要使式子$\sqrt{1 - x}$在实数范围内有意义，则被开方数必须是非负数，即：
$1 - x \geq 0$
解得：
$x \leq 1$
在数轴上表示为从$1$（包括$1$）向左的部分，对应选项C。
C

二次根式的被开方数必须是非负数，所以$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$是二次根式需满足$\dfrac{a}{b} \geqslant 0$。
D

解：要使$\sqrt{13 - x} + \sqrt{x - 10}$在实数范围内有意义，则$\begin{cases}13 - x \geq 0 \\ x - 10 \geq 0\end{cases}$，解得$10 \leq x \leq 13$。
$x$的算术平方根为$\sqrt{x}$，因为$\sqrt{9} = 3$，$\sqrt{16} = 4$，且$10 \leq x \leq 13$，所以$3 ＜ \sqrt{x} ＜ 4$。
由数轴可知，点$D$在$3$和$4$之间，故对应点可能是$D$。
D

设长方形的长为$7x\ \mathrm{cm}$，宽为$4x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式，得$7x × 4x = 56$，即$28x^2 = 56$，$x^2 = 2$，解得$x = \sqrt{2}$（$x = -\sqrt{2}$舍去）。
所以长为$7x = 7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，宽为$4x = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
$7\sqrt{2}$；$4\sqrt{2}$

（1）要使$\sqrt{x - 3}$有意义，则$x - 3 \geq 0$，解得$x \geq 3$。
（2）要使$\sqrt{3x + 2}$有意义，则$3x + 2 \geq 0$，$3x \geq -2$，解得$x \geq -\dfrac{2}{3}$。
（3）要使$\dfrac{1}{\sqrt{x + 1}}$有意义，则$\sqrt{x + 1} \neq 0$且$x + 1 \geq 0$，即$x + 1 ＞ 0$，解得$x ＞ -1$。
（4）要使$\sqrt{\dfrac{x}{4} - 1}$有意义，则$\dfrac{x}{4} - 1 \geq 0$，$\dfrac{x}{4} \geq 1$，解得$x \geq 4$。
（5）要使$\sqrt{\dfrac{-1}{x - 5}}$有意义，则$\dfrac{-1}{x - 5} \geq 0$，因为分子$-1 ＜ 0$，所以分母$x - 5 ＜ 0$，解得$x ＜ 5$。
（6）要使$\dfrac{\sqrt{2x + 5}}{x}$有意义，则$\sqrt{2x + 5}$有意义且$x \neq 0$，即$2x + 5 \geq 0$且$x \neq 0$，$2x \geq -5$，解得$x \geq -\dfrac{5}{2}$且$x \neq 0$。