7. 如图,有两棵树,一棵高12m,另一棵高6m,两树相距8m.若一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则小鸟至少需要飞
10
m.答案：7.10
解析：
设高12m的树为树A，高6m的树为树B。两树树顶之间的水平距离为8m，竖直距离为$12 - 6 = 6$m。根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$m。
10
10
8. 如图,学校内有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了
4
步路(假设2步为1m),却踩伤了花草.答案：8.4
解析：
由勾股定理得，“捷径”的长度为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\ \mathrm{m}$，
少走的路程为$(3+4-5)\ \mathrm{m}=2\ \mathrm{m}$，
因为$2$步为$1\ \mathrm{m}$，所以少走的步数为$2×2=4$步。
少走的路程为$(3+4-5)\ \mathrm{m}=2\ \mathrm{m}$，
因为$2$步为$1\ \mathrm{m}$，所以少走的步数为$2×2=4$步。
9. (教材变式)如图,一根长为6$\sqrt{3}$m的木棒AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上,倾斜角∠ABO为60°.当木棒的端点A沿墙下滑至点A'时,端点B沿地面向右滑行至点B'.
(1)求OB的长;
(2)当AA'=1m时,求BB'的长.
(1)求OB的长;
(2)当AA'=1m时,求BB'的长.
答案：9.(1)根据题意，得$AB = A^{\prime}B^{\prime} = 6\sqrt{3} \mathrm{ m}$,$\angle ABO = 60^{\circ}$，$\angle AOB = 90^{\circ}.\therefore \angle OAB = 30^{\circ}$.$\therefore OB = \frac{1}{2}AB = 3\sqrt{3} \mathrm{ m}$ (2)在$\mathrm{Rt} \bigtriangleup OAB$中，由勾股定理，得$OA = \sqrt{AB^{2} - OB^{2}} = 9 \mathrm{ m}$.$\because AA^{\prime} = 1 \mathrm{ m}$,$\therefore OA^{\prime} = OA - AA^{\prime} = 8 \mathrm{ m}$.在$\mathrm{Rt} \bigtriangleup A^{\prime}OB^{\prime}$中，由勾股定理，得$OB^{\prime} = \sqrt{A^{\prime}B^{\prime 2} - OA^{\prime 2}} = 2\sqrt{11} \mathrm{ m}.\therefore BB^{\prime} = OB^{\prime} - OB = (2\sqrt{11} - 3\sqrt{3})\mathrm{ m}$
解析：
(1)由题意得，$AB=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$\angle ABO=60°$，$\angle AOB=90°$，
$\therefore \angle OAB=30°$，
$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
(2)在$\mathrm{Rt}\triangle OAB$中，由勾股定理得，
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2-(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{108 - 27}=\sqrt{81}=9\ \mathrm{m}$，
$\because AA'=1\ \mathrm{m}$，
$\therefore OA'=OA - AA'=9 - 1=8\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}\triangle A'OB'$中，$A'B'=AB=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，由勾股定理得，
$OB'=\sqrt{A'B'^2 - OA'^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 8^2}=\sqrt{108 - 64}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BB'=OB' - OB=2\sqrt{11}-3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore \angle OAB=30°$，
$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
(2)在$\mathrm{Rt}\triangle OAB$中，由勾股定理得，
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2-(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{108 - 27}=\sqrt{81}=9\ \mathrm{m}$，
$\because AA'=1\ \mathrm{m}$，
$\therefore OA'=OA - AA'=9 - 1=8\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}\triangle A'OB'$中，$A'B'=AB=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，由勾股定理得，
$OB'=\sqrt{A'B'^2 - OA'^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 8^2}=\sqrt{108 - 64}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BB'=OB' - OB=2\sqrt{11}-3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
10. 某小区内有一块如图所示的三角形空地ABC,现计划将这块空地建成一个花园,以美化小区环境.预计花园每平方米的造价为25元,则该小区修建这个花园大约需要多少元?
答案：10.过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$.设$BD = x$米，则$CD = (14 - x)$米.在$\mathrm{Rt} \bigtriangleup ABD$中，由勾股定理，得$AD^{2} = AB^{2} - BD^{2}$;在$\mathrm{Rt} \bigtriangleup ACD$中，由勾股定理，得$AD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$，$\therefore AB^{2} - BD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$，即$13^{2} - x^{2} = 15^{2} - (14 - x)^{2}$,解得$x = 5.\therefore BD = 5$米.$\therefore AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12(\mathrm{米})$.$\therefore$该小区修建这个花园大约需要$25 × (\frac{1}{2} × 14 × 12) =$ 2100(元)
11. 如图,某斜拉桥的主梁AD垂直桥面MN于点D,主梁上两根拉索AB,AC的长分别为13m,20m.
(1)若拉索AB⊥AC,求固定点B,C之间的距离;
(2)若固定点B,C之间的距离为21m,求主梁AD的高度.
(1)若拉索AB⊥AC,求固定点B,C之间的距离;
(2)若固定点B,C之间的距离为21m,求主梁AD的高度.
答案：11.(1)$\because AB ⊥ AC$，$\therefore \angle BAC = 90^{\circ}.\because AB = 13 \mathrm{ m}$,$AC = 20 \mathrm{ m}$，$\therefore$在$\mathrm{Rt} \bigtriangleup ABC$中，$BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{569} \mathrm{ m}.\therefore$固定点$B,C$之间的距离为$\sqrt{569} \mathrm{ m}$ (2)根据题意，设$BD = x \mathrm{ m}$，则$CD = (21 - x)\mathrm{ m}.\because AD ⊥ BC$，$\therefore \angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$.在$\mathrm{Rt} \bigtriangleup ABD$中，由勾股定理，得$AD^{2} = AB^{2} - BD^{2}$;在$\mathrm{Rt} \bigtriangleup ACD$中，由勾股定理，得$AD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$，$\therefore AB^{2} - BD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$，即$13^{2} - x^{2} = 20^{2} - (21 - x)^{2}$,解得$x = 5.\therefore BD = 5 \mathrm{ m}.\therefore AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12(\mathrm{ m}).\therefore$主梁$AD$的高度为$12 \mathrm{ m}$
解析：
(1) $\because AB ⊥ AC$，$\therefore \angle BAC = 90°$。
$\because AB = 13\ \mathrm{m}$，$AC = 20\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{13^2 + 20^2} = \sqrt{569}\ \mathrm{m}$。
(2) 设 $BD = x\ \mathrm{m}$，则 $CD = (21 - x)\ \mathrm{m}$。
$\because AD ⊥ BC$，$\therefore \angle ADB = \angle ADC = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}\triangle ABD$ 中，$AD^2 = AB^2 - BD^2$；
在 $\mathrm{Rt}\triangle ACD$ 中，$AD^2 = AC^2 - CD^2$。
$\therefore 13^2 - x^2 = 20^2 - (21 - x)^2$，
解得 $x = 5$。
$\therefore AD = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\ \mathrm{m}$。
$\because AB = 13\ \mathrm{m}$，$AC = 20\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{13^2 + 20^2} = \sqrt{569}\ \mathrm{m}$。
(2) 设 $BD = x\ \mathrm{m}$，则 $CD = (21 - x)\ \mathrm{m}$。
$\because AD ⊥ BC$，$\therefore \angle ADB = \angle ADC = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}\triangle ABD$ 中，$AD^2 = AB^2 - BD^2$；
在 $\mathrm{Rt}\triangle ACD$ 中，$AD^2 = AC^2 - CD^2$。
$\therefore 13^2 - x^2 = 20^2 - (21 - x)^2$，
解得 $x = 5$。
$\therefore AD = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\ \mathrm{m}$。