8. (教材变式)如图，在某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东$30^{\circ}$方向以18节(1节=1海里/时)的速度航行，2号舰以24节的速度航行，离开港口1小时后它们分别到达A，B两点，且相距30海里，则2号舰的航行方向是(
A.北偏西$30^{\circ}$
B.南偏西$30^{\circ}$
C.南偏东$60^{\circ}$
D.南偏西$60^{\circ}$
D
)A.北偏西$30^{\circ}$
B.南偏西$30^{\circ}$
C.南偏东$60^{\circ}$
D.南偏西$60^{\circ}$
答案：8.D
解析：
1号舰航行距离：$OA = 18 × 1 = 18$海里，2号舰航行距离：$OB = 24 × 1 = 24$海里，$AB = 30$海里。
因为$18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 = 30^2$，所以$\triangle OAB$是直角三角形，$\angle AOB = 90°$。
1号舰沿南偏东$30°$方向，所以$\angle AOC = 30°$（$OC$为正南方向），则$\angle BOC = \angle AOB - \angle AOC = 90° - 30° = 60°$，即2号舰的航行方向是南偏西$60°$。
D
因为$18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 = 30^2$，所以$\triangle OAB$是直角三角形，$\angle AOB = 90°$。
1号舰沿南偏东$30°$方向，所以$\angle AOC = 30°$（$OC$为正南方向），则$\angle BOC = \angle AOB - \angle AOC = 90° - 30° = 60°$，即2号舰的航行方向是南偏西$60°$。
D
9. 一名同学仿照教材中古埃及人的方法，计划用一根绳子围一个直角三角形，为使这个直角三角形的两条较长边的长度分别为60cm，61cm，则这根绳子的长度至少为
132cm
.答案：9.132cm
解析：
设直角三角形的最短边为$a$cm，两条较长边分别为60cm，61cm，其中61cm为斜边。
由勾股定理得：$a^{2}+60^{2}=61^{2}$
$a^{2}=61^{2}-60^{2}=(61-60)(61+60)=1×121=121$
$a=\sqrt{121}=11$
绳子长度为$11+60+61=132$cm
132cm
由勾股定理得：$a^{2}+60^{2}=61^{2}$
$a^{2}=61^{2}-60^{2}=(61-60)(61+60)=1×121=121$
$a=\sqrt{121}=11$
绳子长度为$11+60+61=132$cm
132cm
10. 从一根长为112cm的铁丝的一端起，顺次截下长为14cm和48cm的两根铁丝，用这两根铁丝和剩下的铁丝围成的三角形的面积是
336
$cm^{2}$.答案：10.336
解析：
剩下铁丝长度：$112 - 14 - 48 = 50\,\mathrm{cm}$。
判断三角形：$14^2 + 48^2 = 196 + 2304 = 2500 = 50^2$，为直角三角形，直角边为14cm和48cm。
面积：$\frac{1}{2} × 14 × 48 = 336\,\mathrm{cm}^2$。
336
判断三角形：$14^2 + 48^2 = 196 + 2304 = 2500 = 50^2$，为直角三角形，直角边为14cm和48cm。
面积：$\frac{1}{2} × 14 × 48 = 336\,\mathrm{cm}^2$。
336
11. 如图，在一块三角形土地ABC上，准备规划出一部分作为绿地(阴影部分).若$\angle ADC = 90^{\circ}$，$AD = 4$，$CD = 3$，$AB = 13$，$BC = 12$，则绿地的面积为
24
.答案：11.24
解析：
解：在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ADC=90^{\circ}$，$AD=4$，$CD=3$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$。
在$\triangle ABC$中，$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，因为$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，即$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB=90^{\circ}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$，$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6$。
绿地面积为$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADC}=30 - 6=24$。
24
在$\triangle ABC$中，$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，因为$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，即$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB=90^{\circ}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$，$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6$。
绿地面积为$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADC}=30 - 6=24$。
24
12. （2024·海安期中）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块如图所示的四边形空地ABCD，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地.经学校课外实践活动小组测量，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AD = 3m$，$AB = 4m$，$BC = 13m$，$CD = 12m$.求：
（1）四边形ABCD的面积；
（2）点D到BC的距离.
（1）四边形ABCD的面积；
（2）点D到BC的距离.
答案：
12.(1)如图，连接BD.
∵∠BAD = 90°，AD = 3m，AB = 4m，
∴$BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5(m)$.
∵$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$，
∴$BD^{2} + CD^{2} = BC^{2}$，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC = 90°.
∴$S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BDC} = \frac{1}{2}AB · AD + \frac{1}{2}BD · CD = \frac{1}{2} × (4 × 3 + 5 × 12) = 36(m^{2})$，
∴四边形ABCD的面积为$36m^{2}$.
(2)如图，过点D作$DE ⊥ BC$于点E.由(1)可知，△BDC是直角三角形，且∠BDC = 90°.
∴$S_{\triangle BDC} = \frac{1}{2}BC · DE = \frac{1}{2}BD · CD$，
∴$DE = \frac{BD · CD}{BC} = \frac{5 × 12}{13} = \frac{60}{13}(m)$，
∴点D到BC的距离为$\frac{60}{13}$m.
12.(1)如图，连接BD.
∵∠BAD = 90°，AD = 3m，AB = 4m，
∴$BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5(m)$.
∵$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$，
∴$BD^{2} + CD^{2} = BC^{2}$，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC = 90°.
∴$S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BDC} = \frac{1}{2}AB · AD + \frac{1}{2}BD · CD = \frac{1}{2} × (4 × 3 + 5 × 12) = 36(m^{2})$，
∴四边形ABCD的面积为$36m^{2}$.
(2)如图，过点D作$DE ⊥ BC$于点E.由(1)可知，△BDC是直角三角形，且∠BDC = 90°.
∴$S_{\triangle BDC} = \frac{1}{2}BC · DE = \frac{1}{2}BD · CD$，
∴$DE = \frac{BD · CD}{BC} = \frac{5 × 12}{13} = \frac{60}{13}(m)$，
∴点D到BC的距离为$\frac{60}{13}$m.
13. 在学校组织的研学活动中，某小组合作搭建帐篷.如图所示为他们搭建帐篷的支架示意图.在$\triangle ABC$中，一根支架$AD⊥ BC$于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且$AE = BE$，测得$BD = 1.6m$，$AD = 1.2m$，$AC = 1.5m$.根据测量结果，解答下面的问题：
（1）求AE的长.
（2）按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角为直角时，帐篷最为稳定.请通过计算说明该小组搭建的帐篷是否是最稳定的.
（1）求AE的长.
（2）按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角为直角时，帐篷最为稳定.请通过计算说明该小组搭建的帐篷是否是最稳定的.
答案：13.(1)设AE = xm，则BE = AE = xm，
∴$ED = BD - BE = (1.6 - x)m$.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°.在$Rt\triangle ADE$中，$AD^{2} + ED^{2} = AE^{2}$，
∴$1.2^{2} + (1.6 - x)^{2} = x^{2}$，解得$x = \frac{5}{4}$，
∴AE的长为$\frac{5}{4}$m.
(2)在$Rt\triangle ABD$中，
∵BD = 1.6m，AD = 1.2m，
∴$AB = \sqrt{BD^{2} + AD^{2}} = \sqrt{1.6^{2} + 1.2^{2}} = 2(m)$.在$Rt\triangle ADC$中，
∵AD = 1.2m，AC = 1.5m，
∴$CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{1.5^{2} - 1.2^{2}} = 0.9(m)$，
∴$BC = BD + CD = 2.5m$.
∵$AB^{2} + AC^{2} = 2^{2} + 1.5^{2} = 6.25(m^{2})$，$BC^{2} = 2.5^{2} = 6.25(m^{2})$，
∴$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC = 90°，
∴该小组搭建的帐篷是最稳定的.
∴$ED = BD - BE = (1.6 - x)m$.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°.在$Rt\triangle ADE$中，$AD^{2} + ED^{2} = AE^{2}$，
∴$1.2^{2} + (1.6 - x)^{2} = x^{2}$，解得$x = \frac{5}{4}$，
∴AE的长为$\frac{5}{4}$m.
(2)在$Rt\triangle ABD$中，
∵BD = 1.6m，AD = 1.2m，
∴$AB = \sqrt{BD^{2} + AD^{2}} = \sqrt{1.6^{2} + 1.2^{2}} = 2(m)$.在$Rt\triangle ADC$中，
∵AD = 1.2m，AC = 1.5m，
∴$CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{1.5^{2} - 1.2^{2}} = 0.9(m)$，
∴$BC = BD + CD = 2.5m$.
∵$AB^{2} + AC^{2} = 2^{2} + 1.5^{2} = 6.25(m^{2})$，$BC^{2} = 2.5^{2} = 6.25(m^{2})$，
∴$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC = 90°，
∴该小组搭建的帐篷是最稳定的.