1. 如图，在边长为 6 的等边三角形 $ ABC $ 中，$ AD $ 为 $ BC $ 边上的中线，$ E $ 为 $ AD $ 上一动点，点 $ F $ 在 $ AC $ 上，连接 $ CE $，$ EF $。若 $ AF = 2 $，则 $ CE + EF $ 的最小值为(
A.$ \sqrt{7} $
B.$ 2\sqrt{7} $
C.$ 2\sqrt{5} $
D.$ 2\sqrt{13} $
B
)A.$ \sqrt{7} $
B.$ 2\sqrt{7} $
C.$ 2\sqrt{5} $
D.$ 2\sqrt{13} $
答案：
1.B解析:如图，连接EB,BF,BF交AD于点E'，过点B作BH⊥AC于点H.由条件可知，AD垂直平分BC，
∴BE=EC,则EF十CE=EF+BE.当B,E,F三点共线,即点E在点E'处时，EF十CE=BF，此时EF十CE最小.在等边三角形ABC中，
BH⊥AC,
∴易得AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=3.又
∵AF=2,
∴FH=1,BH= $\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}$ =3$\sqrt{3}$.
∴BF= $\sqrt{BH^{2}+FH^{2}}$ =2$\sqrt{7}$.
1.B解析:如图，连接EB,BF,BF交AD于点E'，过点B作BH⊥AC于点H.由条件可知，AD垂直平分BC，
∴BE=EC,则EF十CE=EF+BE.当B,E,F三点共线,即点E在点E'处时，EF十CE=BF，此时EF十CE最小.在等边三角形ABC中，
BH⊥AC,
∴易得AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=3.又
∵AF=2,
∴FH=1,BH= $\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}$ =3$\sqrt{3}$.
∴BF= $\sqrt{BH^{2}+FH^{2}}$ =2$\sqrt{7}$.
2. (2024·成都)如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (3,0) $，$ (0,2) $，过点 $ B $ 作 $ y $ 轴的垂线 $ l $，$ P $ 为直线 $ l $ 上一动点，连接 $ PO $，$ PA $，则 $ PO + PA $ 的最小值为
5
。答案：
2.5 解析:如图，取点O关于直线l的对称点O'(0,4)，连接O'P,O'A.
∵点O'(0,4)与点O(0,0)关于直线l对称，
∴PO'=PO.
∴PO+PA=PO'+PA≥O'A,即PO+PA的最小值为O'A的长.
∵∠AOO'=90°,
∴在Rt△O'AO中，由勾股定理，得O'A= $\sqrt{OA^{2}+OO'^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ =5.
∴PO+PA 的最小值为5.
2.5 解析:如图，取点O关于直线l的对称点O'(0,4)，连接O'P,O'A.
∵点O'(0,4)与点O(0,0)关于直线l对称，
∴PO'=PO.
∴PO+PA=PO'+PA≥O'A,即PO+PA的最小值为O'A的长.
∵∠AOO'=90°,
∴在Rt△O'AO中，由勾股定理，得O'A= $\sqrt{OA^{2}+OO'^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ =5.
∴PO+PA 的最小值为5.
3. 如图，在 $ \mathrm{Rt}\triangle ACB $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AC = 3 $，$ BC = 4 $，$ \angle ABC $ 的平分线 $ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ D $，$ E $ 是线段 $ BD $ 上一点，$ F $ 是线段 $ BC $ 上一点。求 $ CE + EF $ 的最小值。
答案：
3.如图,在AB上取一点F',使BF'=BF，连接EF',CF',过点C作CH⊥AB于点H.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBF'=∠EBF.又
∵BE=BE,
∴△EBF'≌△EBF.
∴EF'=EF.
∴CE+EF=CE+EF'≥CF'≥CH.
∴CE+EF的最小值为CH的长.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴由勾股定理，得AB= $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ =5.
∵S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$AB·CH=$\frac{1}{2}$AC·BC,
∴CH=$\frac{AC·BC}{AB}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$.
∴CE+EF的最小值为$\frac{12}{5}$.
3.如图,在AB上取一点F',使BF'=BF，连接EF',CF',过点C作CH⊥AB于点H.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBF'=∠EBF.又
∵BE=BE,
∴△EBF'≌△EBF.
∴EF'=EF.
∴CE+EF=CE+EF'≥CF'≥CH.
∴CE+EF的最小值为CH的长.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴由勾股定理，得AB= $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ =5.
∵S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$AB·CH=$\frac{1}{2}$AC·BC,
∴CH=$\frac{AC·BC}{AB}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$.
∴CE+EF的最小值为$\frac{12}{5}$.
4. 小乐同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面(如图)，他根据学过的数学知识计算出从点 $ A $ 攀爬到点 $ B $ 的最短路径的长为(
A.16 米
B.$ 8\sqrt{2} $ 米
C.$ \sqrt{146} $ 米
D.$ \sqrt{178} $ 米
B
)A.16 米
B.$ 8\sqrt{2} $ 米
C.$ \sqrt{146} $ 米
D.$ \sqrt{178} $ 米
答案：4.B
解析：
将攀岩墙的两个侧面展开成平面，得到一个长方形，长为$5 + 3 = 8$米，宽为$8$米。从点$A$到点$B$的最短路径为该长方形的对角线，长度为$\sqrt{8^{2} + 8^{2}} = 8\sqrt{2}$米。
B
B
5. 如图所示为一个三级台阶，它的每一级台阶的长、宽、高分别为 $ 20 \mathrm{ dm} $，$ 3 \mathrm{ dm} $，$ 2 \mathrm{ dm} $，$ A $ 和 $ B $ 是这个三级台阶两个相对的端点，点 $ A $ 处有一只蚂蚁，想到点 $ B $ 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面(不包含侧面)爬到点 $ B $ 处的最短路径的长是(
A.$ 20\sqrt{3} \mathrm{ dm} $
B.$ 25\sqrt{2} \mathrm{ dm} $
C.$ 20 \mathrm{ dm} $
D.$ 25 \mathrm{ dm} $
D
)A.$ 20\sqrt{3} \mathrm{ dm} $
B.$ 25\sqrt{2} \mathrm{ dm} $
C.$ 20 \mathrm{ dm} $
D.$ 25 \mathrm{ dm} $
答案：5.D
解析：
将台阶表面展开，得到一个长方形。
长方形的长为台阶的长：$20\ \mathrm{dm}$。
长方形的宽为：$3×3 + 2×3 = 15\ \mathrm{dm}$。
蚂蚁爬行的最短路径为长方形的对角线，根据勾股定理：
$\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\ \mathrm{dm}$
D
长方形的长为台阶的长：$20\ \mathrm{dm}$。
长方形的宽为：$3×3 + 2×3 = 15\ \mathrm{dm}$。
蚂蚁爬行的最短路径为长方形的对角线，根据勾股定理：
$\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\ \mathrm{dm}$
D
6. 如图，一只蚂蚁沿着一个长方体的表面从点 $ A $ 出发，经过 3 个面爬到点 $ B $ 处。已知长方体的底面是边长为 2 的正方形，高为 8，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为
10
。答案：6. 10
7. 如图，一个圆桶的底面直径为 $ 16 \mathrm{ cm} $，高为 $ 18 \mathrm{ cm} $，一只小虫从点 $ A $ 处沿圆桶外侧面爬到与点 $ A $ 相对的点 $ B $ 处，则小虫所爬的最短路径的长是
]
30
$ \mathrm{cm} $($ \pi $ 取 3)。]
答案：7. 30
解析：
解：将圆柱侧面展开，得到一个长方形。底面圆的周长为$πd = 3×16 = 48\space cm$，则长方形的长为$48\space cm$，宽为圆柱的高$18\space cm$。点$A$与点$B$在展开图中为长方形一组对边中点的连线，此时最短路径为直角三角形的斜边，两直角边分别为长方形长的一半$\frac{48}{2}=24\space cm$和宽$18\space cm$。根据勾股定理，最短路径长为$\sqrt{24^{2}+18^{2}}=\sqrt{576 + 324}=\sqrt{900}=30\space cm$。
30
30