1. (教材变式)如图,为了测量湖两岸A,B两点之间的距离,观测者在点C处设桩,使△ABC恰好为一个直角三角形(∠ABC=90°),通过测量得到AC的长为15千米,BC的长为12千米,那么A,B两点之间的距离为(
A.8千米
B.9千米
C.10千米
D.11千米
B
)A.8千米
B.9千米
C.10千米
D.11千米
答案：1.B
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90°$，$AC=15$千米，$BC=12$千米。
由勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$
$\therefore AB = \sqrt{81} = 9$千米
答案：B
由勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$
$\therefore AB = \sqrt{81} = 9$千米
答案：B
2. (2024·启东期末)如图,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这支铅笔的长度可能是(
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
D
)A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
答案：2.D
解析：
当铅笔斜放时，长度最长，此时铅笔、笔筒底面直径和内壁高构成直角三角形。
底面直径 $ d = 9\,\mathrm{cm} $，内壁高 $ h = 12\,\mathrm{cm} $。
最长长度 $ l = \sqrt{d^2 + h^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\,\mathrm{cm} $。
铅笔长度需大于 $ 12\,\mathrm{cm} $ 且小于等于 $ 15\,\mathrm{cm} $，选项中只有 $ 15\,\mathrm{cm} $ 符合。
D
底面直径 $ d = 9\,\mathrm{cm} $，内壁高 $ h = 12\,\mathrm{cm} $。
最长长度 $ l = \sqrt{d^2 + h^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\,\mathrm{cm} $。
铅笔长度需大于 $ 12\,\mathrm{cm} $ 且小于等于 $ 15\,\mathrm{cm} $，选项中只有 $ 15\,\mathrm{cm} $ 符合。
D
3. 如图,某人要横渡一条宽480m的河,从点A处出发,由于受水流的影响,实际上岸地点C与想要到达的地点B相距200m,则他在河中实际游了
520
m.答案：3.520
解析：
解：由题意知，河宽 $ AB = 480 \, \mathrm{m} $，$ AB ⊥ BC $，$ BC = 200 \, \mathrm{m} $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{480^2 + 200^2} = \sqrt{230400 + 40000} = \sqrt{270400} = 520 \, \mathrm{m}$
520
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{480^2 + 200^2} = \sqrt{230400 + 40000} = \sqrt{270400} = 520 \, \mathrm{m}$
520
4. 如图,在笔直的公路旁边有A,B两个村庄,村庄A到公路的距离AC=8km,村庄B到公路的距离BD=14km,测得C,D两点之间的距离为20km.现要在C,D两点之间建一个服务区E,使得A,B两个村庄到服务区E的距离相等,求CE的长.
答案：4.设$CE = x \mathrm{ km}$,则$DE = (20 - x) \mathrm{ km}$.在$\mathrm{Rt} \bigtriangleup ACE$中，由勾股定理，得$AE^{2} = AC^{2} + CE^{2}$;在$\mathrm{Rt} \bigtriangleup BDE$中，由勾股定理，得$BE^{2} = BD^{2} + DE^{2}$.由题意，得$AE = BE$，$\therefore AC^{2} + CE^{2} = BD^{2} + DE^{2}$.$\therefore 8^{2} + x^{2} = 14^{2} + (20 - x)^{2}$,解得$x = 13.3.\therefore CE$的长为$13.3 \mathrm{ km}$
解析：
解：设$CE = x \, \mathrm{km}$，则$DE = (20 - x) \, \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACE$中，由勾股定理得：$AE^{2} = AC^{2} + CE^{2} = 8^{2} + x^{2}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle BDE$中，由勾股定理得：$BE^{2} = BD^{2} + DE^{2} = 14^{2} + (20 - x)^{2}$。
因为$AE = BE$，所以$8^{2} + x^{2} = 14^{2} + (20 - x)^{2}$。
展开得：$64 + x^{2} = 196 + 400 - 40x + x^{2}$。
化简得：$64 = 596 - 40x$。
解得：$40x = 532$，$x = 13.3$。
答：$CE$的长为$13.3 \, \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACE$中，由勾股定理得：$AE^{2} = AC^{2} + CE^{2} = 8^{2} + x^{2}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle BDE$中，由勾股定理得：$BE^{2} = BD^{2} + DE^{2} = 14^{2} + (20 - x)^{2}$。
因为$AE = BE$，所以$8^{2} + x^{2} = 14^{2} + (20 - x)^{2}$。
展开得：$64 + x^{2} = 196 + 400 - 40x + x^{2}$。
化简得：$64 = 596 - 40x$。
解得：$40x = 532$，$x = 13.3$。
答：$CE$的长为$13.3 \, \mathrm{km}$。
5. (新考向·数学文化)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,其中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问:折者高几何?”大意如下:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC与AB的长度之和为1丈,BC=3尺,求AC的长(1丈=10尺).在这个问题中,AC的长为(
A.4尺
B.$\frac{9}{2}$尺
C.$\frac{91}{20}$尺
D.5尺
C
)A.4尺
B.$\frac{9}{2}$尺
C.$\frac{91}{20}$尺
D.5尺
答案：5.C
解析：
解：设 $ AC = x $ 尺，则 $ AB = (10 - x) $ 尺。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90° $，由勾股定理得：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，即 $ x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 $。
展开得 $ x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2 $，化简得 $ 20x = 91 $，解得 $ x = \frac{91}{20} $。
故 $ AC $ 的长为 $ \frac{91}{20} $ 尺。
答案：C
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90° $，由勾股定理得：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，即 $ x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 $。
展开得 $ x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2 $，化简得 $ 20x = 91 $，解得 $ x = \frac{91}{20} $。
故 $ AC $ 的长为 $ \frac{91}{20} $ 尺。
答案：C
6. (2025·如皋期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何? 其译文如下:今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索(绳索头与地面接触)退行,在距木柱根部8尺处时绳索用尽.问:绳索长是多少? 设绳索长为x尺,则可列方程为
$(x - 3)^{2} + 8^{2} = x^{2}$
.答案：6.$(x - 3)^{2} + 8^{2} = x^{2}$