9. 已知一个三角形的三边长分别为$\sqrt{2}$,$\sqrt{6}$和 2,则这个三角形的面积为
$\sqrt {2}$
.答案：9.$\sqrt {2}$
解析：
$(\sqrt{2})^2 + 2^2 = 2 + 4 = 6$，$(\sqrt{6})^2 = 6$，所以$(\sqrt{2})^2 + 2^2 = (\sqrt{6})^2$，该三角形是直角三角形，两直角边为$\sqrt{2}$和$2$。面积为$\frac{1}{2} × \sqrt{2} × 2 = \sqrt{2}$。
10. 在如图所示的 3×2 的网格中,每个小正方形的顶点称为格点,点 A,B,C,D 均在格点上,线段 AB,CD 交于点 O,则∠BOD 的度数为
$45^{\circ}$
.答案：10.$45^{\circ}$
解析：
解：连接格点，设每个小正方形边长为1。
通过坐标计算或几何关系可得，△OBD中，OB=OD，且OB²+OD²=BD²，
故∠BOD=45°。
答案：$45^{\circ}$
通过坐标计算或几何关系可得，△OBD中，OB=OD，且OB²+OD²=BD²，
故∠BOD=45°。
答案：$45^{\circ}$
11. 在△ABC 中,AB = 7,BC = 24,AC = 25,在△ABC 内有一点 P,点 P 到各边的距离相等,则这个距离为
3
.答案：11.3
解析：
∵AB=7，BC=24，AC=25，
∴AB²+BC²=7²+24²=49+576=625=25²=AC²，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°。
设点P到各边的距离为h，
∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，
∴$\frac{1}{2}$×AB×BC=$\frac{1}{2}$×AB×h+$\frac{1}{2}$×BC×h+$\frac{1}{2}$×AC×h，
即$\frac{1}{2}$×7×24=$\frac{1}{2}$×(7+24+25)×h，
84=28h，
解得h=3。
3
12. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,AD = 4,BD = 2,CD = 8.
(1) 求证:∠BAC = 90°;
(2) 若 P 为边 BC 上一点,连接 AP,△ABP 是以 AB 为腰的等腰三角形,求 BP 的长.
(1) 求证:∠BAC = 90°;
(2) 若 P 为边 BC 上一点,连接 AP,△ABP 是以 AB 为腰的等腰三角形,求 BP 的长.
答案：12.(1)$\because AD⊥ BC$，$\therefore\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$．在$Rt△ABD$中，$AD = 4$，$BD = 2$，$\therefore AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=20$．在$Rt△ACD$中，$CD = 8$，$AD = 4$，$\therefore AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}=80$．$\because BC = CD + BD = 10$，$\therefore BC^{2}=100$．$\because20 + 80 = 100$，$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$．$\therefore △ABC$为直角三角形，且$\angle BAC = 90^{\circ}$
(2)由(1)，易得$AB=\sqrt {AD^{2}+BD^{2}}=2\sqrt {5}$．分两种情况：①当$BP = AB$时，$BP = AB = 2\sqrt {5}$．②当$AP = AB$时，$\because AD⊥ BC$，$\therefore BD = DP$．$\therefore BP = 2BD = 4$．综上所述，BP的长为$2\sqrt {5}$或4
(2)由(1)，易得$AB=\sqrt {AD^{2}+BD^{2}}=2\sqrt {5}$．分两种情况：①当$BP = AB$时，$BP = AB = 2\sqrt {5}$．②当$AP = AB$时，$\because AD⊥ BC$，$\therefore BD = DP$．$\therefore BP = 2BD = 4$．综上所述，BP的长为$2\sqrt {5}$或4
13. 如图,在△ABC 中,AB = 3,AC = 5,边 BC 上的中线 AD = 2,延长 AD 到点 E,使 ED = AD,连接 CE.
(1) 求证:CE⊥AE;
(2) 求 BC 的长.
(1) 求证:CE⊥AE;
(2) 求 BC 的长.
答案：13.(1)$\because AD$是△ABC的边BC上的中线，$\therefore BD = CD=\frac {1}{2}BC$．又$\because\angle ADB=\angle EDC$，$AD = ED = 2$，$\therefore △ABD\cong△ECD$．$\therefore BA = CE = 3$．$\because AE = AD + ED = 4$，$\therefore AE^{2}=16$．又$\because CE^{2}=9$，$AC^{2}=25$，且$9 + 16 = 25$，$\therefore CE^{2}+AE^{2}=AC^{2}$．$\therefore △AEC$为直角三角形，且$\angle E = 90^{\circ}$，即$CE⊥ AE$．(2)在$Rt△CED$中，由勾股定理，得$CD=\sqrt {CE^{2}+ED^{2}}=\sqrt {13}$．$\therefore BC = 2CD = 2\sqrt {13}$
解析：
(1) 证明：
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD。
又
∵∠ADB=∠EDC，AD=ED=2，
∴△ABD≌△ECD（SAS）。
∴CE=AB=3。
∵AE=AD+ED=4，
∴AE²=4²=16，CE²=3²=9，AC²=5²=25。
∵9+16=25，即CE²+AE²=AC²，
∴△AEC是直角三角形，∠E=90°，即CE⊥AE。
(2) 解：在Rt△CED中，由勾股定理得：
CD=√(CE²+ED²)=√(3²+2²)=√13。
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2CD=2√13。
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD。
又
∵∠ADB=∠EDC，AD=ED=2，
∴△ABD≌△ECD（SAS）。
∴CE=AB=3。
∵AE=AD+ED=4，
∴AE²=4²=16，CE²=3²=9，AC²=5²=25。
∵9+16=25，即CE²+AE²=AC²，
∴△AEC是直角三角形，∠E=90°，即CE⊥AE。
(2) 解：在Rt△CED中，由勾股定理得：
CD=√(CE²+ED²)=√(3²+2²)=√13。
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2CD=2√13。
14. (新考向·数学文化)阅读:能够成为直角三角形三边长的三个正整数 a,b,c 称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数通解公式为
$\begin{cases}a = \dfrac{1}{2}(m^2 - n^2), \\b = mn, \\c = \dfrac{1}{2}(m^2 + n^2),\end{cases}$
其中 m ＞ n ＞ 0,m,n 是互质的奇数.
应用:当 n = 1 时,求有一边的长为 5 的直角三角形的另外两条边的长.
$\begin{cases}a = \dfrac{1}{2}(m^2 - n^2), \\b = mn, \\c = \dfrac{1}{2}(m^2 + n^2),\end{cases}$
其中 m ＞ n ＞ 0,m,n 是互质的奇数.
应用:当 n = 1 时,求有一边的长为 5 的直角三角形的另外两条边的长.
答案：14.当$n = 1$时，$a=\frac {1}{2}(m^{2}-1)$，$b = m$，$c=\frac {1}{2}(m^{2}+1)$．当$a = 5$时，$\frac {1}{2}(m^{2}-1)=5$，解得$m=\pm\sqrt {11}$(不合题意，舍去)．当$b = 5$时，$m = 5$，$\therefore a = 12$，$c = 13$．当$c = 5$时，$\frac {1}{2}(m^{2}+1)=5$，解得$m=\pm3$．$\because m＞0$，$\therefore m = 3$．$\therefore a = 4$，$b = 3$．综上所述，当$n = 1$时，有一边的长为5的直角三角形的另外两条边的长分别为12，13或3,4
解析：
当$n = 1$时，$a=\frac{1}{2}(m^{2}-1)$，$b = m$，$c=\frac{1}{2}(m^{2}+1)$。
当$a = 5$时，$\frac{1}{2}(m^{2}-1)=5$，解得$m=\pm\sqrt{11}$（不合题意，舍去）。
当$b = 5$时，$m = 5$，则$a=\frac{1}{2}(5^{2}-1)=12$，$c=\frac{1}{2}(5^{2}+1)=13$。
当$c = 5$时，$\frac{1}{2}(m^{2}+1)=5$，解得$m = 3$（$m=-3$舍去），则$a=\frac{1}{2}(3^{2}-1)=4$，$b = 3$。
综上所述，另外两条边的长分别为12，13或3，4。
当$a = 5$时，$\frac{1}{2}(m^{2}-1)=5$，解得$m=\pm\sqrt{11}$（不合题意，舍去）。
当$b = 5$时，$m = 5$，则$a=\frac{1}{2}(5^{2}-1)=12$，$c=\frac{1}{2}(5^{2}+1)=13$。
当$c = 5$时，$\frac{1}{2}(m^{2}+1)=5$，解得$m = 3$（$m=-3$舍去），则$a=\frac{1}{2}(3^{2}-1)=4$，$b = 3$。
综上所述，另外两条边的长分别为12，13或3，4。