11. 已知$a = \sqrt{2} + 1$，$b = \sqrt{2} - 1$，则$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}$的值为
$6$
.答案：11. $6$
解析：
$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{b^2 + a^2}{ab}$，
$a + b = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2}$，
$ab = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$，
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (2\sqrt{2})^2 - 2×1 = 8 - 2 = 6$，
所以$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{6}{1} = 6$。
$a + b = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2}$，
$ab = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$，
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (2\sqrt{2})^2 - 2×1 = 8 - 2 = 6$，
所以$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{6}{1} = 6$。
12. 已知$a$是$\sqrt{3}$的小数部分，求代数式$a^{2} - (\sqrt{3} + 1)a + 2\sqrt{3}$的值.
答案：12. $\because a$是$\sqrt{3}$的小数部分,$\therefore a = \sqrt{3}-1.\therefore a^{2}-(\sqrt{3}+1)a + 2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1)^{2}-(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)+2\sqrt{3}=4 - 2\sqrt{3}-3 + 1+ 2\sqrt{3}=2$
13. 下列各式化成最简二次根式正确的是(
A.$\sqrt{\dfrac{24}{49}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{5}$
B.$\sqrt{\dfrac{3}{5}} = 5\sqrt{15}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{27}} = \dfrac{\sqrt{3}}{9}$
D.$\sqrt{0.3} = \dfrac{\sqrt{3}}{10}$
C
)A.$\sqrt{\dfrac{24}{49}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{5}$
B.$\sqrt{\dfrac{3}{5}} = 5\sqrt{15}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{27}} = \dfrac{\sqrt{3}}{9}$
D.$\sqrt{0.3} = \dfrac{\sqrt{3}}{10}$
答案：13. C
14. (2024·通州期末)若$m$为实数，在“$(\sqrt{5} + 2)□ m$”的“$□$”中添上一种运算符号(在“$+$”“$-$”“$×$”“$÷$”中选择)后，其运算的结果为有理数，则$m$的值不可能是(
A.$\sqrt{5} + 2$
B.$\sqrt{5} - 2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2 - \sqrt{5}$
C
)A.$\sqrt{5} + 2$
B.$\sqrt{5} - 2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2 - \sqrt{5}$
答案：14. C
解析：
A. $(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}+2)=0$，0是有理数；
B. $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$，1是有理数；
C. 若填“+”：$(\sqrt{5}+2)+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}+2$，无理数；
若填“-”：$(\sqrt{5}+2)-2\sqrt{5}=-\sqrt{5}+2$，无理数；
若填“×”：$(\sqrt{5}+2)×2\sqrt{5}=2×5+4\sqrt{5}=10+4\sqrt{5}$，无理数；
若填“÷”：$(\sqrt{5}+2)÷2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5}+2)\sqrt{5}}{10}=\frac{5+2\sqrt{5}}{10}$，无理数；
D. $(\sqrt{5}+2)+(2-\sqrt{5})=4$，4是有理数。
综上，$m$的值不可能是C。
B. $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$，1是有理数；
C. 若填“+”：$(\sqrt{5}+2)+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}+2$，无理数；
若填“-”：$(\sqrt{5}+2)-2\sqrt{5}=-\sqrt{5}+2$，无理数；
若填“×”：$(\sqrt{5}+2)×2\sqrt{5}=2×5+4\sqrt{5}=10+4\sqrt{5}$，无理数；
若填“÷”：$(\sqrt{5}+2)÷2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5}+2)\sqrt{5}}{10}=\frac{5+2\sqrt{5}}{10}$，无理数；
D. $(\sqrt{5}+2)+(2-\sqrt{5})=4$，4是有理数。
综上，$m$的值不可能是C。
15. (新考向·数学文化)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，那么该三角形的面积$S = \sqrt{\dfrac{1}{4}[a^{2}b^{2} - (\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})^{2}]}$. 现已知$\triangle ABC$的三边长分别为$a = \sqrt{3}$，$b = 2$，$c = \sqrt{5}$，则$\triangle ABC$的面积为(
A.$\dfrac{1}{4}\sqrt{11}$
B.$\dfrac{1}{2}\sqrt{11}$
C.$\sqrt{11}$
D.$\dfrac{1}{2}\sqrt{15}$
B
)A.$\dfrac{1}{4}\sqrt{11}$
B.$\dfrac{1}{2}\sqrt{11}$
C.$\sqrt{11}$
D.$\dfrac{1}{2}\sqrt{15}$
答案：15. B 解析：由条件可知,$a^{2}=3,b^{2}=4,c^{2}=5,\therefore\triangle ABC$的面积$=\sqrt{\frac{1}{4}[a^{2}b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}]}=\sqrt{\frac{1}{4}[3×4-(\frac{3 + 4-5}{2})^{2}]}=$
$\sqrt{\frac{1}{4}(12 - 1^{2})}=\sqrt{\frac{11}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$.
$\sqrt{\frac{1}{4}(12 - 1^{2})}=\sqrt{\frac{11}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$.
16. 已知最简二次根式$\sqrt{2a + 3}$与$\sqrt{5a - 3}$可以合并，则$a$的值为
$2$
.答案：16. $2$
解析：
解：因为最简二次根式$\sqrt{2a + 3}$与$\sqrt{5a - 3}$可以合并，所以它们的被开方数相等，即$2a + 3 = 5a - 3$，解得$3a = 6$，$a = 2$。
$2$
$2$
17. 已知$a$为实数，则代数式$\sqrt{a + 2} - \sqrt{2 - 4a} + \sqrt{-a^{2}}$的值为
$0$
.答案：17. $0$
解析：
要使代数式$\sqrt{a + 2} - \sqrt{2 - 4a} + \sqrt{-a^{2}}$有意义，需满足：
$\begin{cases}a + 2 \geq 0 \\2 - 4a \geq 0 \\-a^{2} \geq 0\end{cases}$
由$-a^{2} \geq 0$得$a^{2} \leq 0$，又$a^{2} \geq 0$，故$a = 0$。
将$a = 0$代入代数式：
$\sqrt{0 + 2} - \sqrt{2 - 4×0} + \sqrt{-0^{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{2} + 0 = 0$
$0$
$\begin{cases}a + 2 \geq 0 \\2 - 4a \geq 0 \\-a^{2} \geq 0\end{cases}$
由$-a^{2} \geq 0$得$a^{2} \leq 0$，又$a^{2} \geq 0$，故$a = 0$。
将$a = 0$代入代数式：
$\sqrt{0 + 2} - \sqrt{2 - 4×0} + \sqrt{-0^{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{2} + 0 = 0$
$0$
18. 将一张长方形纸片按照如图所示的方式进行折叠. 若长方形纸片的宽为$2$，则该长方形纸片的长为
$2\sqrt{2}$
.答案：18. $2\sqrt{2}$
解析：
设长方形纸片的长为$x$。
折叠后，根据图形对称性及勾股定理，宽为$2$，折叠形成的直角三角形两直角边分别为$2$和$2$，斜边即为长方形的长$x$。
由勾股定理得：$x = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$
折叠后，根据图形对称性及勾股定理，宽为$2$，折叠形成的直角三角形两直角边分别为$2$和$2$，斜边即为长方形的长$x$。
由勾股定理得：$x = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$
19. (教材变式)观察下列各式：$\sqrt{1 + \dfrac{1}{3}} = 2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{2 + \dfrac{1}{4}} = 3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$，$\sqrt{3 + \dfrac{1}{5}} = 4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，$···$. 请你将发现的规律用含自然数$n(n \geq 1)$的代数式表示出来：
$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
.答案：19. $\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$