8. (易错题)在△ABC中,AB=10,AC=3$\sqrt{5}$,高AD=6,则BC的长为
11或5
.答案：8. 11或5 [易错分析]忽视该三角形的高分高在形内与高在形外两种情况而致错.
解析：
在$Rt\triangle ABD$中，$AB=10$，$AD=6$，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC=3\sqrt{5}$，$AD=6$，由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{5})^{2}-6^{2}}=3$。
当高$AD$在$\triangle ABC$内部时，$BC=BD+CD=8+3=11$；
当高$AD$在$\triangle ABC$外部时，$BC=BD-CD=8-3=5$。
综上，$BC$的长为$11$或$5$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC=3\sqrt{5}$，$AD=6$，由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{5})^{2}-6^{2}}=3$。
当高$AD$在$\triangle ABC$内部时，$BC=BD+CD=8+3=11$；
当高$AD$在$\triangle ABC$外部时，$BC=BD-CD=8-3=5$。
综上，$BC$的长为$11$或$5$。
9. 已知直角三角形的两条直角边的长之和为6 cm,面积为$\frac{7}{2}$ cm²,则这个直角三角形的斜边长为
$\sqrt{22}$
cm.答案：9. $\sqrt{22}$
解析：
设直角三角形的两条直角边的长分别为$a\ \mathrm{cm}$，$b\ \mathrm{cm}$。
由题意得：
$\begin{cases}a + b = 6 \\frac{1}{2}ab = \frac{7}{2}\end{cases}$
由$\frac{1}{2}ab = \frac{7}{2}$，得$ab = 7$。
斜边长$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(a + b)^2 - 2ab} = \sqrt{6^2 - 2×7} = \sqrt{36 - 14} = \sqrt{22}$
$\sqrt{22}$
由题意得：
$\begin{cases}a + b = 6 \\frac{1}{2}ab = \frac{7}{2}\end{cases}$
由$\frac{1}{2}ab = \frac{7}{2}$，得$ab = 7$。
斜边长$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(a + b)^2 - 2ab} = \sqrt{6^2 - 2×7} = \sqrt{36 - 14} = \sqrt{22}$
$\sqrt{22}$
10. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,分别以AC,BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE.若△ACD的面积为$S_{1}$,△BCE的面积为$S_{2}$,则$S_{1}+S_{2}=$
$\frac{25}{2}$
.答案：10. $\frac{25}{2}$ 解析：
∵ △ACD与△BCE都是等腰直角三角形，
∴ S₁ = $\frac{1}{2}$ AD · AC = $\frac{1}{2}$ AC², S₂ = $\frac{1}{2}$ BE · BC = $\frac{1}{2}$ BC².
∴ S₁ + S₂ = $\frac{1}{2}$ AC² + $\frac{1}{2}$ BC² = $\frac{1}{2}$ (AC² + BC²). 在
Rt△ABC中，由勾股定理，得AC² + BC² = AB² = 25，
∴ S₁ +
S₂ = $\frac{25}{2}$.
∵ △ACD与△BCE都是等腰直角三角形，
∴ S₁ = $\frac{1}{2}$ AD · AC = $\frac{1}{2}$ AC², S₂ = $\frac{1}{2}$ BE · BC = $\frac{1}{2}$ BC².
∴ S₁ + S₂ = $\frac{1}{2}$ AC² + $\frac{1}{2}$ BC² = $\frac{1}{2}$ (AC² + BC²). 在
Rt△ABC中，由勾股定理，得AC² + BC² = AB² = 25，
∴ S₁ +
S₂ = $\frac{25}{2}$.
11. 如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9,求AB的长.
答案：11. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD² = BC² - DB² = 15² -
9² = 144.
∴ 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD² = AC² -
CD² = 20² - 144 = 256.
∴ AD = 16(负值舍去).
∴ AB = AD +
DB = 16 + 9 = 25
9² = 144.
∴ 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD² = AC² -
CD² = 20² - 144 = 256.
∴ AD = 16(负值舍去).
∴ AB = AD +
DB = 16 + 9 = 25
12. (数形结合思想)我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理,也是数学中最重要的定理之一.勾股定理其实有很多种证明方法.如图所示为证明勾股定理所用的图形,以a,b为直角边,c为斜边作两个全等的直角三角形,把这两个直角三角形按如图所示的方式摆放,使C,B,D三点在同一条直线上,连接AE.
(1) 求证:∠ABE=90°;
(2) 请你利用这个图形证明勾股定理(即求证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$).
(1) 求证:∠ABE=90°;
(2) 请你利用这个图形证明勾股定理(即求证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$).
答案：12. (1) 由题意，易知Rt△ABC ≌ Rt△BED, ∠C = ∠D = 90°.
∴ ∠ABC = ∠BED.
∴ ∠ABC + ∠EBD = ∠BED + ∠EBD =
180° - ∠D = 90°.
∴ ∠ABE = 180° - (∠ABC + ∠EBD) = 90°
(2) 由题意，得S_{梯形ACDE} = $\frac{1}{2}$ (a + b)(a + b) = $\frac{1}{2}$ c² + 2 × $\frac{1}{2}$ ab.
∴ a² + b² = c²
∴ ∠ABC = ∠BED.
∴ ∠ABC + ∠EBD = ∠BED + ∠EBD =
180° - ∠D = 90°.
∴ ∠ABE = 180° - (∠ABC + ∠EBD) = 90°
(2) 由题意，得S_{梯形ACDE} = $\frac{1}{2}$ (a + b)(a + b) = $\frac{1}{2}$ c² + 2 × $\frac{1}{2}$ ab.
∴ a² + b² = c²
13. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为边AC的中点,过点D作DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交BC于点F,连接EF.若AE=4,FC=3,求EF的长.
答案：13. 连接BD.
∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC = 90°, D
为边AC的中点，
∴ AB = BC, ∠A = ∠C = ∠ABD = ∠CBD =
45°, ∠BDC = 90°.
∴ CD = BD = AD. 又
∵ DE ⊥ DF,
∴ ∠EDF =
90°.
∴ ∠EDB + ∠BDF = ∠BDF + ∠FDC = 90°.
∴ ∠FDC =
∠EDB. 在△FCD和△EBD中，
∵ ∠FDC = ∠EDB, CD =
BD, ∠C = ∠EBD,
∴ △FCD ≌ △EBD.
∴ FC = EB = 3.
∴ AB = AE + EB = 7.
∴ BC = 7.
∴ BF = BC - FC = 4. 在
Rt△BEF中，由勾股定理，得EF² = EB² + BF² = 3² + 4² = 25.
∴ EF = 5(负值舍去)
∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC = 90°, D
为边AC的中点，
∴ AB = BC, ∠A = ∠C = ∠ABD = ∠CBD =
45°, ∠BDC = 90°.
∴ CD = BD = AD. 又
∵ DE ⊥ DF,
∴ ∠EDF =
90°.
∴ ∠EDB + ∠BDF = ∠BDF + ∠FDC = 90°.
∴ ∠FDC =
∠EDB. 在△FCD和△EBD中，
∵ ∠FDC = ∠EDB, CD =
BD, ∠C = ∠EBD,
∴ △FCD ≌ △EBD.
∴ FC = EB = 3.
∴ AB = AE + EB = 7.
∴ BC = 7.
∴ BF = BC - FC = 4. 在
Rt△BEF中，由勾股定理，得EF² = EB² + BF² = 3² + 4² = 25.
∴ EF = 5(负值舍去)