1. (教材变式)小明做了一个长方形框架,发现其容易变形,下列选项中,最好的一个加固方案是(
B
)答案：1. B
2. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle A = 140^{\circ}$,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle C=\angle D = x^{\circ}$,则 $x$ 的值是(
A.$60$
B.$65$
C.$75$
D.$130$
B
)A.$60$
B.$65$
C.$75$
D.$130$
答案：2. B
解析：
解：在四边形$ABCD$中，根据四边形内角和定理，内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$。
已知$\angle A = 140^{\circ}$，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle C = \angle D = x^{\circ}$，则：
$140 + 90 + x + x = 360$
$230 + 2x = 360$
$2x = 130$
$x = 65$
答案：B
已知$\angle A = 140^{\circ}$，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle C = \angle D = x^{\circ}$，则：
$140 + 90 + x + x = 360$
$230 + 2x = 360$
$2x = 130$
$x = 65$
答案：B
3. 在四边形 $ABCD$ 中,$\angle A-\angle C=\angle D-\angle B$,下列说法正确的是(
A.$AB// CD$
B.$AD// CB$
C.$AB// CD$ 且 $AD// CB$
D.$AB$,$CD$ 与 $BC$,$AD$ 都不平行
B
)A.$AB// CD$
B.$AD// CB$
C.$AB// CD$ 且 $AD// CB$
D.$AB$,$CD$ 与 $BC$,$AD$ 都不平行
答案：3. B
解析：
在四边形$ABCD$中，$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°$。
已知$\angle A - \angle C = \angle D - \angle B$，移项可得$\angle A + \angle B = \angle C + \angle D$。
设$\angle A + \angle B = \angle C + \angle D = x$，则$2x = 360°$，解得$x = 180°$，即$\angle A + \angle B = 180°$。
因为同旁内角互补，两直线平行，所以$AD// CB$。
B
已知$\angle A - \angle C = \angle D - \angle B$，移项可得$\angle A + \angle B = \angle C + \angle D$。
设$\angle A + \angle B = \angle C + \angle D = x$，则$2x = 360°$，解得$x = 180°$，即$\angle A + \angle B = 180°$。
因为同旁内角互补，两直线平行，所以$AD// CB$。
B
4. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle 1$,$\angle 2$,$\angle 3$ 分别是 $\angle BAD$,$\angle ABC$,$\angle BCD$ 的邻补角,则下列等式一定成立的是(
A.$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle ADC+180^{\circ}$
B.$\angle 1+\angle 2+\angle ADC=\angle 3+180^{\circ}$
C.$\angle 1+\angle 3+\angle ADC=\angle 2+180^{\circ}$
D.$\angle 2+\angle 3+\angle ADC=\angle 1+180^{\circ}$
A
)A.$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle ADC+180^{\circ}$
B.$\angle 1+\angle 2+\angle ADC=\angle 3+180^{\circ}$
C.$\angle 1+\angle 3+\angle ADC=\angle 2+180^{\circ}$
D.$\angle 2+\angle 3+\angle ADC=\angle 1+180^{\circ}$
答案：4. A
解析：
解：
$\because \angle 1$是$\angle BAD$的邻补角，$\therefore \angle 1=180° - \angle BAD$，
同理：$\angle 2=180° - \angle ABC$，$\angle 3=180° - \angle BCD$，
$\therefore \angle 1+\angle 2+\angle 3=3× 180° - (\angle BAD+\angle ABC+\angle BCD)$，
$\because$ 四边形内角和为$360°$，即$\angle BAD+\angle ABC+\angle BCD+\angle ADC=360°$，
$\therefore \angle BAD+\angle ABC+\angle BCD=360° - \angle ADC$，
$\therefore \angle 1+\angle 2+\angle 3=540° - (360° - \angle ADC)=\angle ADC + 180°$，
故等式$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle ADC + 180°$成立。
A
$\because \angle 1$是$\angle BAD$的邻补角，$\therefore \angle 1=180° - \angle BAD$，
同理：$\angle 2=180° - \angle ABC$，$\angle 3=180° - \angle BCD$，
$\therefore \angle 1+\angle 2+\angle 3=3× 180° - (\angle BAD+\angle ABC+\angle BCD)$，
$\because$ 四边形内角和为$360°$，即$\angle BAD+\angle ABC+\angle BCD+\angle ADC=360°$，
$\therefore \angle BAD+\angle ABC+\angle BCD=360° - \angle ADC$，
$\therefore \angle 1+\angle 2+\angle 3=540° - (360° - \angle ADC)=\angle ADC + 180°$，
故等式$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle ADC + 180°$成立。
A
5. (1) 图①中 $x$ 的值为
100
； (2) 图②中 $y$ 的值为65
.答案：5. (1) 100 (2) 65
解析：
(1) 解：由四边形内角和为 $360°$，得
$x + (x + 10) + 60 + 90 = 360$
$2x + 160 = 360$
$2x = 200$
$x = 100$
(2) 解：由四边形内角和为 $360°$，设第四个内角为 $z$，则
$73 + 82 + 90 + z = 360$
$z = 115$
又因 $y$ 与 $z$ 互补，得
$y = 180 - 115 = 65$
$x + (x + 10) + 60 + 90 = 360$
$2x + 160 = 360$
$2x = 200$
$x = 100$
(2) 解：由四边形内角和为 $360°$，设第四个内角为 $z$，则
$73 + 82 + 90 + z = 360$
$z = 115$
又因 $y$ 与 $z$ 互补，得
$y = 180 - 115 = 65$
6. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle A = 150^{\circ}$,$\angle C = 60^{\circ}$,$\angle ABC$ 与 $\angle ADC$ 的平分线交于点 $O$,求 $\angle BOD$ 的度数.
答案：6. 在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=150°.
∵BO,DO分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ADO=$\frac{1}{2}$∠ADC.
∴∠ABO+∠ADO=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ADC)=75°.
∴在四边形ABOD中，∠BOD=360°-∠A-(∠ABO+∠ADO)=135°
∵BO,DO分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ADO=$\frac{1}{2}$∠ADC.
∴∠ABO+∠ADO=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ADC)=75°.
∴在四边形ABOD中，∠BOD=360°-∠A-(∠ABO+∠ADO)=135°
7. 如图,$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F$ 的度数是(
A.$360^{\circ}$
B.$480^{\circ}$
C.$540^{\circ}$
D.$720^{\circ}$
A
)A.$360^{\circ}$
B.$480^{\circ}$
C.$540^{\circ}$
D.$720^{\circ}$
答案：
7. A 解析:如图，连接AD.
∵∠1=∠E+∠F,∠1=∠FAD+∠ADE,
∴∠E+∠F=∠FAD+∠ADE.
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠FAD+∠ADE=∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°.
7. A 解析:如图，连接AD.
∵∠1=∠E+∠F,∠1=∠FAD+∠ADE,
∴∠E+∠F=∠FAD+∠ADE.
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠FAD+∠ADE=∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°.
8. 如图,学校有一块四边形试验田,现分割成 $A$,$B$ 两块,则 $x - y=$
3°
.答案：8. 3°
9. 如图,若 $\angle 1 = 65^{\circ}$,$\angle 2 = 85^{\circ}$,$\angle 3 = 60^{\circ}$,$\angle 4 = 40^{\circ}$,则 $\angle 5=$
50°
.答案：
9. 50° 解析:如图，连接BC.
∵在△BCE中,∠3+∠EBC+∠ECB=180°,且∠3=60°,
∴∠EBC+∠ECB=120°.
∵在四边形ABCD中,∠1+∠2+∠4+∠EBC+∠ECB+∠5=360°,且∠1=65°,∠2=85°,∠4=40°,
∴65°+85°+40°+120°+∠5=360°.
∴∠5=50°.
9. 50° 解析:如图，连接BC.
∵在△BCE中,∠3+∠EBC+∠ECB=180°,且∠3=60°,
∴∠EBC+∠ECB=120°.
∵在四边形ABCD中,∠1+∠2+∠4+∠EBC+∠ECB+∠5=360°,且∠1=65°,∠2=85°,∠4=40°,
∴65°+85°+40°+120°+∠5=360°.
∴∠5=50°.