1. 如图，在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中， $ \angle B = 90° $， $ AB = 4 $， $ BC = 6 $。将 $ \triangle ABC $ 折叠，使点 $ C $ 与 $ AB $ 的中点 $ D $ 重合，折痕交 $ AC $ 于点 $ M $，交 $ BC $ 于点 $ N $，则线段 $ CN $ 的长为
$\frac{10}{3}$
。答案：1. $\frac{10}{3}$
解析：
解：设 $ CN = x $，由折叠性质得 $ DN = CN = x $。
因为 $ D $ 是 $ AB $ 中点，$ AB = 4 $，所以 $ AD = DB = 2 $。
因为 $ BC = 6 $，所以 $ BN = BC - CN = 6 - x $。
在 $ \mathrm{Rt} \triangle DBN $ 中，$ \angle B = 90° $，由勾股定理得：
$ DN^2 = DB^2 + BN^2 $
即：
$ x^2 = 2^2 + (6 - x)^2 $
展开得：
$ x^2 = 4 + 36 - 12x + x^2 $
化简得：
$ 12x = 40 $
解得：
$ x = \frac{10}{3} $
$\frac{10}{3}$
因为 $ D $ 是 $ AB $ 中点，$ AB = 4 $，所以 $ AD = DB = 2 $。
因为 $ BC = 6 $，所以 $ BN = BC - CN = 6 - x $。
在 $ \mathrm{Rt} \triangle DBN $ 中，$ \angle B = 90° $，由勾股定理得：
$ DN^2 = DB^2 + BN^2 $
即：
$ x^2 = 2^2 + (6 - x)^2 $
展开得：
$ x^2 = 4 + 36 - 12x + x^2 $
化简得：
$ 12x = 40 $
解得：
$ x = \frac{10}{3} $
$\frac{10}{3}$
2. (2024·常州)如图，在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中， $ \angle ACB = 90° $， $ AC = 6 $， $ BC = 4 $， $ D $ 是边 $ AC $ 的中点， $ E $ 是边 $ BC $ 上一点，连接 $ BD $， $ DE $。将 $ \triangle CDE $ 沿 $ DE $ 翻折，使点 $ C $ 落在 $ BD $ 上的点 $ F $ 处，则 $ CE $ 的长为
$\frac{3}{2}$
。答案：2. $\frac{3}{2}$
解析：
解：设 $ CE = x $，则 $ BE = 4 - x $。
因为 $ D $ 是 $ AC $ 中点，$ AC = 6 $，所以 $ CD = 3 $。
由翻折性质得：$ DF = CD = 3 $，$ EF = CE = x $，$ \angle DFE = \angle C = 90° $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，$ BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 $，则 $ BF = BD - DF = 5 - 3 = 2 $。
因为 $ \angle BFE = 180° - \angle DFE = 90° $，在 $ \mathrm{Rt}\triangle BEF $ 中，$ BE^2 = BF^2 + EF^2 $，即 $ (4 - x)^2 = 2^2 + x^2 $。
解得 $ x = \frac{3}{2} $。
$\frac{3}{2}$
因为 $ D $ 是 $ AC $ 中点，$ AC = 6 $，所以 $ CD = 3 $。
由翻折性质得：$ DF = CD = 3 $，$ EF = CE = x $，$ \angle DFE = \angle C = 90° $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，$ BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 $，则 $ BF = BD - DF = 5 - 3 = 2 $。
因为 $ \angle BFE = 180° - \angle DFE = 90° $，在 $ \mathrm{Rt}\triangle BEF $ 中，$ BE^2 = BF^2 + EF^2 $，即 $ (4 - x)^2 = 2^2 + x^2 $。
解得 $ x = \frac{3}{2} $。
$\frac{3}{2}$
3. (2025·内江)如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 在 $ x $ 轴上，点 $ B $ 的坐标为 $ (1,0) $，点 $ E $ 在边 $ CD $ 上。将 $ \triangle ADE $ 沿 $ AE $ 折叠，点 $ D $ 恰好落在点 $ F $ 处。若点 $ F $ 的坐标为 $ (0,3) $，则点 $ E $ 的坐标为
$(-1.5,5)$
。答案：3. $(-1.5,5)$
解析：
解：设正方形边长为$a$，则$A(-a+1,0)$，$D(-a+1,a)$，$E(m,a)$。
由折叠性质得$AF=AD=a$，$EF=DE$。
$\because F(0,3)$，$\therefore AF^2=(a-1)^2+3^2=a^2$，解得$a=5$，故$A(-4,0)$，$D(-4,5)$。
$DE=-4 - m$，$EF^2=m^2+(a - 3)^2=m^2+4$，$\because DE=EF$，$\therefore (-4 - m)^2=m^2 + 4$，解得$m=-\frac{3}{2}$。
$\therefore E(-\frac{3}{2},5)$
$(-\frac{3}{2},5)$
由折叠性质得$AF=AD=a$，$EF=DE$。
$\because F(0,3)$，$\therefore AF^2=(a-1)^2+3^2=a^2$，解得$a=5$，故$A(-4,0)$，$D(-4,5)$。
$DE=-4 - m$，$EF^2=m^2+(a - 3)^2=m^2+4$，$\because DE=EF$，$\therefore (-4 - m)^2=m^2 + 4$，解得$m=-\frac{3}{2}$。
$\therefore E(-\frac{3}{2},5)$
$(-\frac{3}{2},5)$
4. (2024·威海)将一张长方形纸片 $ ABCD $ 按如图所示的方式折叠，使点 $ C $ 落在 $ AB $ 上的点 $ C' $ 处，折痕交 $ BC $ 于点 $ M $，交 $ AD $ 于点 $ N $，点 $ D $ 落在点 $ D' $ 处， $ C'D' $ 交 $ AD $ 于点 $ E $。若 $ BM = 3 $， $ BC' = 4 $， $ AC' = 3 $，则 $ DN $ 的长为
$\frac{3}{2}$
。答案：4. $\frac{3}{2}$ 解析：$\because$四边形 $ABCD$ 是长方形，$\therefore \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°$，$AB = CD$，$AD = BC$. 在 $Rt\triangle C'BM$ 中，$C'M = \sqrt{C'B^2 + BM^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$. 由折叠，可得 $C'M = CM = 5$，$D'N = DN$，$\angle D'C'M = \angle C = 90°$，$\angle D' = \angle D = 90°$，$\therefore \angle BC'M + \angle AC'E = \angle AEC' + \angle AC'E = 90°$. $\therefore \angle BC'M = \angle AEC'$. 又 $\because \angle B = \angle A$，$BM = AC' = 3$，$\therefore \triangle BC'M \cong \triangle AEC'$. $\therefore BC' = AE = 4$，$MC' = C'E = 5$. $\therefore CD = C'D' = AB = AC' + BC' = 7$，$BC = AD = BM + CM = 3 + 5 = 8$. $\therefore DE = AD - AE = 8 - 4 = 4$，$D'E = C'D' - C'E = 7 - 5 = 2$. 设 $DN = a$，则 $D'N = a$，$EN = 4 - a$. 在 $Rt\triangle D'EN$ 中，$EN^2 = D'E^2 + D'N^2$，即 $(4 - a)^2 = 2^2 + a^2$，解得 $a = \frac{3}{2}$. $\therefore DN$ 的长为 $\frac{3}{2}$.
5. 如图，将长方形纸片 $ ABCD $ 折叠，使点 $ C $ 与点 $ A $ 重合，点 $ B $ 落在点 $ B' $ 处，折痕 $ EF $ 分别与 $ AB $， $ DC $ 交于点 $ E $， $ F $。
（1）求证： $ \triangle ADF \cong \triangle AB'E $；
（2）若 $ AD = 12 $， $ DC = 18 $，求 $ \triangle AEF $ 的面积。
（1）求证： $ \triangle ADF \cong \triangle AB'E $；
（2）若 $ AD = 12 $， $ DC = 18 $，求 $ \triangle AEF $ 的面积。
答案：5. (1) $\because$四边形 $ABCD$ 是长方形，$\therefore \angle D = \angle C = \angle B = \angle DAB = 90°$，$AD = BC$. $\therefore \angle DAF + \angle EAF = 90°$. 由折叠，得 $\angle FAB' = \angle C = 90°$，$\angle B' = \angle B = 90°$，$AB' = CB$. $\therefore AD = AB'$，$\angle D = \angle B'$，$\angle B'AE + \angle EAF = 90°$. $\therefore \angle DAF = \begin{cases} \angle D = \angle B', \\ \angle B'AE. \end{cases}$ 在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle AB'E$ 中，$\begin{cases} AD = AB', \\ \angle DAF = \angle B'AE, \end{cases}$ $\therefore \triangle ADF \cong \triangle AB'E$ (2) 由折叠，得 $AF = CF$. 设 $AF = CF = x$，则 $DF = DC - CF = 18 - x$. 在 $Rt\triangle ADF$ 中，$AD^2 + DF^2 = AF^2$，$\therefore 12^2 + (18 - x)^2 = x^2$，解得 $x = 13$. $\therefore AF = 13$.
$\because \triangle ADF \cong \triangle AB'E$，$\therefore AF = AE = 13$. $\therefore S_{\triangle AEF} = \frac{1}{2} · AE · AD = \frac{1}{2} × 13 × 12 = 78$
$\because \triangle ADF \cong \triangle AB'E$，$\therefore AF = AE = 13$. $\therefore S_{\triangle AEF} = \frac{1}{2} · AE · AD = \frac{1}{2} × 13 × 12 = 78$