10. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle A=\angle C = 90^{\circ}$,$BE$,$DF$ 分别是 $\angle ABC$,$\angle ADC$ 的平分线.
(1) 若 $\angle 1 = 33^{\circ}$,求 $\angle 2$ 的度数；
(2) 判断 $BE$ 与 $DF$ 的位置关系,并说明理由.
(1) 若 $\angle 1 = 33^{\circ}$,求 $\angle 2$ 的度数；
(2) 判断 $BE$ 与 $DF$ 的位置关系,并说明理由.
答案：10. (1)
∵BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线,
∴∠1=∠ABE,∠2=∠ADF.
∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°.
∴2(∠1+∠2)=180°.
∴∠1+∠2=90°.
∵∠1=33°,
∴∠2=90°-∠1=57°
(2)BE//DF 理由:在△FCD中，
∵∠C=90°,
∴∠DFC+∠2=90°.由(1)知,∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠DFC.
∴BE//DF.
∵BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线,
∴∠1=∠ABE,∠2=∠ADF.
∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°.
∴2(∠1+∠2)=180°.
∴∠1+∠2=90°.
∵∠1=33°,
∴∠2=90°-∠1=57°
(2)BE//DF 理由:在△FCD中，
∵∠C=90°,
∴∠DFC+∠2=90°.由(1)知,∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠DFC.
∴BE//DF.
11. (新考法·新定义题)新定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫作“等对角四边形”.
(1) 如图①,若四边形 $ABCD$ 是“等对角四边形”,$\angle A\neq\angle C$,$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle D = 80^{\circ}$,则 $\angle C$ 的度数为
(2) 如图②,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle A = 40^{\circ}$,$D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 边上的点,$\angle ADE = 50^{\circ}$,试判断四边形 $DBCE$ 是否是“等对角四边形”,并说明理由.
(1) 如图①,若四边形 $ABCD$ 是“等对角四边形”,$\angle A\neq\angle C$,$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle D = 80^{\circ}$,则 $\angle C$ 的度数为
140°
；(2) 如图②,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle A = 40^{\circ}$,$D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 边上的点,$\angle ADE = 50^{\circ}$,试判断四边形 $DBCE$ 是否是“等对角四边形”,并说明理由.
答案：11. (1)140° (2)四边形DBCE是“等对角四边形” 理由:在△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=50°.
∵∠ADE=50°,
∴∠AED=90°,∠BDE=130°.
∴∠DEC=∠AED=90°.
∴∠DEC=∠B,且易知∠BDE≠∠C.
∴四边形DBCE是“等对角四边形”
∴∠C=180°-∠A-∠B=50°.
∵∠ADE=50°,
∴∠AED=90°,∠BDE=130°.
∴∠DEC=∠AED=90°.
∴∠DEC=∠B,且易知∠BDE≠∠C.
∴四边形DBCE是“等对角四边形”
12. 在四边形 $ABCD$ 中,$\angle D = 90^{\circ}$,$\angle ABC=\angle BCD$,点 $E$ 在直线 $BC$ 上,点 $F$ 在直线 $CD$ 上,且 $\angle AEB=\angle CEF$.
(1) 如图①,若 $AE$ 平分 $\angle BAD$,求证:$EF⊥ AE$；
(2) 如图②,若 $AE$ 平分 $\angle BAD$ 的邻补角,其余条件不变,试判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
(1) 如图①,若 $AE$ 平分 $\angle BAD$,求证:$EF⊥ AE$；
(2) 如图②,若 $AE$ 平分 $\angle BAD$ 的邻补角,其余条件不变,试判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
答案：
12. (1)
∵∠BAE=180°-∠B-∠AEB,∠EFC=180°-∠C-∠CEF,∠B=∠C,∠AEB=∠CEF,
∴∠BAE=∠EFC.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∴∠EFC=∠DAE.
∵∠EFC+∠EFD=180°,
∴∠DAE+∠EFD=180°.
∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD)=180°.
∵∠D=90°,
∴∠AEF=90°.
∴EF⊥AE (2)(1)中的结论仍然成立 理由:如图.
∵∠1=∠ABC-∠AEB,∠F=∠BCD-∠CEF,∠ABC=∠BCD,∠AEB=∠CEF,
∴∠1=∠F.
∵AE平分∠BAD的邻补角，
∴∠1=∠2.
∴∠F=∠2.
∵∠2+∠EAD=180°,
∴∠F+∠EAD=180°.
∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD)=180°.
∵∠D=90°,
∴∠AEF=90°.
∴EF⊥AE.
12. (1)
∵∠BAE=180°-∠B-∠AEB,∠EFC=180°-∠C-∠CEF,∠B=∠C,∠AEB=∠CEF,
∴∠BAE=∠EFC.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∴∠EFC=∠DAE.
∵∠EFC+∠EFD=180°,
∴∠DAE+∠EFD=180°.
∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD)=180°.
∵∠D=90°,
∴∠AEF=90°.
∴EF⊥AE (2)(1)中的结论仍然成立 理由:如图.
∵∠1=∠ABC-∠AEB,∠F=∠BCD-∠CEF,∠ABC=∠BCD,∠AEB=∠CEF,
∴∠1=∠F.
∵AE平分∠BAD的邻补角，
∴∠1=∠2.
∴∠F=∠2.
∵∠2+∠EAD=180°,
∴∠F+∠EAD=180°.
∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD)=180°.
∵∠D=90°,
∴∠AEF=90°.
∴EF⊥AE.