新知梳理
1. 一般地，如果一个数 $ x $ 的立方等于 $ a $，即 $ x^{3}=a $，那么这个数 $ x $ 叫作 $ a $ 的
2. 求一个数的立方根的运算，叫作
3. 正数的立方根是
4. $ \sqrt[3]{-a}= $
1. 一般地，如果一个数 $ x $ 的立方等于 $ a $，即 $ x^{3}=a $，那么这个数 $ x $ 叫作 $ a $ 的
立方根
或三次方根
.一个数 $ a $ 的立方根记为“$\sqrt[3]{a}$
”，读作“三次根号a
”，其中a
是被开方数，3
是根指数.2. 求一个数的立方根的运算，叫作
开立方
.3. 正数的立方根是
正
数，负数的立方根是负
数，$ 0 $ 的立方根是0
.4. $ \sqrt[3]{-a}= $
$-\sqrt[3]{a}$
，$ \sqrt[3]{a^{3}}= $a
，$ (\sqrt[3]{a})^{3}= $a
.答案：1.立方根 三次方根 $\sqrt[3]{a}$ 三次根号a a 3 2.开立方
3.正 负 0 4.$-\sqrt[3]{a}$ a a
3.正 负 0 4.$-\sqrt[3]{a}$ a a
1. $ -\dfrac{1}{27} $ 的立方根为 (
A.$ -\dfrac{1}{3} $
B.$ \dfrac{1}{3} $
C.$ \pm \dfrac{1}{3} $
D.$ \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3} $
A
)A.$ -\dfrac{1}{3} $
B.$ \dfrac{1}{3} $
C.$ \pm \dfrac{1}{3} $
D.$ \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3} $
答案：1.A
解析：
因为$(-\dfrac{1}{3})^3 = -\dfrac{1}{27}$，所以$-\dfrac{1}{27}$的立方根为$-\dfrac{1}{3}$。A
2. 下列各数中，立方根一定是负数的为 (
A.$ a $
B.$ -a $
C.$ -a^{2} $
D.$ -a^{2}-1 $
D
)A.$ a $
B.$ -a $
C.$ -a^{2} $
D.$ -a^{2}-1 $
答案：2.D
解析：
对于选项A：当$a$为正数时，$a$的立方根是正数；当$a = 0$时，$a$的立方根是$0$；当$a$为负数时，$a$的立方根是负数，所以$a$的立方根不一定是负数。
对于选项B：当$a$为正数时，$-a$为负数，其立方根是负数；当$a = 0$时，$-a = 0$，立方根是$0$；当$a$为负数时，$-a$为正数，立方根是正数，所以$-a$的立方根不一定是负数。
对于选项C：因为$a^{2}\geq0$，所以$-a^{2}\leq0$，当$a = 0$时，$-a^{2}=0$，立方根是$0$，所以$-a^{2}$的立方根不一定是负数。
对于选项D：因为$a^{2}\geq0$，所以$-a^{2}\leq0$，则$-a^{2}-1\leq -1\lt0$，负数的立方根是负数，所以$-a^{2}-1$的立方根一定是负数。
D
对于选项B：当$a$为正数时，$-a$为负数，其立方根是负数；当$a = 0$时，$-a = 0$，立方根是$0$；当$a$为负数时，$-a$为正数，立方根是正数，所以$-a$的立方根不一定是负数。
对于选项C：因为$a^{2}\geq0$，所以$-a^{2}\leq0$，当$a = 0$时，$-a^{2}=0$，立方根是$0$，所以$-a^{2}$的立方根不一定是负数。
对于选项D：因为$a^{2}\geq0$，所以$-a^{2}\leq0$，则$-a^{2}-1\leq -1\lt0$，负数的立方根是负数，所以$-a^{2}-1$的立方根一定是负数。
D
3. 如果 $ x $ 是 $ 64 $ 的立方根，那么 $ x $ 的算术平方根是 (
A.$ 4 $
B.$ 2 $
C.$ \sqrt{2} $
D.$ \pm 4 $
B
)A.$ 4 $
B.$ 2 $
C.$ \sqrt{2} $
D.$ \pm 4 $
答案：3.B
解析：
因为$x$是$64$的立方根，所以$x = \sqrt[3]{64} = 4$。$x$的算术平方根为$\sqrt{4} = 2$。
B
B
4. (1)$ 216 $ 的立方根是
(2)$ -0.008 $ 的立方根是
6
；(2)$ -0.008 $ 的立方根是
-0.2
.答案：4.(1)6 (2)-0.2
解析：
(1) $6$
(2) $-0.2$
(2) $-0.2$
5. 已知 $ x - 2 $ 的立方根是 $ -2 $，则 $ x + 31 $ 的算术平方根是
5
.答案：5.5
解析：
因为$\sqrt[3]{x - 2}=-2$，所以$x - 2=(-2)^3=-8$，解得$x=-6$。则$x + 31=-6 + 31=25$，$\sqrt{25}=5$。
6. 求下面各式中的 $ x $ 的值.
（1）$ 2x^{3}=-\dfrac{1}{4} $；
（2）$ (x-\dfrac{1}{2})^{3}=-\dfrac{1}{125} $.
（1）$ 2x^{3}=-\dfrac{1}{4} $；
（2）$ (x-\dfrac{1}{2})^{3}=-\dfrac{1}{125} $.
答案：6.(1)$x =-\frac{1}{2}$ (2)$x=\frac{3}{10}$
解析：
（1）$2x^{3}=-\dfrac{1}{4}$
$x^{3}=-\dfrac{1}{8}$
$x=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}$
$x=-\dfrac{1}{2}$
（2）$(x-\dfrac{1}{2})^{3}=-\dfrac{1}{125}$
$x-\dfrac{1}{2}=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{125}}$
$x-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{5}$
$x=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}$
$x=\dfrac{3}{10}$
$x^{3}=-\dfrac{1}{8}$
$x=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}$
$x=-\dfrac{1}{2}$
（2）$(x-\dfrac{1}{2})^{3}=-\dfrac{1}{125}$
$x-\dfrac{1}{2}=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{125}}$
$x-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{5}$
$x=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}$
$x=\dfrac{3}{10}$