1. (2025·南通模拟)下列运算正确的是 (
A.$\sqrt{2}+2=2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{3}-4=\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{24}÷\sqrt{6}=4$
C
)A.$\sqrt{2}+2=2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{3}-4=\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{24}÷\sqrt{6}=4$
答案：1.C
2. 计算$\sqrt{18}÷3-\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{2}}$的结果应在 (
A.$-1$到$0$之间
B.$0$到$1$之间
C.$1$到$2$之间
D.$2$到$3$之间
B
)A.$-1$到$0$之间
B.$0$到$1$之间
C.$1$到$2$之间
D.$2$到$3$之间
答案：2.B
解析：
$\begin{aligned}\sqrt{18} ÷ 3 - \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} &= 3\sqrt{2} ÷ 3 - \sqrt{2 × \frac{1}{2}} \\&= \sqrt{2} - \sqrt{1} \\&= \sqrt{2} - 1\end{aligned}$
$\because 1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，$\therefore 0 ＜ \sqrt{2} - 1 ＜ 1$，结果在$0$到$1$之间。
B
$\because 1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，$\therefore 0 ＜ \sqrt{2} - 1 ＜ 1$，结果在$0$到$1$之间。
B
3. (教材变式)已知$\sqrt{2}\approx1.414$，则计算$\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{3×6}$的结果的近似值为 (
A.$7.070$
B.$5.656$
C.$4.242$
D.$2.828$
B
)A.$7.070$
B.$5.656$
C.$4.242$
D.$2.828$
答案：3.B
解析：
$\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{3×6}$
$=2\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{18}$
$=2\sqrt{2}-\sqrt{2}+3\sqrt{2}$
$=4\sqrt{2}$
$\approx4×1.414$
$=5.656$
B
$=2\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{18}$
$=2\sqrt{2}-\sqrt{2}+3\sqrt{2}$
$=4\sqrt{2}$
$\approx4×1.414$
$=5.656$
B
4. (教材变式)计算:
(1) $\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{7})=$
(2) $(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+1)=$
(3) $(\sqrt{60}+\sqrt{30})÷\sqrt{3}=$
(4) (2025·天津)$(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)=$
(1) $\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{7})=$
$\sqrt{10}+\sqrt{14}$
；(2) $(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+1)=$
$1-\sqrt{3}$
；(3) $(\sqrt{60}+\sqrt{30})÷\sqrt{3}=$
$2\sqrt{5}+\sqrt{10}$
；(4) (2025·天津)$(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)=$
$60$
.答案：4.(1)$\sqrt{10}+\sqrt{14}$ (2)$1-\sqrt{3}$ (3)$2\sqrt{5}+\sqrt{10}$ (4)$60$
5. 若$3-\sqrt{2}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$(2+\sqrt{2}a)· b$的值为
$2$
.答案：5.2
解析：
因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，则$3 - 2＜3-\sqrt{2}＜3 - 1$，即$1＜3-\sqrt{2}＜2$。
所以$3-\sqrt{2}$的整数部分$a = 1$，小数部分$b=3-\sqrt{2}-a=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$。
则$(2+\sqrt{2}a)· b=(2+\sqrt{2}×1)×(2-\sqrt{2})=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2^{2}-(\sqrt{2})^{2}=4 - 2=2$。
$2$
所以$3-\sqrt{2}$的整数部分$a = 1$，小数部分$b=3-\sqrt{2}-a=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$。
则$(2+\sqrt{2}a)· b=(2+\sqrt{2}×1)×(2-\sqrt{2})=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2^{2}-(\sqrt{2})^{2}=4 - 2=2$。
$2$
6. 如图，正方形$M$的边长为$m$，面积为$8$，正方形$N$的边长为$n$，面积为$32$，则计算$(m-n)÷\sqrt{2}$的结果为
$-2$
.答案：6.-2
解析：
因为正方形$M$的面积为$8$，边长为$m$，所以$m^{2}=8$，解得$m = \sqrt{8}=2\sqrt{2}$（边长为正数）。
因为正方形$N$的面积为$32$，边长为$n$，所以$n^{2}=32$，解得$n=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$（边长为正数）。
则$(m - n)÷\sqrt{2}=(2\sqrt{2}-4\sqrt{2})÷\sqrt{2}=(-2\sqrt{2})÷\sqrt{2}=-2$。
$-2$
因为正方形$N$的面积为$32$，边长为$n$，所以$n^{2}=32$，解得$n=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$（边长为正数）。
则$(m - n)÷\sqrt{2}=(2\sqrt{2}-4\sqrt{2})÷\sqrt{2}=(-2\sqrt{2})÷\sqrt{2}=-2$。
$-2$
7. (教材变式)计算:
(1) $\sqrt{108}×\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{75}÷\sqrt{3}$；
(2) $(3\sqrt{27}+\frac{1}{5}\sqrt{75}-6\sqrt{\frac{1}{3}})÷\sqrt{48}$；
(3) (2025·海安期中)$\sqrt{24}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{18}+\sqrt{32}$；
(4) $(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}$.
(1) $\sqrt{108}×\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{75}÷\sqrt{3}$；
(2) $(3\sqrt{27}+\frac{1}{5}\sqrt{75}-6\sqrt{\frac{1}{3}})÷\sqrt{48}$；
(3) (2025·海安期中)$\sqrt{24}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{18}+\sqrt{32}$；
(4) $(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}$.
答案：7.(1)11 (2)2 (3)$6\sqrt{2}-3$ (4)$17-4\sqrt{15}$
解析：
(1) $\sqrt{108} × \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{75} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{108 × \frac{1}{3}} + \sqrt{75 ÷ 3} = \sqrt{36} + \sqrt{25} = 6 + 5 = 11$
(2) $(3\sqrt{27} + \frac{1}{5}\sqrt{75} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}) ÷ \sqrt{48} = (9\sqrt{3} + \sqrt{3} - 2\sqrt{3}) ÷ 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} ÷ 4\sqrt{3} = 2$
(3) $\sqrt{24} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{18} + \sqrt{32} = \sqrt{8} - \sqrt{9} + 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 3 + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2} - 3$
(4) $(2\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 × 2\sqrt{3} × \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 12 - 4\sqrt{15} + 5 = 17 - 4\sqrt{15}$
(2) $(3\sqrt{27} + \frac{1}{5}\sqrt{75} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}) ÷ \sqrt{48} = (9\sqrt{3} + \sqrt{3} - 2\sqrt{3}) ÷ 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} ÷ 4\sqrt{3} = 2$
(3) $\sqrt{24} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{18} + \sqrt{32} = \sqrt{8} - \sqrt{9} + 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 3 + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2} - 3$
(4) $(2\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 × 2\sqrt{3} × \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 12 - 4\sqrt{15} + 5 = 17 - 4\sqrt{15}$
8. 已知$x+y=\sqrt{6}+\sqrt{10}$，$xy=\sqrt{15}$，则$x-y$的值为 (
A.$-4$
B.$4$
C.$\pm4$
D.$\pm2$
C
)A.$-4$
B.$4$
C.$\pm4$
D.$\pm2$
答案：8.C
解析：
$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$
$=(\sqrt{6}+\sqrt{10})^2-4\sqrt{15}$
$=6+2\sqrt{60}+10-4\sqrt{15}$
$=16+4\sqrt{15}-4\sqrt{15}$
$=16$
$x-y=\pm\sqrt{16}=\pm4$
C
$=(\sqrt{6}+\sqrt{10})^2-4\sqrt{15}$
$=6+2\sqrt{60}+10-4\sqrt{15}$
$=16+4\sqrt{15}-4\sqrt{15}$
$=16$
$x-y=\pm\sqrt{16}=\pm4$
C