1. 下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是(
A.$2n$，$n^{2}-1$，$n^{2}+1(n ＞ 1)$
B.$7$，$12$，$13$
C.$5$，$9$，$12$
D.$8$，$15$，$16$
A
)A.$2n$，$n^{2}-1$，$n^{2}+1(n ＞ 1)$
B.$7$，$12$，$13$
C.$5$，$9$，$12$
D.$8$，$15$，$16$
答案：1.A
2. 如果直角三角形三条边的平方和为$48$，那么该直角三角形的斜边长为(
A.$2\sqrt{6}$
B.$24$
C.$8\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
A
)A.$2\sqrt{6}$
B.$24$
C.$8\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
答案：2.A
解析：
设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边为$c$。
由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}=48$，将$a^{2}+b^{2}=c^{2}$代入可得$c^{2}+c^{2}=48$，即$2c^{2}=48$，$c^{2}=24$，解得$c = 2\sqrt{6}$（$c＞0$）。
A
由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}=48$，将$a^{2}+b^{2}=c^{2}$代入可得$c^{2}+c^{2}=48$，即$2c^{2}=48$，$c^{2}=24$，解得$c = 2\sqrt{6}$（$c＞0$）。
A
3. 如图，$O$为数轴原点，在数轴上截取线段$OA = 2$，过点$A$作直线$l$垂直于$OA$，在直线$l$上截取线段$AB = 3$，以点$O$为圆心，$OB$的长为半径作弧，分别交数轴于点$C$，$D$。根据以上作图过程及所作图形，有下列四个结论：①$OC = 5$；②$OB = \sqrt{13}$；③点$C$对应的数是$\sqrt{13}-2$；④$5 ＜ AD ＜ 6$。其中，正确的是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
D
)A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
答案：3.D
解析：
解：
∵OA=2，AB=3，OA⊥AB，
∴在Rt△OAB中，$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，故②正确；
∵以O为圆心，OB为半径作弧交数轴于C、D，
∴OC=OD=OB=$\sqrt{13}\approx3.606$，故①错误；
点C在数轴正半轴，对应的数是$\sqrt{13}$，故③错误；
点A对应数为2，D在数轴负半轴，OD=$\sqrt{13}$，则D对应数为$-\sqrt{13}$，
AD=2-(-$\sqrt{13}$)=2+$\sqrt{13}\approx2+3.606=5.606$，
∴5＜AD＜6，故④正确。
综上，正确的是②④。
D
∵OA=2，AB=3，OA⊥AB，
∴在Rt△OAB中，$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，故②正确；
∵以O为圆心，OB为半径作弧交数轴于C、D，
∴OC=OD=OB=$\sqrt{13}\approx3.606$，故①错误；
点C在数轴正半轴，对应的数是$\sqrt{13}$，故③错误；
点A对应数为2，D在数轴负半轴，OD=$\sqrt{13}$，则D对应数为$-\sqrt{13}$，
AD=2-(-$\sqrt{13}$)=2+$\sqrt{13}\approx2+3.606=5.606$，
∴5＜AD＜6，故④正确。
综上，正确的是②④。
D
4. 如图，一架梯子$AB$长$2.5m$，顶端$A$靠在墙$AC$上，这时梯子的下端$B$与墙脚$C$的距离为$1.5m$，梯子滑动后停在$DE$的位置上，测得$BD$长$0.9m$，则梯子的顶端$A$下滑了(
A.$0.9m$
B.$1.3m$
C.$1.5m$
D.$2m$
B
)A.$0.9m$
B.$1.3m$
C.$1.5m$
D.$2m$
答案：4.B
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$AB=2.5m$，$BC=1.5m$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-1.5^{2}}=2m$。
$CD=BC+BD=1.5+0.9=2.4m$。
在$Rt\triangle ECD$中，$DE=AB=2.5m$，
由勾股定理得$EC=\sqrt{DE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-2.4^{2}}=0.7m$。
$AE=AC-EC=2-0.7=1.3m$。
答案：B
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-1.5^{2}}=2m$。
$CD=BC+BD=1.5+0.9=2.4m$。
在$Rt\triangle ECD$中，$DE=AB=2.5m$，
由勾股定理得$EC=\sqrt{DE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-2.4^{2}}=0.7m$。
$AE=AC-EC=2-0.7=1.3m$。
答案：B
5. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”。若$AC = 4$，$BC = 2$，则阴影部分的面积为(
A.$4$
B.$4\pi$
C.$8\pi$
D.$8$
A
)A.$4$
B.$4\pi$
C.$8\pi$
D.$8$
答案：5.A
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 2$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
设以$AC$为直径的半圆面积为$S_{1}$，以$BC$为直径的半圆面积为$S_{2}$，以$AB$为直径的半圆面积为$S_{3}$，$Rt\triangle ABC$的面积为$S$。
$S_{1}=\frac{1}{2}\pi(\frac{AC}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×(\frac{4}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×4 = 2\pi$，
$S_{2}=\frac{1}{2}\pi(\frac{BC}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×(\frac{2}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×1=\frac{1}{2}\pi$，
$S_{3}=\frac{1}{2}\pi(\frac{AB}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×(\frac{2\sqrt{5}}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×5=\frac{5}{2}\pi$，
$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×2 = 4$。
阴影部分面积$=S_{1}+S_{2}+S - S_{3}=2\pi+\frac{1}{2}\pi + 4-\frac{5}{2}\pi=4$。
答案：A
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
设以$AC$为直径的半圆面积为$S_{1}$，以$BC$为直径的半圆面积为$S_{2}$，以$AB$为直径的半圆面积为$S_{3}$，$Rt\triangle ABC$的面积为$S$。
$S_{1}=\frac{1}{2}\pi(\frac{AC}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×(\frac{4}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×4 = 2\pi$，
$S_{2}=\frac{1}{2}\pi(\frac{BC}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×(\frac{2}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×1=\frac{1}{2}\pi$，
$S_{3}=\frac{1}{2}\pi(\frac{AB}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×(\frac{2\sqrt{5}}{2})^{2}=\frac{1}{2}\pi×5=\frac{5}{2}\pi$，
$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×2 = 4$。
阴影部分面积$=S_{1}+S_{2}+S - S_{3}=2\pi+\frac{1}{2}\pi + 4-\frac{5}{2}\pi=4$。
答案：A
6. 如图，等边三角形$ABC$的边长为$4$，$E$为边$BC$上的动点，$F$为$AE$的中点，连接$BF$，$CF$，则$BF + CF$的最小值为(
A.$2 + 2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$5$
D.$3\sqrt{3}$
B
)A.$2 + 2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$5$
D.$3\sqrt{3}$
答案：
6.B 解析:如图，分别取AB,AC的中点M,N,作直线MN.由三角形中位线的定理，知MN与AE的交点为F，即F是线段MN上的一个动点.作点B关于MN的对称点B'，连接B'C，B'F,则B'F=BF,
∴BF+CF=B'F+CF≥B'C.
∴BF+CF 的最小值为B'C的长.
∵等边三角形ABC的边长为4,
∴易知等边三角形ABC的高为2$\sqrt{3}$.
∴易知B'B=2$\sqrt{3}$.在Rt△B'CB 中,B'C = $\sqrt{BC^{2} + B'B^{2}} = \sqrt{4^{2} + (2\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{7}$.
∴BF+CF 的最小值为2$\sqrt{7}$
6.B 解析:如图，分别取AB,AC的中点M,N,作直线MN.由三角形中位线的定理，知MN与AE的交点为F，即F是线段MN上的一个动点.作点B关于MN的对称点B'，连接B'C，B'F,则B'F=BF,
∴BF+CF=B'F+CF≥B'C.
∴BF+CF 的最小值为B'C的长.
∵等边三角形ABC的边长为4,
∴易知等边三角形ABC的高为2$\sqrt{3}$.
∴易知B'B=2$\sqrt{3}$.在Rt△B'CB 中,B'C = $\sqrt{BC^{2} + B'B^{2}} = \sqrt{4^{2} + (2\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{7}$.
∴BF+CF 的最小值为2$\sqrt{7}$
7. 如图，两个正方形的面积分别是$64$和$49$，则$AC$的长为
17
。答案：7.17
8. 将一根长为$20cm$的筷子置于底面圆直径为$5cm$、高为$12cm$的圆柱形水杯中，设筷子露在水杯外面的长度为$x cm$，则$x$的取值范围是
7≤r＜8
。答案：8.7≤r＜8
9. (2025·如皋期中)如图，$Rt\triangle ABC$的斜边$AB$在$x$轴上，点$A$的坐标为$(-5,0)$，点$B$的坐标为$(5,0)$。若点$C$的坐标为$(m,4)$，则$m =$
3
。答案：9.3
解析：
解：
∵点$A(-5,0)$，点$B(5,0)$，点$C(m,4)$，
$\therefore AC^{2}=(m + 5)^{2}+(4 - 0)^{2}=(m + 5)^{2}+16$，
$BC^{2}=(m - 5)^{2}+(4 - 0)^{2}=(m - 5)^{2}+16$，
$AB^{2}=(5 - (-5))^{2}=10^{2}=100$。
∵$\triangle ABC$是直角三角形，斜边为$AB$，
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
即$(m + 5)^{2}+16+(m - 5)^{2}+16=100$，
展开得$m^{2}+10m + 25 + 16 + m^{2}-10m + 25 + 16=100$，
化简得$2m^{2}+82=100$，
$2m^{2}=18$，$m^{2}=9$，
解得$m = 3$或$m=-3$。
由图可知点$C$在第一象限，$\therefore m=3$。
3
∵点$A(-5,0)$，点$B(5,0)$，点$C(m,4)$，
$\therefore AC^{2}=(m + 5)^{2}+(4 - 0)^{2}=(m + 5)^{2}+16$，
$BC^{2}=(m - 5)^{2}+(4 - 0)^{2}=(m - 5)^{2}+16$，
$AB^{2}=(5 - (-5))^{2}=10^{2}=100$。
∵$\triangle ABC$是直角三角形，斜边为$AB$，
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
即$(m + 5)^{2}+16+(m - 5)^{2}+16=100$，
展开得$m^{2}+10m + 25 + 16 + m^{2}-10m + 25 + 16=100$，
化简得$2m^{2}+82=100$，
$2m^{2}=18$，$m^{2}=9$，
解得$m = 3$或$m=-3$。
由图可知点$C$在第一象限，$\therefore m=3$。
3
10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$为边$BC$上的中线，延长$AD$到点$E$，使得$DE = AD$，连接$BE$。若$AB = 5$，$AC = 3$，$AD = 2$，则$\triangle ABC$的面积为
6
。答案：10.6
解析：
证明：
∵AD为△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\{\begin{array}{l} AD=ED,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ CD=BD,\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS）。
∴BE=AC=3。
∵AE=AD+DE=2AD=4，AB=5，
∴AE²+BE²=4²+3²=25=AB²。
∴∠E=90°。
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$×AE×BE=$\frac{1}{2}$×4×3=6。
∵△ADC≌△EDB，
∴S△ADC=S△EDB。
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=S△ABD+S△EDB=S△ABE=6。
6
∵AD为△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\{\begin{array}{l} AD=ED,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ CD=BD,\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS）。
∴BE=AC=3。
∵AE=AD+DE=2AD=4，AB=5，
∴AE²+BE²=4²+3²=25=AB²。
∴∠E=90°。
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$×AE×BE=$\frac{1}{2}$×4×3=6。
∵△ADC≌△EDB，
∴S△ADC=S△EDB。
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=S△ABD+S△EDB=S△ABE=6。
6