11. 已知$2$，$5$，$m$是某三角形的三边长，则化简$\sqrt{(m - 3)^{2}} + \sqrt{(m - 7)^{2}}$的结果为(
A.$2m - 10$
B.$10 - 2m$
C.$10$
D.$4$
D
)A.$2m - 10$
B.$10 - 2m$
C.$10$
D.$4$
答案：11.D
解析：
由三角形三边关系得：$5 - 2 ＜ m ＜ 5 + 2$，即$3 ＜ m ＜ 7$。
$\sqrt{(m - 3)^{2}} + \sqrt{(m - 7)^{2}} = |m - 3| + |m - 7|$
因为$3 ＜ m ＜ 7$，所以$m - 3 ＞ 0$，$m - 7 ＜ 0$，则$|m - 3| = m - 3$，$|m - 7| = 7 - m$。
$|m - 3| + |m - 7| = (m - 3) + (7 - m) = 4$
D
$\sqrt{(m - 3)^{2}} + \sqrt{(m - 7)^{2}} = |m - 3| + |m - 7|$
因为$3 ＜ m ＜ 7$，所以$m - 3 ＞ 0$，$m - 7 ＜ 0$，则$|m - 3| = m - 3$，$|m - 7| = 7 - m$。
$|m - 3| + |m - 7| = (m - 3) + (7 - m) = 4$
D
12. 计算：
(1) $\sqrt{10^{-6}} =$
(2) $\sqrt{(5^{-1})^{2}} =$
(3) $(\dfrac{3}{5}\sqrt{\dfrac{5}{3}})^{2} =$
(1) $\sqrt{10^{-6}} =$
$\frac{1}{1000}$
；(2) $\sqrt{(5^{-1})^{2}} =$
$\frac{1}{5}$
；(3) $(\dfrac{3}{5}\sqrt{\dfrac{5}{3}})^{2} =$
$\frac{3}{5}$
.答案：12.(1)$\frac{1}{1000}$ (2)$\frac{1}{5}$ (3)$\frac{3}{5}$
解析：
(1) $\sqrt{10^{-6}}=\sqrt{(10^{-3})^{2}}=10^{-3}=\frac{1}{1000}$；
(2) $\sqrt{(5^{-1})^{2}}=5^{-1}=\frac{1}{5}$；
(3) $(\dfrac{3}{5}\sqrt{\dfrac{5}{3}})^{2}=(\dfrac{3}{5})^{2}×(\sqrt{\dfrac{5}{3}})^{2}=\dfrac{9}{25}×\dfrac{5}{3}=\dfrac{3}{5}$。
(2) $\sqrt{(5^{-1})^{2}}=5^{-1}=\frac{1}{5}$；
(3) $(\dfrac{3}{5}\sqrt{\dfrac{5}{3}})^{2}=(\dfrac{3}{5})^{2}×(\sqrt{\dfrac{5}{3}})^{2}=\dfrac{9}{25}×\dfrac{5}{3}=\dfrac{3}{5}$。
13. (教材变式)若$Rt\triangle ABC$的面积为$6$，较长直角边的长是较短直角边的长的$6$倍，则较长直角边的长为
$6\sqrt{2}$
.答案：13.$6\sqrt{2}$
解析：
设较短直角边的长为$x$，则较长直角边的长为$6x$。
因为$Rt\triangle ABC$的面积为$6$，根据直角三角形面积公式可得：$\frac{1}{2} × x × 6x = 6$，
化简得：$3x^2 = 6$，
即$x^2 = 2$，解得$x = \sqrt{2}$（$x = -\sqrt{2}$舍去），
所以较长直角边的长为$6x = 6\sqrt{2}$。
$6\sqrt{2}$
因为$Rt\triangle ABC$的面积为$6$，根据直角三角形面积公式可得：$\frac{1}{2} × x × 6x = 6$，
化简得：$3x^2 = 6$，
即$x^2 = 2$，解得$x = \sqrt{2}$（$x = -\sqrt{2}$舍去），
所以较长直角边的长为$6x = 6\sqrt{2}$。
$6\sqrt{2}$
14. (教材变式)已知$\sqrt{27n}$是整数，则满足条件的正整数$n$的最小值为
3
.答案：14.3
解析：
$\sqrt{27n} = \sqrt{9 × 3n} = 3\sqrt{3n}$，要使$\sqrt{27n}$是整数，则$\sqrt{3n}$必须是整数，即$3n$是完全平方数。因为$3n$的质因数分解中，3的指数为1，所以$n$至少含有一个质因数3，才能使$3n$的所有质因数指数均为偶数，故满足条件的正整数$n$的最小值为3。
15. (数形结合思想)若实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，则化简$\sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{(b + 1)^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}}$的结果是
]
0
.]
答案：15.0
解析：
解：由数轴可知，$a=-2$，$b=1$。
$\sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{(b + 1)^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}}$
$=\vert a + 1\vert+\vert b + 1\vert-\vert a - b\vert$
$=\vert-2 + 1\vert+\vert1 + 1\vert-\vert-2 - 1\vert$
$=1 + 2 - 3$
$=0$
$\sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{(b + 1)^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}}$
$=\vert a + 1\vert+\vert b + 1\vert-\vert a - b\vert$
$=\vert-2 + 1\vert+\vert1 + 1\vert-\vert-2 - 1\vert$
$=1 + 2 - 3$
$=0$
16. 在实数范围内分解因式：
(1) $x^{2} - 10$；
(2) $x^{2} - 2\sqrt{6}x + 6$；
(3) $x^{4} - 4$.
(1) $x^{2} - 10$；
(2) $x^{2} - 2\sqrt{6}x + 6$；
(3) $x^{4} - 4$.
答案：16.(1)$(x+\sqrt{10})(x-\sqrt{10})$ (2)$(x-\sqrt{6})^2$ (3)$(x^2+2)·(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
17. (教材变式)已知$m = \sqrt{2025} - 5$，求代数式$m^{2} + 10m - 1$的值.
答案：17.$\because m=\sqrt{2025}-5$,$\therefore m + 5=\sqrt{2025}$.$\therefore m^2 + 10m - 1=(m + 5)^2 - 26 = (\sqrt{2025})^2 - 26 = 1999$
18. 已知$\sqrt{3x + y - z - 8} + \sqrt{x + y - z} = \sqrt{x + y - 2026} + \sqrt{2026 - x - y}$，求$(z - y)^{2}$的值.
答案：18.由题意，得$\begin{cases}x + y - 2026\geq0,\\2026 - x - y\geq0,\end{cases}$
$\therefore x + y = 2026$.
$\therefore\sqrt{3x + y - z - 8}+\sqrt{x + y - z}=0$.又$\because\sqrt{3x + y - z - 8}\geq0$,
$\begin{cases}3x + y - z - 8 = 0,\\x + y - z = 0,\\x + y = 2026,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 4,\\y = 2022,\\z = 2026.\end{cases}$
$\therefore(z - y)^2=(2026 - 2022)^2 = 16$
$\therefore x + y = 2026$.
$\therefore\sqrt{3x + y - z - 8}+\sqrt{x + y - z}=0$.又$\because\sqrt{3x + y - z - 8}\geq0$,
$\begin{cases}3x + y - z - 8 = 0,\\x + y - z = 0,\\x + y = 2026,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 4,\\y = 2022,\\z = 2026.\end{cases}$
$\therefore(z - y)^2=(2026 - 2022)^2 = 16$