \end{cases} $的“相伴方
程” 理由：解不等式组
得$ x \leqslant -2.$解方程 2(x -
1) + 9 = 1，得$ x = -3.\because -3 ＜ -2，$$\therefore $方程 2(x - 1) + 9 = 1 是
不等式组$ \begin{cases} x - 3 ＜ 1, \\ x + 2 \leqslant 0 \end{cases} $的“相伴方程”. (2)解不等式组
$\begin{cases} 3x + 2 ＞ 3 + x, \\ x - 3 \geqslant 2x - 6, \end{cases} $得$ \frac{1}{2} ＜ x \leqslant 3.$解方程 2x - a = 1，得$ x = \frac{1 + a}{2}$
$\because $关于 x 的方程 2x - a = 1 是不等式组$ \begin{cases} 3x + 2 ＞ 3 + x, \\ x - 3 \geqslant 2x - 6 \end{cases} $的“相
伴方程”，$\therefore \frac{1}{2} ＜ \frac{1 + a}{2} \leqslant 3，$解得$ 0 ＜ a \leqslant 5，$即 a 的取值范围是
$0 ＜ a \leqslant 5 (3)$解方程 5x + 10 = 0，得 x = -2.解方程
$\frac{2x - 4}{3} = -2，$得$ x = -1.\because $方程 5x + 10 = 0 和$ \frac{2x - 4}{3} = -2 $都
是关于 x 的不等式组$ \begin{cases} kx + 2x ＜ k + 2, \\ x + 3 \geqslant k \end{cases} (k \neq -2)$的“相伴方程”，
$\therefore $分为两种情况：① 当 k ＜ -2 时，不等式组 \begin{cases} x ＞$ 1, \\ x \geqslant k - 3, \end{cases} $此
时不等式组的解集为 x ＞ 1，不符合题意，舍去. ② 当 k ＞ -2 时，不
等式组为$ \begin{cases} x ＜ 1, \\ x \geqslant k - 3, \end{cases} $此时不等式组的解集为$ k - 3 \leqslant x ＜ 1.\therefore $根
据题意，得$ \begin{cases} k ＞ -2, \\ k - 3 \leqslant -2, \end{cases} $解得$ -2 ＜ k \leqslant 1.$综上所述，k 的取值范
围是$ -2 ＜ k \leqslant 1$
程” 理由：解不等式组
得$ x \leqslant -2.$解方程 2(x -
1) + 9 = 1，得$ x = -3.\because -3 ＜ -2，$$\therefore $方程 2(x - 1) + 9 = 1 是
不等式组$ \begin{cases} x - 3 ＜ 1, \\ x + 2 \leqslant 0 \end{cases} $的“相伴方程”. (2)解不等式组
$\begin{cases} 3x + 2 ＞ 3 + x, \\ x - 3 \geqslant 2x - 6, \end{cases} $得$ \frac{1}{2} ＜ x \leqslant 3.$解方程 2x - a = 1，得$ x = \frac{1 + a}{2}$
$\because $关于 x 的方程 2x - a = 1 是不等式组$ \begin{cases} 3x + 2 ＞ 3 + x, \\ x - 3 \geqslant 2x - 6 \end{cases} $的“相
伴方程”，$\therefore \frac{1}{2} ＜ \frac{1 + a}{2} \leqslant 3，$解得$ 0 ＜ a \leqslant 5，$即 a 的取值范围是
$0 ＜ a \leqslant 5 (3)$解方程 5x + 10 = 0，得 x = -2.解方程
$\frac{2x - 4}{3} = -2，$得$ x = -1.\because $方程 5x + 10 = 0 和$ \frac{2x - 4}{3} = -2 $都
是关于 x 的不等式组$ \begin{cases} kx + 2x ＜ k + 2, \\ x + 3 \geqslant k \end{cases} (k \neq -2)$的“相伴方程”，
$\therefore $分为两种情况：① 当 k ＜ -2 时，不等式组 \begin{cases} x ＞$ 1, \\ x \geqslant k - 3, \end{cases} $此
时不等式组的解集为 x ＞ 1，不符合题意，舍去. ② 当 k ＞ -2 时，不
等式组为$ \begin{cases} x ＜ 1, \\ x \geqslant k - 3, \end{cases} $此时不等式组的解集为$ k - 3 \leqslant x ＜ 1.\therefore $根
据题意，得$ \begin{cases} k ＞ -2, \\ k - 3 \leqslant -2, \end{cases} $解得$ -2 ＜ k \leqslant 1.$综上所述，k 的取值范
围是$ -2 ＜ k \leqslant 1$