8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 $1$，$\triangle ABC$ 的顶点都在正方形网格的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点 $A$ 到边 $BC$ 的距离为
$\frac{6\sqrt{26}}{13}$
.答案：8.$\frac{6\sqrt{26}}{13}$
9. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$AD = 3$，动点 $P$ 满足 $S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3}S_{长方形ABCD}$，则点 $P$ 到 $A$，$B$ 两点的距离之和 $(PA + PB)$ 的最小值为
]
$\sqrt{41}$
.]
答案：9.$\sqrt{41}$
解析：
解：
长方形 $ABCD$ 中，$AB=5$，$AD=3$，则 $S_{长方形ABCD}=AB · AD=5 × 3=15$。
由 $S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3}S_{长方形ABCD}$，得 $S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3} × 15=5$。
设点 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $h$，则 $\frac{1}{2} · AB · h=5$，即 $\frac{1}{2} × 5h=5$，解得 $h=2$。
故点 $P$ 在与 $AB$ 平行且距离为 $2$ 的直线上（长方形内、外各一条）。
作点 $A$ 关于该直线的对称点 $A'$，连接 $A'B$ 交直线于点 $P$，此时 $PA+PB=A'B$ 最小。
若直线在长方形内部，$A'$ 到 $AB$ 的距离为 $2 × 2=4$，则 $A'B=\sqrt{AB^2 + (2h)^2}=\sqrt{5^2 + 4^2}=\sqrt{41}$。
综上，$PA + PB$ 的最小值为 $\sqrt{41}$。
$\sqrt{41}$
长方形 $ABCD$ 中，$AB=5$，$AD=3$，则 $S_{长方形ABCD}=AB · AD=5 × 3=15$。
由 $S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3}S_{长方形ABCD}$，得 $S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3} × 15=5$。
设点 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $h$，则 $\frac{1}{2} · AB · h=5$，即 $\frac{1}{2} × 5h=5$，解得 $h=2$。
故点 $P$ 在与 $AB$ 平行且距离为 $2$ 的直线上（长方形内、外各一条）。
作点 $A$ 关于该直线的对称点 $A'$，连接 $A'B$ 交直线于点 $P$，此时 $PA+PB=A'B$ 最小。
若直线在长方形内部，$A'$ 到 $AB$ 的距离为 $2 × 2=4$，则 $A'B=\sqrt{AB^2 + (2h)^2}=\sqrt{5^2 + 4^2}=\sqrt{41}$。
综上，$PA + PB$ 的最小值为 $\sqrt{41}$。
$\sqrt{41}$
10. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 $1$，小正方形的顶点称为格点.
（1）请在网格中画出格点三角形 $ABC$，使 $AB = 2\sqrt{2}$，$BC = \sqrt{13}$，$AC = \sqrt{17}$；
（2）求 $\triangle ABC$ 的面积.
（1）请在网格中画出格点三角形 $ABC$，使 $AB = 2\sqrt{2}$，$BC = \sqrt{13}$，$AC = \sqrt{17}$；
（2）求 $\triangle ABC$ 的面积.
答案：
10.(1)如图，△ABC即为所求 (2)$S_{\triangle ABC}=3× 4-\frac{1}{2} × 2×2-\frac{1}{2} × 2 × 3-\frac{1}{2} × 1 × 4=5$
10.(1)如图，△ABC即为所求 (2)$S_{\triangle ABC}=3× 4-\frac{1}{2} × 2×2-\frac{1}{2} × 2 × 3-\frac{1}{2} × 1 × 4=5$
11. 如图所示为一个圆柱形无盖油罐，它的底面圆的周长为 $24\mathrm{m}$，高为 $6\mathrm{m}$.一只老鼠从距底面 $1\mathrm{m}$ 的点 $A$ 处沿油罐侧面爬行到对面的点 $B$ 处吃油，则它爬行的最短路程为多少米？
答案：
11.如图，将圆柱的侧面展开成长方形，则长方形的长为圆柱的底面圆的周长，即为24m，记点A正下方的顶点为C，正上方的顶点为E.由题意,得$EC = 6m$，$AC = 1m$，$EB=\frac{24}{2}=12(m)$.
$\therefore AE = 5m$.在$Rt\triangle ABE$中，由勾股定理，得$AB = \sqrt{AE^{2}+EB^{2}} = 13m$.$\therefore$它爬行的最短路程为13m
11.如图，将圆柱的侧面展开成长方形，则长方形的长为圆柱的底面圆的周长，即为24m，记点A正下方的顶点为C，正上方的顶点为E.由题意,得$EC = 6m$，$AC = 1m$，$EB=\frac{24}{2}=12(m)$.
$\therefore AE = 5m$.在$Rt\triangle ABE$中，由勾股定理，得$AB = \sqrt{AE^{2}+EB^{2}} = 13m$.$\therefore$它爬行的最短路程为13m
12. (分类讨论思想)叶老师在与学生进行“蚂蚁怎样爬路程最短”的课题研究时，设计了以下两个问题，请分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）.
（1）如图①，正方体的棱长为 $5\mathrm{cm}$，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点 $A$ 处沿着正方体表面爬到点 $C_1$ 处；
（2）如图②，长方体的长和宽都为 $5\mathrm{cm}$，高为 $6\mathrm{cm}$，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点 $A$ 处沿着长方体表面爬到点 $C_1$ 处.
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（1）如图①，正方体的棱长为 $5\mathrm{cm}$，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点 $A$ 处沿着正方体表面爬到点 $C_1$ 处；
（2）如图②，长方体的长和宽都为 $5\mathrm{cm}$，高为 $6\mathrm{cm}$，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点 $A$ 处沿着长方体表面爬到点 $C_1$ 处.
]答案：
12.(1)如图①，将正方体的“前面”和“右面”展开在同一平面上，连接$AC_{1}$，最短路程就是线段$AC_{1}$的长.由题意，得$AB = BC = CC_{1} = 5cm$.$\therefore AC = 10cm$.在$Rt\triangle ACC_{1}$中，由勾股定理，得$AC_{1}=\sqrt{AC^{2}+CC_{1}^{2}} = 5\sqrt{5}cm$.$\therefore$蚂蚁需要爬行的最短路程为$5\sqrt{5}cm$ (2)情况一:如图②，将长方体的“前面”和“右面”展开在同一平面上，连接$AC_{1}$.由题意，得$AB = BC = 5cm$，$CC_{1} = 6cm$.$\therefore AC = 10cm$.在$Rt\triangle ACC_{1}$中，由勾股定理，得$AC_{1}=\sqrt{AC^{2}+CC_{1}^{2}} = 2\sqrt{34}cm$.情况二:如图③，将长方体的“前面”和“上面”展开在同一平面上，连接$AC_{1}$.由题意，得$A_{1}D_{1} = C_{1}D_{1} = 5cm$，$AA_{1} = 6cm$.$\therefore AD_{1} = 11cm$.在$Rt\triangle AC_{1}D_{1}$中，由勾股定理，得$AC_{1}=\sqrt{AD_{1}^{2}+C_{1}D_{1}^{2}}=\sqrt{146}cm$.情况三:如图④，将长方体的“下面”和“右面”展开在同一平面上，连接$AC_{1}$.由题意，得$B_{1}B = 6cm$，$B_{1}C_{1} = AB = 5cm$.$\therefore AB_{1} = 11cm$.在$Rt\triangle AB_{1}C_{1}$中，由勾股定理，得$AC_{1}=\sqrt{B_{1}C_{1}^{2}+AB_{1}^{2}}=\sqrt{146}cm$.$\because 2\sqrt{34}＜\sqrt{146}$，$\therefore$蚂蚁需要爬行的最短路程为$2\sqrt{34}cm$
12.(1)如图①，将正方体的“前面”和“右面”展开在同一平面上，连接$AC_{1}$，最短路程就是线段$AC_{1}$的长.由题意，得$AB = BC = CC_{1} = 5cm$.$\therefore AC = 10cm$.在$Rt\triangle ACC_{1}$中，由勾股定理，得$AC_{1}=\sqrt{AC^{2}+CC_{1}^{2}} = 5\sqrt{5}cm$.$\therefore$蚂蚁需要爬行的最短路程为$5\sqrt{5}cm$ (2)情况一:如图②，将长方体的“前面”和“右面”展开在同一平面上，连接$AC_{1}$.由题意，得$AB = BC = 5cm$，$CC_{1} = 6cm$.$\therefore AC = 10cm$.在$Rt\triangle ACC_{1}$中，由勾股定理，得$AC_{1}=\sqrt{AC^{2}+CC_{1}^{2}} = 2\sqrt{34}cm$.情况二:如图③，将长方体的“前面”和“上面”展开在同一平面上，连接$AC_{1}$.由题意，得$A_{1}D_{1} = C_{1}D_{1} = 5cm$，$AA_{1} = 6cm$.$\therefore AD_{1} = 11cm$.在$Rt\triangle AC_{1}D_{1}$中，由勾股定理，得$AC_{1}=\sqrt{AD_{1}^{2}+C_{1}D_{1}^{2}}=\sqrt{146}cm$.情况三:如图④，将长方体的“下面”和“右面”展开在同一平面上，连接$AC_{1}$.由题意，得$B_{1}B = 6cm$，$B_{1}C_{1} = AB = 5cm$.$\therefore AB_{1} = 11cm$.在$Rt\triangle AB_{1}C_{1}$中，由勾股定理，得$AC_{1}=\sqrt{B_{1}C_{1}^{2}+AB_{1}^{2}}=\sqrt{146}cm$.$\because 2\sqrt{34}＜\sqrt{146}$，$\therefore$蚂蚁需要爬行的最短路程为$2\sqrt{34}cm$