8. (2025·如皋期末)下列由线段$a$，$b$，$c$组成的三角形中，属于直角三角形的是(
A.$a = 40$，$b = 50$，$c = 60$
B.$a = 2$，$b = 3$，$c = 4$
C.$a = b = c = 2$
D.$a = b = 1$，$c = \sqrt{2}$
D
)A.$a = 40$，$b = 50$，$c = 60$
B.$a = 2$，$b = 3$，$c = 4$
C.$a = b = c = 2$
D.$a = b = 1$，$c = \sqrt{2}$
答案：8.D
解析：
A. $40^{2}+50^{2}=1600 + 2500=4100$，$60^{2}=3600$，$4100\neq3600$，不是直角三角形。
B. $2^{2}+3^{2}=4 + 9=13$，$4^{2}=16$，$13\neq16$，不是直角三角形。
C. $2^{2}+2^{2}=4 + 4=8$，$2^{2}=4$，$8\neq4$，不是直角三角形。
D. $1^{2}+1^{2}=1 + 1=2$，$(\sqrt{2})^{2}=2$，$2 = 2$，是直角三角形。
D
B. $2^{2}+3^{2}=4 + 9=13$，$4^{2}=16$，$13\neq16$，不是直角三角形。
C. $2^{2}+2^{2}=4 + 4=8$，$2^{2}=4$，$8\neq4$，不是直角三角形。
D. $1^{2}+1^{2}=1 + 1=2$，$(\sqrt{2})^{2}=2$，$2 = 2$，是直角三角形。
D
9. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的$\angle A$和$\angle BDC$都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知(
A.$\angle A$符合要求
B.$\angle BDC$符合要求
C.$\angle A$和$\angle BDC$都符合要求
D.$\angle A$和$\angle BDC$都不符合要求
D
)A.$\angle A$符合要求
B.$\angle BDC$符合要求
C.$\angle A$和$\angle BDC$都符合要求
D.$\angle A$和$\angle BDC$都不符合要求
答案：9.D
解析：
解：在$\triangle ABD$中，$AD=4$，$AB=4$，$BD=5$。
$AD^2 + AB^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$，$BD^2 = 5^2 = 25$。
因为$32 \neq 25$，所以$\angle A$不是直角，不符合要求。
在$\triangle BDC$中，$BD=5$，$DC=8$，$BC=12$。
$BD^2 + DC^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89$，$BC^2 = 12^2 = 144$。
因为$89 \neq 144$，所以$\angle BDC$不是直角，不符合要求。
综上，$\angle A$和$\angle BDC$都不符合要求。
答案：D
$AD^2 + AB^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$，$BD^2 = 5^2 = 25$。
因为$32 \neq 25$，所以$\angle A$不是直角，不符合要求。
在$\triangle BDC$中，$BD=5$，$DC=8$，$BC=12$。
$BD^2 + DC^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89$，$BC^2 = 12^2 = 144$。
因为$89 \neq 144$，所以$\angle BDC$不是直角，不符合要求。
综上，$\angle A$和$\angle BDC$都不符合要求。
答案：D
10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 4$，$BC = 2$，$DB = 1$，$CD = \sqrt{3}$，则$AC =$
2$\sqrt{3}$
。答案：10.2$\sqrt{3}$
解析：
在$\triangle CDB$中，$BC=2$，$DB=1$，$CD=\sqrt{3}$。
因为$DB^2 + CD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$，$BC^2 = 2^2 = 4$，所以$DB^2 + CD^2 = BC^2$，故$\triangle CDB$是直角三角形，且$\angle CDB = 90°$，则$\angle CDA = 180° - \angle CDB = 90°$。
因为$AB = 4$，$DB = 1$，所以$AD = AB - DB = 4 - 1 = 3$。
在$Rt\triangle CDA$中，$AD = 3$，$CD = \sqrt{3}$，由勾股定理得$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
$2\sqrt{3}$
因为$DB^2 + CD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$，$BC^2 = 2^2 = 4$，所以$DB^2 + CD^2 = BC^2$，故$\triangle CDB$是直角三角形，且$\angle CDB = 90°$，则$\angle CDA = 180° - \angle CDB = 90°$。
因为$AB = 4$，$DB = 1$，所以$AD = AB - DB = 4 - 1 = 3$。
在$Rt\triangle CDA$中，$AD = 3$，$CD = \sqrt{3}$，由勾股定理得$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
$2\sqrt{3}$
11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 10$，$BC = 16$，点$D$在边$BC$上，$BD = \frac{7}{2}$，连接$AD$。求证：$AD⊥ AC$。
答案：11.过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB = AC = 10，BC = 16，
∴BE = $\frac{1}{2}$BC = 8.
∵BD = $\frac{7}{2}$，
∴DE = BE - BD = $\frac{9}{2}$，DC = BC - BD = $\frac{25}{2}$.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE = $\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}$ = 6.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD² = AE² + DE² = $\frac{225}{4}$.
∵在△ADC中，DC² = $\frac{625}{4}$，AC² = 100，
∴易得AC² + AD² = DC².
∴△ADC为直角三角形，且∠DAC = 90°.
∴AD⊥AC
∵AB = AC = 10，BC = 16，
∴BE = $\frac{1}{2}$BC = 8.
∵BD = $\frac{7}{2}$，
∴DE = BE - BD = $\frac{9}{2}$，DC = BC - BD = $\frac{25}{2}$.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE = $\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}$ = 6.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD² = AE² + DE² = $\frac{225}{4}$.
∵在△ADC中，DC² = $\frac{625}{4}$，AC² = 100，
∴易得AC² + AD² = DC².
∴△ADC为直角三角形，且∠DAC = 90°.
∴AD⊥AC
12. 如图，$a$，$b$，$c$是$3×3$的正方形网格中的$3$条线段，它们的端点都在格点上，则$a$，$b$，$c$的大小关系是(
A.$b ＜ a ＜ c$
B.$a ＜ b ＜ c$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$b ＜ c ＜ a$
B
)A.$b ＜ a ＜ c$
B.$a ＜ b ＜ c$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$b ＜ c ＜ a$
答案：12.B
解析：
解：设每个小正方形的边长为1。
线段$a$的端点横向距离为1，纵向距离为2，由勾股定理得$a=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$；
线段$b$的端点横向距离为2，纵向距离为2，由勾股定理得$b=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
线段$c$的端点横向距离为3，纵向距离为1，由勾股定理得$c=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$。
因为$\sqrt{5}＜2\sqrt{2}＜\sqrt{10}$，所以$a＜b＜c$。
答案：B
线段$a$的端点横向距离为1，纵向距离为2，由勾股定理得$a=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$；
线段$b$的端点横向距离为2，纵向距离为2，由勾股定理得$b=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
线段$c$的端点横向距离为3，纵向距离为1，由勾股定理得$c=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$。
因为$\sqrt{5}＜2\sqrt{2}＜\sqrt{10}$，所以$a＜b＜c$。
答案：B