21. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”。
（1）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 2\sqrt{5}$，$BC = 4$，求证：$\triangle ABC$是“美丽三角形”。
（2）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4\sqrt{3}$。若$\triangle ABC$是“美丽三角形”，求$BC$的长。
（1）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 2\sqrt{5}$，$BC = 4$，求证：$\triangle ABC$是“美丽三角形”。
（2）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4\sqrt{3}$。若$\triangle ABC$是“美丽三角形”，求$BC$的长。
答案：
21.(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴∠ADB = 90°，BD = $\frac{1}{2}$BC = 2.
∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD = $\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$ = 4.
∴AD = BC，即△ABC是“美丽三角形” (2)分别作边AC，BC上的中线BD，AE.当边AC上的中线BD的长等于AC的长时，BD = AC = 4$\sqrt{3}$，CD = $\frac{1}{2}$AC = 2$\sqrt{3}$.
∴在Rt△BDC中，BC = $\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}$ = 6.当边BC上的中线AE的长等于BC的长时，AE = BC，CE = $\frac{1}{2}$BC.
∴在Rt△ACE中，AE² - CE² = AC²，即BC² - ($\frac{1}{2}$BC)² = (4$\sqrt{3}$)².
∴BC = 8.综上所述，BC的长是6或8
21.(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴∠ADB = 90°，BD = $\frac{1}{2}$BC = 2.
∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD = $\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$ = 4.
∴AD = BC，即△ABC是“美丽三角形” (2)分别作边AC，BC上的中线BD，AE.当边AC上的中线BD的长等于AC的长时，BD = AC = 4$\sqrt{3}$，CD = $\frac{1}{2}$AC = 2$\sqrt{3}$.
∴在Rt△BDC中，BC = $\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}$ = 6.当边BC上的中线AE的长等于BC的长时，AE = BC，CE = $\frac{1}{2}$BC.
∴在Rt△ACE中，AE² - CE² = AC²，即BC² - ($\frac{1}{2}$BC)² = (4$\sqrt{3}$)².
∴BC = 8.综上所述，BC的长是6或8
22. 如图，$AB⊥ BC$于点$B$，$AB⊥ AD$于点$A$，$AB = 12$，$AD = 5$，$BC = 10$。若$E$是$CD$的中点，求$AE$的长。
答案：22.延长AE交BC于点F.
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴∠ABC = ∠BAD = 90°.
∴AD//BC.
∴∠D = ∠C.
∵E是CD的中点，
∴DE = CE.又
∵∠AED = ∠FEC，
∴△EAD≌△EFC.
∴AE = FE = $\frac{1}{2}$AF，AD = FC = 5.
∴BF = BC - FC = 10 - 5 = 5.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF = $\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}$ = 13.
∴AE = $\frac{1}{2}$AF = $\frac{13}{2}$
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴∠ABC = ∠BAD = 90°.
∴AD//BC.
∴∠D = ∠C.
∵E是CD的中点，
∴DE = CE.又
∵∠AED = ∠FEC，
∴△EAD≌△EFC.
∴AE = FE = $\frac{1}{2}$AF，AD = FC = 5.
∴BF = BC - FC = 10 - 5 = 5.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF = $\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}$ = 13.
∴AE = $\frac{1}{2}$AF = $\frac{13}{2}$
23. （新情境·日常生活）某台风的风力影响半径为$250$km（即以台风中心为圆心、$250$km为半径的圆形区域都会受台风影响）。如图，线段$BC$是该台风的中心从$C$市移动到$B$市的大致路线，点$A$处是某个大型农场，且$AB⊥ AC$。已知点$A$，$C$之间相距$300$km，点$A$，$B$之间相距$400$km。
（1）判断在台风移动的过程中，农场$A$是否会受到台风的影响，并说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为$20$km/h，求台风影响该农场的时长。
（1）判断在台风移动的过程中，农场$A$是否会受到台风的影响，并说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为$20$km/h，求台风影响该农场的时长。
答案：
23.(1)农场A会受到台风的影响 理由:如图，过点A作AH⊥BC于点H.
∵AB⊥AC，
∴∠BAC = 90°.
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC = $\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{300^{2}+400^{2}}$ = 500(km).
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AH = $\frac{1}{2}$AB·AC，
∴AH = $\frac{AB·AC}{BC}=\frac{400×300}{500}$ = 240(km).
∵240＜250，
∴在台风移动的过程中，农场A会受到台风的影响. (2)如图，设台风中心移动到点M处开始影响该农场，到点N处结束影响该农场.连接AN，AM，则AM = AN = 250km.
∵AM = AN，AH⊥BC，
∴MH = NH.在Rt△AHM中，由勾股定理，得MH = $\sqrt{250^{2}-240^{2}}$ = 70(km)，
∴MN = 2×70 = 140(km).
∵台风中心的移动速度为20km/h，
∴台风影响该农场的时长为140÷20 = 7(h)
23.(1)农场A会受到台风的影响 理由:如图，过点A作AH⊥BC于点H.
∵AB⊥AC，
∴∠BAC = 90°.
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC = $\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{300^{2}+400^{2}}$ = 500(km).
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AH = $\frac{1}{2}$AB·AC，
∴AH = $\frac{AB·AC}{BC}=\frac{400×300}{500}$ = 240(km).
∵240＜250，
∴在台风移动的过程中，农场A会受到台风的影响. (2)如图，设台风中心移动到点M处开始影响该农场，到点N处结束影响该农场.连接AN，AM，则AM = AN = 250km.
∵AM = AN，AH⊥BC，
∴MH = NH.在Rt△AHM中，由勾股定理，得MH = $\sqrt{250^{2}-240^{2}}$ = 70(km)，
∴MN = 2×70 = 140(km).
∵台风中心的移动速度为20km/h，
∴台风影响该农场的时长为140÷20 = 7(h)