7. 当$x \geqslant 3$时，式子$\sqrt{3x - m}$一定有意义，则实数$m$的取值范围是(
A.$m = 9$
B.$m \leqslant 3$
C.$m \leqslant 9$
D.$m \geqslant 9$
C
)A.$m = 9$
B.$m \leqslant 3$
C.$m \leqslant 9$
D.$m \geqslant 9$
答案：7.C
解析：
要使式子$\sqrt{3x - m}$有意义，则被开方数必须非负，即$3x - m \geq 0$，解得$m \leq 3x$。
因为当$x \geq 3$时，式子一定有意义，所以$m$要小于等于$3x$在$x \geq 3$时的最小值。
当$x = 3$时，$3x = 3×3 = 9$，且$x$增大时，$3x$也增大，所以$3x$在$x \geq 3$时的最小值为$9$，因此$m \leq 9$。
C
因为当$x \geq 3$时，式子一定有意义，所以$m$要小于等于$3x$在$x \geq 3$时的最小值。
当$x = 3$时，$3x = 3×3 = 9$，且$x$增大时，$3x$也增大，所以$3x$在$x \geq 3$时的最小值为$9$，因此$m \leq 9$。
C
8. 若$\sqrt{3x - 1} + \sqrt{1 - 3x} + 2$在实数范围内有意义，则$x$满足的条件是(
A.$x \geqslant \dfrac{1}{3}$
B.$x \leqslant \dfrac{1}{3}$
C.$x = \dfrac{1}{3}$
D.$x \neq \dfrac{1}{3}$
C
)A.$x \geqslant \dfrac{1}{3}$
B.$x \leqslant \dfrac{1}{3}$
C.$x = \dfrac{1}{3}$
D.$x \neq \dfrac{1}{3}$
答案：8.C
解析：
要使$\sqrt{3x - 1} + \sqrt{1 - 3x} + 2$在实数范围内有意义，则根号下的数须非负，即：
$\begin{cases}3x - 1 \geq 0 \\1 - 3x \geq 0\end{cases}$
解$3x - 1 \geq 0$得$x \geq \dfrac{1}{3}$；解$1 - 3x \geq 0$得$x \leq \dfrac{1}{3}$。所以$x = \dfrac{1}{3}$。
C
$\begin{cases}3x - 1 \geq 0 \\1 - 3x \geq 0\end{cases}$
解$3x - 1 \geq 0$得$x \geq \dfrac{1}{3}$；解$1 - 3x \geq 0$得$x \leq \dfrac{1}{3}$。所以$x = \dfrac{1}{3}$。
C
9. 使式子$\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} + \sqrt{4 - 3x}$有意义的所有整数$x$的和是(
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
A
)A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
答案：9.A
解析：
要使式子$\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} + \sqrt{4 - 3x}$有意义，需满足：
1. 分母$\sqrt{x + 3} \neq 0$且被开方数$x + 3 ＞ 0$，即$x ＞ -3$；
2. 被开方数$4 - 3x \geq 0$，即$x \leq \dfrac{4}{3}$。
综上，$-3 ＜ x \leq \dfrac{4}{3}$，整数$x$为$-2, -1, 0, 1$。
所有整数$x$的和为：$-2 + (-1) + 0 + 1 = -2$。
A
1. 分母$\sqrt{x + 3} \neq 0$且被开方数$x + 3 ＞ 0$，即$x ＞ -3$；
2. 被开方数$4 - 3x \geq 0$，即$x \leq \dfrac{4}{3}$。
综上，$-3 ＜ x \leq \dfrac{4}{3}$，整数$x$为$-2, -1, 0, 1$。
所有整数$x$的和为：$-2 + (-1) + 0 + 1 = -2$。
A
10. 已知式子$\sqrt{-(x + 1)^2}$有意义，则$x$的值为
$-1$
。答案：10.-1
解析：
要使式子$\sqrt{-(x + 1)^2}$有意义，则被开方数必须非负，即$-(x + 1)^2 \geq 0$。
因为任何数的平方都为非负数，所以$(x + 1)^2 \geq 0$，那么$-(x + 1)^2 \leq 0$。
要同时满足$-(x + 1)^2 \geq 0$和$-(x + 1)^2 \leq 0$，只有$-(x + 1)^2 = 0$，即$(x + 1)^2 = 0$，解得$x = -1$。
$-1$
因为任何数的平方都为非负数，所以$(x + 1)^2 \geq 0$，那么$-(x + 1)^2 \leq 0$。
要同时满足$-(x + 1)^2 \geq 0$和$-(x + 1)^2 \leq 0$，只有$-(x + 1)^2 = 0$，即$(x + 1)^2 = 0$，解得$x = -1$。
$-1$
11. 使式子$\sqrt{2a - 5}$有意义的最小整数$a$的值为
$3$
。答案：11.3
解析：
要使式子$\sqrt{2a - 5}$有意义，则被开方数必须是非负数，即：
$2a - 5 \geq 0$
解不等式可得：
$2a \geq 5$
$a \geq \frac{5}{2}$
$\frac{5}{2} = 2.5$，所以满足$a \geq 2.5$的最小整数$a$为$3$。
$3$
$2a - 5 \geq 0$
解不等式可得：
$2a \geq 5$
$a \geq \frac{5}{2}$
$\frac{5}{2} = 2.5$，所以满足$a \geq 2.5$的最小整数$a$为$3$。
$3$
12. (教材变式)已知一个直角三角形的面积为$12S$，两条直角边的长之比为$3:4$，则这个直角三角形的两条直角边的长分别为
$3\sqrt{2}S$
，$4\sqrt{2}S$
(用含$S$的式子表示)。答案：$12.3\sqrt{2}S 4\sqrt{2}S$
解析：
设两条直角边的长分别为$3k$，$4k$（$k＞0$）。
根据直角三角形面积公式，$\frac{1}{2}×3k×4k = 12S$，
即$6k^2 = 12S$，
$k^2 = 2S$，
$k = \sqrt{2S}$（$k＞0$）。
所以两条直角边的长分别为$3k = 3\sqrt{2S}$，$4k = 4\sqrt{2S}$。
$3\sqrt{2S}$，$4\sqrt{2S}$
根据直角三角形面积公式，$\frac{1}{2}×3k×4k = 12S$，
即$6k^2 = 12S$，
$k^2 = 2S$，
$k = \sqrt{2S}$（$k＞0$）。
所以两条直角边的长分别为$3k = 3\sqrt{2S}$，$4k = 4\sqrt{2S}$。
$3\sqrt{2S}$，$4\sqrt{2S}$
13. 求$\sqrt{30 - a} - \sqrt{20 - \dfrac{4}{5}a} + \sqrt{\dfrac{1}{5}a + 120} + \sqrt{-(5 - a)^2}$的值。
答案：13.由题意，得$\begin{cases}30 - a\geq0,\\20 - \frac{4}{5}a\geq0,\frac{1}{5}a + 120\geq0,\\-(5 - a)^2\geq0,\end{cases}$
解得$a = 5.\therefore$原式$=\sqrt{30 - 5}-\sqrt{20 - 4}+\sqrt{1 + 120}+\sqrt{0}=5 - 4 + 11 + 0 = 12$
解得$a = 5.\therefore$原式$=\sqrt{30 - 5}-\sqrt{20 - 4}+\sqrt{1 + 120}+\sqrt{0}=5 - 4 + 11 + 0 = 12$
14. 已知$y = \dfrac{\sqrt{x^2 - 9} + \sqrt{9 - x^2} - 4}{x - 3}$，其中$x$，$y$为实数，求$\sqrt{15y - 2x}$的值。
答案：14.由题意，得$\begin{cases}x^2 - 9\geq0,\\9 - x^2\geq0,\\x - 3\neq0,\end{cases}$解得$x = - 3.\therefore y=\frac{2}{3}.$
$\therefore\sqrt{15y - 2x}=\sqrt{15×\frac{2}{3}-2×(-3)}=4$
$\therefore\sqrt{15y - 2x}=\sqrt{15×\frac{2}{3}-2×(-3)}=4$
15. 请判断是否存在整数$a$，使它同时满足下列条件：① 式子$\sqrt{a - 13}$和$\sqrt{20 - a}$在实数范围内均有意义；② $\sqrt{a}$的值仍为整数；③ 若$b = \sqrt{a}$，则$\sqrt{b}$也是整数。若存在，请求出$a$的值；若不存在，请说明理由。
答案：15.存在 由条件①，可得$\begin{cases}a - 13\geq0,\\20 - a\geq0,\end{cases}$解得$13\leq a\leq20.\therefore$整数a的取值可能为13,14,15,16,17,18,19,20.其中，符合条件②的整数a只有16，且a = 16同时符合条件$③.\therefore a$的值为16
解析：
存在。
由条件①，可得$\begin{cases}a - 13\geq0\\20 - a\geq0\end{cases}$，解得$13\leq a\leq20$。
整数$a$的取值可能为13,14,15,16,17,18,19,20。
由条件②，$\sqrt{a}$为整数，符合条件的$a$为16。
由条件③，$b = \sqrt{a} = \sqrt{16} = 4$，$\sqrt{b} = \sqrt{4} = 2$，是整数。
$\therefore a$的值为16。
由条件①，可得$\begin{cases}a - 13\geq0\\20 - a\geq0\end{cases}$，解得$13\leq a\leq20$。
整数$a$的取值可能为13,14,15,16,17,18,19,20。
由条件②，$\sqrt{a}$为整数，符合条件的$a$为16。
由条件③，$b = \sqrt{a} = \sqrt{16} = 4$，$\sqrt{b} = \sqrt{4} = 2$，是整数。
$\therefore a$的值为16。