1. (2024·海门一模改编)用一个$x$的值说明$\sqrt{x^{2}} = x$是错误的，则$x$的值可以是(
A.$2$
B.$0$
C.$-1$
D.$1$
C
)A.$2$
B.$0$
C.$-1$
D.$1$
答案：1.C
解析：
当$x = -1$时，$\sqrt{x^2} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1$，而$x = -1$，此时$\sqrt{x^2} \neq x$，所以$x$的值可以是$-1$。
C
C
2. 若$\sqrt{(\dfrac{1}{2}-a)^{2}} = a - \dfrac{1}{2}$，则$a$的取值范围是(
A.$a \geqslant \dfrac{1}{2}$
B.$0 \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{2}$
C.$a \leqslant \dfrac{1}{2}$
D.一切实数
A
)A.$a \geqslant \dfrac{1}{2}$
B.$0 \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{2}$
C.$a \leqslant \dfrac{1}{2}$
D.一切实数
答案：2.A
解析：
因为$\sqrt{(\dfrac{1}{2}-a)^{2}} = |\dfrac{1}{2} - a|$，已知$\sqrt{(\dfrac{1}{2}-a)^{2}} = a - \dfrac{1}{2}$，所以$|\dfrac{1}{2} - a| = a - \dfrac{1}{2}$。绝对值的性质为$|x| = x$时$x \geq 0$，因此$\dfrac{1}{2} - a \leq 0$，解得$a \geq \dfrac{1}{2}$。A
3. 若$\sqrt{a + 1} + b^{2} + 4b + 4 = 0$，则$ab$的值为(
A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
D
)A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案：3.D
解析：
$\sqrt{a + 1} + b^{2} + 4b + 4 = 0$可变形为$\sqrt{a + 1} + (b + 2)^{2} = 0$。
因为$\sqrt{a + 1} \geq 0$，$(b + 2)^{2} \geq 0$，所以$\sqrt{a + 1} = 0$，$(b + 2)^{2} = 0$。
解得$a + 1 = 0$，$b + 2 = 0$，即$a = -1$，$b = -2$。
则$ab = (-1)×(-2) = 2$。
D
因为$\sqrt{a + 1} \geq 0$，$(b + 2)^{2} \geq 0$，所以$\sqrt{a + 1} = 0$，$(b + 2)^{2} = 0$。
解得$a + 1 = 0$，$b + 2 = 0$，即$a = -1$，$b = -2$。
则$ab = (-1)×(-2) = 2$。
D
4. (教材变式)化简：
(1) $\sqrt{(-6)^{2}} =$
(2) $\sqrt{81} =$
(1) $\sqrt{(-6)^{2}} =$
6
；(2) $\sqrt{81} =$
9
.答案：4.(1)6 (2)9
解析：
(1) $\sqrt{(-6)^{2}}=\sqrt{36}=6$；
(2) $\sqrt{81}=9$.
(2) $\sqrt{81}=9$.
5. (教材变式)利用$a = (\sqrt{a})^{2}(a \geqslant 0)$可以把一个非负数写成一个非负数的平方的形式，则$\dfrac{1}{5} =$
$(\sqrt{\frac{1}{5}})^2$
.答案：5.$(\sqrt{\frac{1}{5}})^2$
6. 化简：$\sqrt{(x + 2)^{2}} + (\sqrt{x - 2})^{2} =$
$2x$
.答案：6.$2x$
解析：
要使$(\sqrt{x - 2})^{2}$有意义，则$x - 2 \geq 0$，即$x \geq 2$。
此时$x + 2 \geq 4 ＞ 0$，所以$\sqrt{(x + 2)^{2}} = x + 2$。
$(\sqrt{x - 2})^{2} = x - 2$。
则$\sqrt{(x + 2)^{2}} + (\sqrt{x - 2})^{2} = (x + 2) + (x - 2) = 2x$。
$2x$
此时$x + 2 \geq 4 ＞ 0$，所以$\sqrt{(x + 2)^{2}} = x + 2$。
$(\sqrt{x - 2})^{2} = x - 2$。
则$\sqrt{(x + 2)^{2}} + (\sqrt{x - 2})^{2} = (x + 2) + (x - 2) = 2x$。
$2x$
7. (教材变式)计算：
(1) $(\sqrt{\dfrac{3}{11}})^{2}$；
(2) $(\dfrac{\sqrt{6}}{4})^{2}$；
(3) $(-2\sqrt{5})^{2}$；
(4) $(-3\sqrt{\dfrac{2}{3}})^{2}$.
(1) $(\sqrt{\dfrac{3}{11}})^{2}$；
(2) $(\dfrac{\sqrt{6}}{4})^{2}$；
(3) $(-2\sqrt{5})^{2}$；
(4) $(-3\sqrt{\dfrac{2}{3}})^{2}$.
答案：7.(1)$\frac{3}{11}$ (2)$\frac{3}{8}$ (3)$20$ (4)$6$
解析：
(1)$(\sqrt{\dfrac{3}{11}})^{2}=\dfrac{3}{11}$；
(2)$(\dfrac{\sqrt{6}}{4})^{2}=\dfrac{(\sqrt{6})^{2}}{4^{2}}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$；
(3)$(-2\sqrt{5})^{2}=(-2)^{2}×(\sqrt{5})^{2}=4×5=20$；
(4)$(-3\sqrt{\dfrac{2}{3}})^{2}=(-3)^{2}×(\sqrt{\dfrac{2}{3}})^{2}=9×\dfrac{2}{3}=6$。
(2)$(\dfrac{\sqrt{6}}{4})^{2}=\dfrac{(\sqrt{6})^{2}}{4^{2}}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$；
(3)$(-2\sqrt{5})^{2}=(-2)^{2}×(\sqrt{5})^{2}=4×5=20$；
(4)$(-3\sqrt{\dfrac{2}{3}})^{2}=(-3)^{2}×(\sqrt{\dfrac{2}{3}})^{2}=9×\dfrac{2}{3}=6$。
8. 计算：
(1) $\sqrt{0.8^{2}}$；
(2) $\sqrt{(-\dfrac{5}{4})^{2}}$；
(3) $\sqrt{(-19)^{2}} - (-\sqrt{19})^{2}$；
(4) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}}$.
(1) $\sqrt{0.8^{2}}$；
(2) $\sqrt{(-\dfrac{5}{4})^{2}}$；
(3) $\sqrt{(-19)^{2}} - (-\sqrt{19})^{2}$；
(4) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}}$.
答案：8.(1)$0.8$ (2)$\frac{5}{4}$ (3)$0$ (4)$\sqrt{5}-2$
解析：
(1) $\sqrt{0.8^{2}} = 0.8$
(2) $\sqrt{(-\dfrac{5}{4})^{2}} = \sqrt{(\dfrac{5}{4})^{2}} = \dfrac{5}{4}$
(3) $\sqrt{(-19)^{2}} - (-\sqrt{19})^{2} = 19 - (\sqrt{19})^{2} = 19 - 19 = 0$
(4) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$
(2) $\sqrt{(-\dfrac{5}{4})^{2}} = \sqrt{(\dfrac{5}{4})^{2}} = \dfrac{5}{4}$
(3) $\sqrt{(-19)^{2}} - (-\sqrt{19})^{2} = 19 - (\sqrt{19})^{2} = 19 - 19 = 0$
(4) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$
9. 下列各式一定成立的是(
A.$\sqrt{(a + b)^{2}} = a + b$
B.$\sqrt{(a^{2} + 1)^{2}} = a^{2} + 1$
C.$\sqrt{a^{2} - 1} = a - 1$
D.$\sqrt{(ab)^{2}} = ab$
B
)A.$\sqrt{(a + b)^{2}} = a + b$
B.$\sqrt{(a^{2} + 1)^{2}} = a^{2} + 1$
C.$\sqrt{a^{2} - 1} = a - 1$
D.$\sqrt{(ab)^{2}} = ab$
答案：9.B
解析：
对于选项A：$\sqrt{(a + b)^{2}} = |a + b|$，当$a + b ＜ 0$时，$\sqrt{(a + b)^{2}} = - (a + b) \neq a + b$，所以A不一定成立。
对于选项B：因为$a^{2} \geq 0$，所以$a^{2} + 1 \geq 1 ＞ 0$，则$\sqrt{(a^{2} + 1)^{2}} = a^{2} + 1$，所以B一定成立。
对于选项C：$\sqrt{a^{2} - 1}$与$a - 1$不一定相等，例如当$a = 0$时，$\sqrt{0^{2} - 1}$无意义，所以C不一定成立。
对于选项D：$\sqrt{(ab)^{2}} = |ab|$，当$ab ＜ 0$时，$\sqrt{(ab)^{2}} = - ab \neq ab$，所以D不一定成立。
B
对于选项B：因为$a^{2} \geq 0$，所以$a^{2} + 1 \geq 1 ＞ 0$，则$\sqrt{(a^{2} + 1)^{2}} = a^{2} + 1$，所以B一定成立。
对于选项C：$\sqrt{a^{2} - 1}$与$a - 1$不一定相等，例如当$a = 0$时，$\sqrt{0^{2} - 1}$无意义，所以C不一定成立。
对于选项D：$\sqrt{(ab)^{2}} = |ab|$，当$ab ＜ 0$时，$\sqrt{(ab)^{2}} = - ab \neq ab$，所以D不一定成立。
B
10. (2024·乐山)已知$1 ＜ x ＜ 2$，则化简$\sqrt{(x - 1)^{2}} + |x - 2|$的结果为(
A.$-1$
B.$1$
C.$2x - 3$
D.$3 - 2x$
B
)A.$-1$
B.$1$
C.$2x - 3$
D.$3 - 2x$
答案：10.B
解析：
因为$1 ＜ x ＜ 2$，所以$x - 1 ＞ 0$，$x - 2 ＜ 0$。
$\sqrt{(x - 1)^{2}} = |x - 1| = x - 1$，$|x - 2| = 2 - x$。
则$\sqrt{(x - 1)^{2}} + |x - 2| = (x - 1) + (2 - x) = 1$。
B
$\sqrt{(x - 1)^{2}} = |x - 1| = x - 1$，$|x - 2| = 2 - x$。
则$\sqrt{(x - 1)^{2}} + |x - 2| = (x - 1) + (2 - x) = 1$。
B