1. (2025·启东一模)计算$\sqrt{12}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的结果是(
A.2
B.3
C.4
D.6
A
)A.2
B.3
C.4
D.6
答案：1.A
解析：
$\sqrt{12} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \sqrt{12 × \dfrac{1}{3}} = \sqrt{4} = 2$，A
2. 下列计算过程正确的是(
A.$\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$
B.$\sqrt{9×16} = 3×4$
C.$\sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{\sqrt{9}}{4}$
D.$\sqrt{90} = 30$
B
)A.$\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$
B.$\sqrt{9×16} = 3×4$
C.$\sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{\sqrt{9}}{4}$
D.$\sqrt{90} = 30$
答案：2.B
3. 若$\sqrt{48}·\sqrt{2a}$的值是一个整数，则正整数$a$的最小值是(
A.1
B.2
C.3
D.6
D
)A.1
B.2
C.3
D.6
答案：3.D
解析：
$\sqrt{48}·\sqrt{2a} = \sqrt{48×2a} = \sqrt{96a} = 4\sqrt{6a}$，要使结果为整数，则$\sqrt{6a}$为整数，$6a$需为完全平方数，正整数$a$的最小值为6。
D
D
4. (教材变式)计算或化简：
(1)$\sqrt{5}×\sqrt{7} =$；
(2)$\sqrt{108}×\sqrt{\dfrac{1}{12}} =$；
(3)$\sqrt{36×144} =$；
(4)$\sqrt{9a^{3}} =$_________$(a\geqslant0)$.
(1)$\sqrt{5}×\sqrt{7} =$；
(2)$\sqrt{108}×\sqrt{\dfrac{1}{12}} =$；
(3)$\sqrt{36×144} =$；
(4)$\sqrt{9a^{3}} =$_________$(a\geqslant0)$.
答案：4.(1)$\sqrt{35}$ (2)3 (3)72 (4)$3a\sqrt{a}$
5. 使等式$\sqrt{m^{3} + 3m^{2}} = -m\sqrt{m + 3}$成立的条件是
$-3\leq m\leq0$
.答案：5.$-3\leq m\leq0$
解析：
要使等式$\sqrt{m^{3} + 3m^{2}} = -m\sqrt{m + 3}$成立，需满足以下条件：
1. 被开方数非负：
对于$\sqrt{m^{3} + 3m^{2}}$，有$m^{3} + 3m^{2} \geq 0$，即$m^{2}(m + 3) \geq 0$。因为$m^{2} \geq 0$恒成立，所以$m + 3 \geq 0$，解得$m \geq -3$。
对于$\sqrt{m + 3}$，有$m + 3 \geq 0$，解得$m \geq -3$。
2. 等式右边非负：
等式右边为$-m\sqrt{m + 3}$，由于$\sqrt{m + 3} \geq 0$，所以$-m \geq 0$，解得$m \leq 0$。
综合以上条件，$m$的取值范围为$-3 \leq m \leq 0$。
$-3\leq m\leq0$
1. 被开方数非负：
对于$\sqrt{m^{3} + 3m^{2}}$，有$m^{3} + 3m^{2} \geq 0$，即$m^{2}(m + 3) \geq 0$。因为$m^{2} \geq 0$恒成立，所以$m + 3 \geq 0$，解得$m \geq -3$。
对于$\sqrt{m + 3}$，有$m + 3 \geq 0$，解得$m \geq -3$。
2. 等式右边非负：
等式右边为$-m\sqrt{m + 3}$，由于$\sqrt{m + 3} \geq 0$，所以$-m \geq 0$，解得$m \leq 0$。
综合以上条件，$m$的取值范围为$-3 \leq m \leq 0$。
$-3\leq m\leq0$
6. (教材变式)计算：
(1)$\sqrt{11}×\sqrt{33}$；
(2)$4\sqrt{6}×3\sqrt{30}$；
(3)$\sqrt{3a}×2\sqrt{6a}(a＞0)$；
(4)$\sqrt{\dfrac{5}{3}}×\sqrt{\dfrac{81}{125}}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}$.
(1)$\sqrt{11}×\sqrt{33}$；
(2)$4\sqrt{6}×3\sqrt{30}$；
(3)$\sqrt{3a}×2\sqrt{6a}(a＞0)$；
(4)$\sqrt{\dfrac{5}{3}}×\sqrt{\dfrac{81}{125}}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}$.
答案：6.(1)$11\sqrt{3}$ (2)$72\sqrt{5}$ (3)$6\sqrt{2}a$ (4)$\frac{3}{5}$
解析：
(1)$\sqrt{11}×\sqrt{33}=\sqrt{11×33}=\sqrt{11×11×3}=11\sqrt{3}$；
(2)$4\sqrt{6}×3\sqrt{30}=4×3×\sqrt{6×30}=12×\sqrt{180}=12×6\sqrt{5}=72\sqrt{5}$；
(3)$\sqrt{3a}×2\sqrt{6a}=2×\sqrt{3a×6a}=2×\sqrt{18a^2}=2×3\sqrt{2}a=6\sqrt{2}a$；
(4)$\sqrt{\dfrac{5}{3}}×\sqrt{\dfrac{81}{125}}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{5}{3}×\dfrac{81}{125}×\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{81}{375}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}$
(2)$4\sqrt{6}×3\sqrt{30}=4×3×\sqrt{6×30}=12×\sqrt{180}=12×6\sqrt{5}=72\sqrt{5}$；
(3)$\sqrt{3a}×2\sqrt{6a}=2×\sqrt{3a×6a}=2×\sqrt{18a^2}=2×3\sqrt{2}a=6\sqrt{2}a$；
(4)$\sqrt{\dfrac{5}{3}}×\sqrt{\dfrac{81}{125}}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{5}{3}×\dfrac{81}{125}×\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{81}{375}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}$
7. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{3}×2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$
B.$5\sqrt{3}×5\sqrt{2} = 25\sqrt{6}$
C.$4\sqrt{3}×2\sqrt{2} = 6\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{3}×3\sqrt{2} = 12\sqrt{5}$
B
)A.$\sqrt{3}×2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$
B.$5\sqrt{3}×5\sqrt{2} = 25\sqrt{6}$
C.$4\sqrt{3}×2\sqrt{2} = 6\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{3}×3\sqrt{2} = 12\sqrt{5}$
答案：7.B
解析：
A.$\sqrt{3}×2\sqrt{3}=2×(\sqrt{3})^2=2×3=6$，故A错误；
B.$5\sqrt{3}×5\sqrt{2}=5×5×\sqrt{3×2}=25\sqrt{6}$，故B正确；
C.$4\sqrt{3}×2\sqrt{2}=4×2×\sqrt{3×2}=8\sqrt{6}$，故C错误；
D.$4\sqrt{3}×3\sqrt{2}=4×3×\sqrt{3×2}=12\sqrt{6}$，故D错误。
答案：B
B.$5\sqrt{3}×5\sqrt{2}=5×5×\sqrt{3×2}=25\sqrt{6}$，故B正确；
C.$4\sqrt{3}×2\sqrt{2}=4×2×\sqrt{3×2}=8\sqrt{6}$，故C错误；
D.$4\sqrt{3}×3\sqrt{2}=4×3×\sqrt{3×2}=12\sqrt{6}$，故D错误。
答案：B
8. 若$\sqrt{135} = k\sqrt{15}$，$\sqrt{450} = 15\sqrt{m}$，$\sqrt{180} = 6\sqrt{n}$，则下列关于$k$，$m$，$n$的大小关系中，正确的是(
A.$k ＜ m = n$
B.$m = n ＜ k$
C.$m ＜ n ＜ k$
D.$m ＜ k ＜ n$
D
)A.$k ＜ m = n$
B.$m = n ＜ k$
C.$m ＜ n ＜ k$
D.$m ＜ k ＜ n$
答案：8.D
解析：
$\sqrt{135}=\sqrt{9×15}=3\sqrt{15}$，则$k=3$；
$\sqrt{450}=\sqrt{225×2}=15\sqrt{2}$，则$m=2$；
$\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=6\sqrt{5}$，则$n=5$；
因为$2＜3＜5$，所以$m＜k＜n$。
$\sqrt{450}=\sqrt{225×2}=15\sqrt{2}$，则$m=2$；
$\sqrt{180}=\sqrt{36×5}=6\sqrt{5}$，则$n=5$；
因为$2＜3＜5$，所以$m＜k＜n$。