11. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ}$，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，$S_{4}$。若$S_{1} + S_{4} = 135$，$S_{3} = 49$，则$S_{2} =$
86
。答案：11.86
解析：
解：连接BD。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AB^{2} + AD^{2} = BD^{2}$，
因为$S_{1} = AB^{2}$，$S_{4} = AD^{2}$，所以$S_{1} + S_{4} = BD^{2} = 135$。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BC^{2} + CD^{2} = BD^{2}$，
因为$S_{2} = BC^{2}$，$S_{3} = CD^{2} = 49$，所以$S_{2} + S_{3} = BD^{2}$。
因此，$S_{2} = BD^{2} - S_{3} = 135 - 49 = 86$。
86
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AB^{2} + AD^{2} = BD^{2}$，
因为$S_{1} = AB^{2}$，$S_{4} = AD^{2}$，所以$S_{1} + S_{4} = BD^{2} = 135$。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BC^{2} + CD^{2} = BD^{2}$，
因为$S_{2} = BC^{2}$，$S_{3} = CD^{2} = 49$，所以$S_{2} + S_{3} = BD^{2}$。
因此，$S_{2} = BD^{2} - S_{3} = 135 - 49 = 86$。
86
12. (2024·启东期末)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”其大意如下：如图，秋千$OA$静止的时候，踏板离地面一尺$(AC = 1$尺)，将它往前推进两步$(EB = 10$尺)，此时踏板升高，离地五尺$(BD = 5$尺)，则秋千绳索$(OA$或$OB)$的长度为
14.5
尺。答案：12.14.5
13. 如图，线段$AB$的长为$8$，$C$为$AB$上一动点，分别以$AC$，$BC$为斜边在$AB$的同侧作两个直角三角形$(\triangle ACD$和$\triangle BCE)$，其中$\angle ADC = \angle CEB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，则$DE$长的最小值是
2$\sqrt{3}$
。答案：13.2$\sqrt{3}$ 解析:设AC=x,BC=8−x.
∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°,∠A=30°,
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x,∠ACD=90°−∠A=60°.
∵在Rt△BCE中,∠CEB=90°,∠B=60°,
∴∠BCE=90°−∠B=30°.
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{8−x}{2}$.
∴CE = $\sqrt{BC^{2} - BE^{2}} = \sqrt{(8 - x)^{2} - (\frac{8 - x}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}(8 - x)$.
∴∠DCE=180°−∠ACD−∠BCE=90°.
∴DE²=CD²+CE²=$(\frac{1}{2}x)^{2} + [\frac{\sqrt{3}}{2}(8 - x)]^{2} = x^{2} - 12x + 48 = (x - 6)^{2} + 12$.
∴当x=6时，DE²取得最小值12,此时DE长的最小值是$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$.
∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°,∠A=30°,
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x,∠ACD=90°−∠A=60°.
∵在Rt△BCE中,∠CEB=90°,∠B=60°,
∴∠BCE=90°−∠B=30°.
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{8−x}{2}$.
∴CE = $\sqrt{BC^{2} - BE^{2}} = \sqrt{(8 - x)^{2} - (\frac{8 - x}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}(8 - x)$.
∴∠DCE=180°−∠ACD−∠BCE=90°.
∴DE²=CD²+CE²=$(\frac{1}{2}x)^{2} + [\frac{\sqrt{3}}{2}(8 - x)]^{2} = x^{2} - 12x + 48 = (x - 6)^{2} + 12$.
∴当x=6时，DE²取得最小值12,此时DE长的最小值是$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$.
14. 如图，在$\triangle ABC$中，边$AB$上的垂直平分线$DE$与$AB$，$AC$分别交于点$E$，$D$，且$BC^{2} = AD^{2}-CD^{2}$。
（1）求证：$\angle C = 90^{\circ}$；
（2）若$AC = 4$，$BC = 3$，求$CD$的长。
（1）求证：$\angle C = 90^{\circ}$；
（2）若$AC = 4$，$BC = 3$，求$CD$的长。
答案：
14.(1)如图，连接BD.
∵边AB上的垂直平分线为DE，
∴AD=BD.
∵BC²=AD²−CD²,
∴BC²=BD²−CD².
∴BC²+CD²=BD².
∴△BCD为直角三角形，且∠C=90°
(2)设CD=x,则BD=AD=4−x.由(1),知CD²+BC²=BD²,即x²+3²=(4−x)²,解得x=$\frac{7}{8}$.
∴CD的长为$\frac{7}{8}$
14.(1)如图，连接BD.
∵边AB上的垂直平分线为DE，
∴AD=BD.
∵BC²=AD²−CD²,
∴BC²=BD²−CD².
∴BC²+CD²=BD².
∴△BCD为直角三角形，且∠C=90°
(2)设CD=x,则BD=AD=4−x.由(1),知CD²+BC²=BD²,即x²+3²=(4−x)²,解得x=$\frac{7}{8}$.
∴CD的长为$\frac{7}{8}$
15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形$ABCD$的顶点坐标分别为$A(0,4)$，$B(2,0)$，$C(5,1)$，$D(2,5)$。
(1)$AD =$
(2)$\angle BAD$是直角吗？请说明理由。
(3)求点$B$到直线$CD$的距离。
]
(1)$AD =$
$\sqrt{5}$
，$AB =$2$\sqrt{5}$
。(2)$\angle BAD$是直角吗？请说明理由。
(3)求点$B$到直线$CD$的距离。
]
答案：
15.(1)$\sqrt{5}$ 2$\sqrt{5}$ (2)∠BAD是直角 理由:如图，连接BD.
∵B(2,0),D(2,5),
∴BD=5−0=5.由(1),知AD=$\sqrt{5}$,AB=2$\sqrt{5}$.
∴AD²=5,AB²=20.又
∵BD²=25,
∴AD²+AB²=BD².
∴△ABD是直角三角形，且∠BAD是直角.
(3)如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CG⊥x轴于点G.
∵C(5,1),D(2,5),
∴易得CD = $\sqrt{(5 - 2)^{2} + (1 - 5)^{2}} = 5$.又
∵B(2,0),D(2,5),
∴易知BD⊥x轴,BG=5−2=3.
∴S_{△BCD}=$\frac{1}{2}$BD·BG=$\frac{1}{2}$CD·BE.
∴BE=$\frac{BD·BG}{CD}$=$\frac{5×3}{5}$=3.
∴点B到直线CD的距离为3
15.(1)$\sqrt{5}$ 2$\sqrt{5}$ (2)∠BAD是直角 理由:如图，连接BD.
∵B(2,0),D(2,5),
∴BD=5−0=5.由(1),知AD=$\sqrt{5}$,AB=2$\sqrt{5}$.
∴AD²=5,AB²=20.又
∵BD²=25,
∴AD²+AB²=BD².
∴△ABD是直角三角形，且∠BAD是直角.
(3)如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CG⊥x轴于点G.
∵C(5,1),D(2,5),
∴易得CD = $\sqrt{(5 - 2)^{2} + (1 - 5)^{2}} = 5$.又
∵B(2,0),D(2,5),
∴易知BD⊥x轴,BG=5−2=3.
∴S_{△BCD}=$\frac{1}{2}$BD·BG=$\frac{1}{2}$CD·BE.
∴BE=$\frac{BD·BG}{CD}$=$\frac{5×3}{5}$=3.
∴点B到直线CD的距离为3