1. (2024·海安期末)下列各组数中,能作为直角三角形三边长的是(
A.2,3,4
B.3,4,5
C.1,1,2
D.4,6,7
B
)A.2,3,4
B.3,4,5
C.1,1,2
D.4,6,7
答案：1.B
2. 如果△ABC 的三边长 a,b,c 满足$(a - b)^2 + \sqrt{2a - b - 3} + |c - 3\sqrt{2}| = 0$,那么△ABC 是(
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
D
)A.等边三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
答案：2.D
解析：
因为$(a - b)^2 + \sqrt{2a - b - 3} + |c - 3\sqrt{2}| = 0$，且$(a - b)^2 \geq 0$，$\sqrt{2a - b - 3} \geq 0$，$|c - 3\sqrt{2}| \geq 0$，所以$\begin{cases}a - b = 0 \\ 2a - b - 3 = 0 \\ c - 3\sqrt{2} = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3 \\ b = 3 \\ c = 3\sqrt{2}\end{cases}$。因为$a = b$，且$a^2 + b^2 = 3^2 + 3^2 = 18 = (3\sqrt{2})^2 = c^2$，所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
D
D
3. (新考向·数学文化)(2025·扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究,提出了推算勾股数的"罗士琳法则".法则的提出,不仅简化了勾股数的生成过程,也体现了我国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:① 3,4,5;② 5,12,13;③ 7,24,25;④ 9,40,41;…根据上述规律,写出第⑤组勾股数为
11,60,61
.答案：3.11,60,61
4. 如图,在由小正方形组成的 3×2 的网格中,每个小正方形的顶点称为格点,点 A,B,C,D,M,N 均在格点上.A,B,C,D 四个点中,能与点 M,N 构成直角三角形的是点
C
.答案：4.C
5. 如图,点 A,B,C 在格点上,若小正方形的边长均为 1,试判断△ABC 的形状,并说明理由.
答案：5.△ABC是直角三角形 理由：由题意，可知$AB^{2}=4^{2}+6^{2}=52$，$AC^{2}=2^{2}+3^{2}=13$，$BC^{2}=1^{2}+8^{2}=65$．$\because52 + 13 = 65$，$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$．$\therefore △ABC$是直角三角形．
6. (2025·海安期末)如图,在△ABC 中,AB = 13,AC = 12,BC = 5,DE 是 AB 的垂直平分线,DE 分别交 AC,AB 于点 E,D.
(1) 求证:△ABC 是直角三角形;
(2) 求 CE 的长.
(1) 求证:△ABC 是直角三角形;
(2) 求 CE 的长.
答案：
6.(1)$\because AB = 13$，$AC = 12$，$BC = 5$，$\therefore AC^{2}+BC^{2}=12^{2}+5^{2}=144 + 25 = 169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，即$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$．$\therefore △ABC$是直角三角形．(2)如图，连接BE．$\because DE$是AB的垂直平分线，$\therefore AE = BE$．由(1)，可得△ABC是直角三角形，且$\angle ACB = 90^{\circ}$．设$CE = x$，则$AE = AC - CE = 12 - x$，$BE = AE = 12 - x$．在$Rt△BCE$中，$CE^{2}+CB^{2}=BE^{2}$，$\therefore x^{2}+5^{2}=(12 - x)^{2}$，解得$x=\frac {119}{24}$．$\therefore CE$的长为$\frac {119}{24}$
6.(1)$\because AB = 13$，$AC = 12$，$BC = 5$，$\therefore AC^{2}+BC^{2}=12^{2}+5^{2}=144 + 25 = 169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，即$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$．$\therefore △ABC$是直角三角形．(2)如图，连接BE．$\because DE$是AB的垂直平分线，$\therefore AE = BE$．由(1)，可得△ABC是直角三角形，且$\angle ACB = 90^{\circ}$．设$CE = x$，则$AE = AC - CE = 12 - x$，$BE = AE = 12 - x$．在$Rt△BCE$中，$CE^{2}+CB^{2}=BE^{2}$，$\therefore x^{2}+5^{2}=(12 - x)^{2}$，解得$x=\frac {119}{24}$．$\therefore CE$的长为$\frac {119}{24}$
7. 若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且满足$(a - b)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$,则△ABC 是(
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
D.等腰直角三角形
C
)A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
D.等腰直角三角形
答案：7.C
解析：
因为$(a - b)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$，所以$a - b = 0$或$a^2 + b^2 - c^2 = 0$。
当$a - b = 0$时，$a = b$，此时$\triangle ABC$是等腰三角形。
当$a^2 + b^2 - c^2 = 0$时，$a^2 + b^2 = c^2$，此时$\triangle ABC$是直角三角形。
当$a - b = 0$且$a^2 + b^2 - c^2 = 0$时，$a = b$且$a^2 + b^2 = c^2$，此时$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
综上，$\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
C
当$a - b = 0$时，$a = b$，此时$\triangle ABC$是等腰三角形。
当$a^2 + b^2 - c^2 = 0$时，$a^2 + b^2 = c^2$，此时$\triangle ABC$是直角三角形。
当$a - b = 0$且$a^2 + b^2 - c^2 = 0$时，$a = b$且$a^2 + b^2 = c^2$，此时$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
综上，$\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
C
8. 已知 a,b,c 分别为△ABC 的三条边长,则下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是(
A.∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5
B.$ c^2 - a^2 = b^2 $
C.∠C - ∠B = ∠A
D.a : b : c = 2.5 : 6 : 6.5
A
)A.∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5
B.$ c^2 - a^2 = b^2 $
C.∠C - ∠B = ∠A
D.a : b : c = 2.5 : 6 : 6.5
答案：8.A