1. (2025·广州)要使代数式$\dfrac{\sqrt{x + 1}}{x - 3}$有意义，则$x$的取值范围是
$x\geq-1$且$x\neq3$
.答案：1. $x\geq-1$且$x\neq3$
解析：
要使代数式$\dfrac{\sqrt{x + 1}}{x - 3}$有意义，需满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$x + 1 \geq 0$，解得$x \geq -1$；
2. 分式的分母不为零：$x - 3 \neq 0$，解得$x \neq 3$。
综上，$x$的取值范围是$x\geq -1$且$x\neq 3$。
$x\geq -1$且$x\neq 3$
1. 二次根式的被开方数非负：$x + 1 \geq 0$，解得$x \geq -1$；
2. 分式的分母不为零：$x - 3 \neq 0$，解得$x \neq 3$。
综上，$x$的取值范围是$x\geq -1$且$x\neq 3$。
$x\geq -1$且$x\neq 3$
2. 若无论$x$取何实数，式子$\sqrt{x^{2} + 4x + m}$都有意义，则$m$的取值范围是
$m\geq4$
.答案：2. $m\geq4$
解析：
要使式子$\sqrt{x^{2} + 4x + m}$无论$x$取何实数都有意义，则被开方数$x^{2} + 4x + m$必须恒大于等于$0$。
将$x^{2} + 4x + m$进行配方：$x^{2} + 4x + m=(x + 2)^{2} + (m - 4)$。
因为$(x + 2)^{2}\geq0$，所以要使$(x + 2)^{2} + (m - 4)\geq0$恒成立，只需$m - 4\geq0$，即$m\geq4$。
$m\geq4$
将$x^{2} + 4x + m$进行配方：$x^{2} + 4x + m=(x + 2)^{2} + (m - 4)$。
因为$(x + 2)^{2}\geq0$，所以要使$(x + 2)^{2} + (m - 4)\geq0$恒成立，只需$m - 4\geq0$，即$m\geq4$。
$m\geq4$
3. 下列各式中，正确的是(
A.$\sqrt{(-7)^{2}} = -7$
B.$\sqrt{(\pm 7)^{2}} = \pm 7$
C.$-\sqrt{(-7)^{2}} = -7$
D.$\sqrt{7^{2}} = \pm 7$
C
)A.$\sqrt{(-7)^{2}} = -7$
B.$\sqrt{(\pm 7)^{2}} = \pm 7$
C.$-\sqrt{(-7)^{2}} = -7$
D.$\sqrt{7^{2}} = \pm 7$
答案：3. C
4. 当$a ＜ 0$时，化简$|a - \sqrt{a^{2}}|$的结果是(
A.$0$
B.$2a$
C.$-2a$
D.$2a^{2}$
C
)A.$0$
B.$2a$
C.$-2a$
D.$2a^{2}$
答案：4. C
解析：
因为$a ＜ 0$，所以$\sqrt{a^2} = |a| = -a$。
则$a - \sqrt{a^2} = a - (-a) = 2a$。
又因为$a ＜ 0$，所以$2a ＜ 0$，故$|a - \sqrt{a^2}| = |2a| = -2a$。
C
则$a - \sqrt{a^2} = a - (-a) = 2a$。
又因为$a ＜ 0$，所以$2a ＜ 0$，故$|a - \sqrt{a^2}| = |2a| = -2a$。
C
5. 化简$\dfrac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$时，甲、乙两名同学的解答过程如下：甲：$\dfrac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \dfrac{(x - y)(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \dfrac{(x - y)(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x})^{2} - (\sqrt{y})^{2}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$；乙：$\dfrac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \dfrac{(\sqrt{x})^{2} - (\sqrt{y})^{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \dfrac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$. 下列说法正确的是(
A.两人都对
B.甲错，乙对
C.甲对，乙错
D.两人都错
B
)A.两人都对
B.甲错，乙对
C.甲对，乙错
D.两人都错
答案：5. B
解析：
甲同学在分母有理化时，默认$\sqrt{x} - \sqrt{y} \neq 0$，但原式中仅已知$\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq 0$，未明确$\sqrt{x} \neq \sqrt{y}$，所以甲的解答过程存在前提条件缺失的错误；乙同学将分子$x - y$变形为$(\sqrt{x})^{2} - (\sqrt{y})^{2}$，再利用平方差公式分解为$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$，然后分子分母同时约去$\sqrt{x} + \sqrt{y}$（已知$\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq 0$），得到$\sqrt{x} - \sqrt{y}$，过程正确。故甲错，乙对。
B
B
6. 实数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}}$的结果是(
A.$2a$
B.$2b$
C.$-2b$
D.$0$
B
)A.$2a$
B.$2b$
C.$-2b$
D.$0$
答案：6. B
解析：
解：由数轴可知，$b ＜ 0 ＜ a$，且$|b| ＞ a$，则$a - b ＞ 0$。
$\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}} = |a| - |b| - |a - b|$
$= a - (-b) - (a - b)$
$= a + b - a + b$
$= 2b$
答案：B
$\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}} = |a| - |b| - |a - b|$
$= a - (-b) - (a - b)$
$= a + b - a + b$
$= 2b$
答案：B
7. 化简：(1)$\sqrt{(-0.3)^{2}} =$
$0.3$
；(2)$\sqrt{(3 - \sqrt{11})^{2}} =$$\sqrt{11}-3$
.答案：7. (1)$0.3$ (2)$\sqrt{11}-3$
8. (2025·海门二模)下列计算正确的是(
A.$3 + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
C.$\sqrt{6}×\sqrt{2} = 2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}÷\sqrt{2} = 3$
C
)A.$3 + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
C.$\sqrt{6}×\sqrt{2} = 2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}÷\sqrt{2} = 3$
答案：8. C
9. 计算：(1)$\dfrac{\sqrt{90}}{\sqrt{5}} =$
$3\sqrt{2}$
；(2)$\dfrac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{27}} =$$-\frac{\sqrt{6}}{3}$
；(3)$\dfrac{\sqrt{48x^{7}y^{6}}}{\sqrt{3x^{2}y^{3}}} =$$4x^{2}y\sqrt{xy}$
.答案：9. (1)$3\sqrt{2}$ (2)$-\frac{\sqrt{6}}{3}$ (3)$4x^{2}y\sqrt{xy}$
解析：
(1)$\sqrt{\dfrac{90}{5}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；
(2)$\dfrac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{27}}=\dfrac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$；
(3)$\sqrt{\dfrac{48x^{7}y^{6}}{3x^{2}y^{3}}}=\sqrt{16x^{5}y^{3}}=4x^{2}y\sqrt{xy}$
(2)$\dfrac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{27}}=\dfrac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$；
(3)$\sqrt{\dfrac{48x^{7}y^{6}}{3x^{2}y^{3}}}=\sqrt{16x^{5}y^{3}}=4x^{2}y\sqrt{xy}$
10. 计算：
(1)$2\sqrt{12} + 6\sqrt{\dfrac{1}{3}} - 3\sqrt{48}$；
(2)$\sqrt{27}÷\dfrac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$；
(3)$(\sqrt{5} - 1)^{2} + \sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)$；
(4)(2025·海安期中)$\sqrt{8a^{3}} - 4a^{2}·\sqrt{\dfrac{1}{8a}} - 2a·\sqrt{\dfrac{a}{2}}(a ＞ 0)$.
(1)$2\sqrt{12} + 6\sqrt{\dfrac{1}{3}} - 3\sqrt{48}$；
(2)$\sqrt{27}÷\dfrac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$；
(3)$(\sqrt{5} - 1)^{2} + \sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)$；
(4)(2025·海安期中)$\sqrt{8a^{3}} - 4a^{2}·\sqrt{\dfrac{1}{8a}} - 2a·\sqrt{\dfrac{a}{2}}(a ＞ 0)$.
答案：10. (1)$-6\sqrt{3}$ (2)$6\sqrt{2}$ (3)$11$ (4)$0$
解析：
(1) $2\sqrt{12} + 6\sqrt{\dfrac{1}{3}} - 3\sqrt{48}$
$=2×2\sqrt{3} + 6×\dfrac{\sqrt{3}}{3} - 3×4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 12\sqrt{3}$
$=-6\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{27}÷\dfrac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}×\dfrac{2}{\sqrt{3}}×2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$=3×2×2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$=12\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$
(3) $(\sqrt{5} - 1)^{2} + \sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)$
$=(\sqrt{5})^{2} - 2\sqrt{5} + 1 + (\sqrt{5})^{2} + 2\sqrt{5}$
$=5 - 2\sqrt{5} + 1 + 5 + 2\sqrt{5}$
$=11$
(4) $\sqrt{8a^{3}} - 4a^{2}·\sqrt{\dfrac{1}{8a}} - 2a·\sqrt{\dfrac{a}{2}}(a ＞ 0)$
$=2a\sqrt{2a} - 4a^{2}·\dfrac{\sqrt{2a}}{4a} - 2a·\dfrac{\sqrt{2a}}{2}$
$=2a\sqrt{2a} - a\sqrt{2a} - a\sqrt{2a}$
$=0$
$=2×2\sqrt{3} + 6×\dfrac{\sqrt{3}}{3} - 3×4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 12\sqrt{3}$
$=-6\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{27}÷\dfrac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}×\dfrac{2}{\sqrt{3}}×2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$=3×2×2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$=12\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$
(3) $(\sqrt{5} - 1)^{2} + \sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)$
$=(\sqrt{5})^{2} - 2\sqrt{5} + 1 + (\sqrt{5})^{2} + 2\sqrt{5}$
$=5 - 2\sqrt{5} + 1 + 5 + 2\sqrt{5}$
$=11$
(4) $\sqrt{8a^{3}} - 4a^{2}·\sqrt{\dfrac{1}{8a}} - 2a·\sqrt{\dfrac{a}{2}}(a ＞ 0)$
$=2a\sqrt{2a} - 4a^{2}·\dfrac{\sqrt{2a}}{4a} - 2a·\dfrac{\sqrt{2a}}{2}$
$=2a\sqrt{2a} - a\sqrt{2a} - a\sqrt{2a}$
$=0$