1. 若一直角三角形的两条直角边的长分别为 9 cm 和 12 cm，则该直角三角形斜边上的高为(
A.6 cm
B.8 cm
C.$\frac{53}{5}$ cm
D.$\frac{36}{5}$ cm
D
)A.6 cm
B.8 cm
C.$\frac{53}{5}$ cm
D.$\frac{36}{5}$ cm
答案：1. D
解析：
直角三角形两条直角边分别为$9\ \mathrm{cm}$和$12\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{81 + 144}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$。
设斜边上的高为$h\ \mathrm{cm}$，三角形面积可表示为$\frac{1}{2}×9×12$，也可表示为$\frac{1}{2}×15× h$，则$\frac{1}{2}×9×12=\frac{1}{2}×15× h$，解得$h = \frac{9×12}{15}=\frac{108}{15}=\frac{36}{5}\ \mathrm{cm}$。
D
设斜边上的高为$h\ \mathrm{cm}$，三角形面积可表示为$\frac{1}{2}×9×12$，也可表示为$\frac{1}{2}×15× h$，则$\frac{1}{2}×9×12=\frac{1}{2}×15× h$，解得$h = \frac{9×12}{15}=\frac{108}{15}=\frac{36}{5}\ \mathrm{cm}$。
D
2. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$。若 $AC + BC = 14$ cm，$AB = 10$ cm，则 $Rt\triangle ABC$ 的面积是(
A.$24$ cm$^{2}$
B.$36$ cm$^{2}$
C.$48$ cm$^{2}$
D.$60$ cm$^{2}$
A
)A.$24$ cm$^{2}$
B.$36$ cm$^{2}$
C.$48$ cm$^{2}$
D.$60$ cm$^{2}$
答案：2. A
解析：
设$AC = a$ cm，$BC = b$ cm。
因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以由勾股定理得$a^{2} + b^{2} = AB^{2} = 10^{2} = 100$。
已知$AC + BC = 14$ cm，即$a + b = 14$。
对$a + b = 14$两边平方得$(a + b)^{2} = 14^{2} = 196$，即$a^{2} + 2ab + b^{2} = 196$。
将$a^{2} + b^{2} = 100$代入上式得$100 + 2ab = 196$，解得$2ab = 96$，$ab = 48$。
所以$Rt\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24$ $cm^{2}$。
A
因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以由勾股定理得$a^{2} + b^{2} = AB^{2} = 10^{2} = 100$。
已知$AC + BC = 14$ cm，即$a + b = 14$。
对$a + b = 14$两边平方得$(a + b)^{2} = 14^{2} = 196$，即$a^{2} + 2ab + b^{2} = 196$。
将$a^{2} + b^{2} = 100$代入上式得$100 + 2ab = 196$，解得$2ab = 96$，$ab = 48$。
所以$Rt\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24$ $cm^{2}$。
A
3. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形较长的直角边长为 $a$，较短的直角边长为 $b$。若 $(a + b)^{2} = 21$，大正方形的面积为 13，求小正方形的边长。
答案：3. 由题意，可知小正方形的边长为$a-b$，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$．$\therefore4 × \frac{1}{2}ab + (a - b)^2 = 13$，即$2ab + a^2 - 2ab + b^2 = 13$．$\therefore a^2 + b^2 = 13$．$\because (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 21$，$\therefore ab = 4$．
$\therefore (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 13 - 8 = 5$．$\therefore a - b = \sqrt{5}$（负值舍去），即小正方形的边长为$\sqrt{5}$
$\therefore (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 13 - 8 = 5$．$\therefore a - b = \sqrt{5}$（负值舍去），即小正方形的边长为$\sqrt{5}$
4. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间是一个小正方形。它是美丽的弦图，其中直角三角形的两条直角边长分别为 $a$，$b(a ＜ b)$，斜边长为 $c$。
(1)求证：$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
(2)将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到如图②所示的图形。若该图形的周长为 24，$OH = 3$，求该图形的面积。
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形 $PQMN$，记正方形 $PQMN$、正方形 $ABCD$、正方形 $EFGH$ 的面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$。若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 18$，则 $S_{2} =$
(1)求证：$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
(2)将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到如图②所示的图形。若该图形的周长为 24，$OH = 3$，求该图形的面积。
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形 $PQMN$，记正方形 $PQMN$、正方形 $ABCD$、正方形 $EFGH$ 的面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$。若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 18$，则 $S_{2} =$
6
。答案：4. (1)$\because S_{\mathrm{小正方形}} = (b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2$，$S_{\mathrm{小正方形}} = c^2 - 4 × \frac{1}{2}ab = c^2 - 2ab$，$\therefore b^2 - 2ab + a^2 = c^2 - 2ab$．$\therefore a^2 + b^2 = c^2$
(2)由题意，得$OB = OH = 3$，$AB + BC = 24 ÷ 4 = 6$．设$AH = BC = x$，则$AB = 6 - x$．在$\mathrm{Rt} \triangle AOB$中，由勾股定理，得$OB^2 + OA^2 = AB^2$，即$3^2 + (3 + x)^2 = (6 - x)^2$，解得$x = 1$．$\therefore$该图形的面积为$\frac{1}{2} × 3 × (3 + 1) × 4 = 24$
(3)6 解析：设每个直角三角形的面积为$x$，则$S_1 = 8x + S_3$，$S_2 = 4x + S_3$．$\because S_1 + S_2 + S_3 = 18$，$\therefore 8x + S_3 + 4x + S_3 + S_3 = 18$，即$3S_3 + 12x = 18$．$\therefore S_3 + 4x = 6$，即$S_2 = 6$．
(2)由题意，得$OB = OH = 3$，$AB + BC = 24 ÷ 4 = 6$．设$AH = BC = x$，则$AB = 6 - x$．在$\mathrm{Rt} \triangle AOB$中，由勾股定理，得$OB^2 + OA^2 = AB^2$，即$3^2 + (3 + x)^2 = (6 - x)^2$，解得$x = 1$．$\therefore$该图形的面积为$\frac{1}{2} × 3 × (3 + 1) × 4 = 24$
(3)6 解析：设每个直角三角形的面积为$x$，则$S_1 = 8x + S_3$，$S_2 = 4x + S_3$．$\because S_1 + S_2 + S_3 = 18$，$\therefore 8x + S_3 + 4x + S_3 + S_3 = 18$，即$3S_3 + 12x = 18$．$\therefore S_3 + 4x = 6$，即$S_2 = 6$．