1. (2025·贵州)如图，在$□ ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 5$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，以点$A$为圆心，$AB$长为半径作弧，交$BC$于点$E$，则$EC$的长为(
A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
D
)A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
答案：1.D
解析：
解：连接AE，
∵以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，
∴AE=AB=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AB=CD=3，AD//BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=3，
∵BC=5，
∴EC=BC-BE=5-3=2.
答案：D
∵以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，
∴AE=AB=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AB=CD=3，AD//BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=3，
∵BC=5，
∴EC=BC-BE=5-3=2.
答案：D
2. 如图，$□ ABCD$的顶点$A$，$C$分别在直线$l_{1}$，$l_{2}$上，$l_{1}// l_{2}$.若$\angle 1 = 32^{\circ}$，$\angle B = 66^{\circ}$，则$\angle 2$的度数为(
A.$32^{\circ}$
B.$34^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$44^{\circ}$
B
)A.$32^{\circ}$
B.$34^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$44^{\circ}$
答案：2.B
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$\angle B = \angle D = 66^{\circ}$，
$\because l_{1}// l_{2}$，
$\therefore$过点$D$作$DE// l_{1}$，则$DE// l_{2}$，
$\therefore \angle ADE=\angle 1 = 32^{\circ}$，
$\because AD// BC$，
$\therefore \angle CDE+\angle 2 = 180^{\circ}$，
$\because \angle ADC=\angle ADE+\angle CDE = 66^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=66^{\circ}-32^{\circ}=34^{\circ}$，
$\therefore \angle 2 = 180^{\circ}-\angle CDE=180^{\circ}-34^{\circ}=146^{\circ}$（此步骤错误，应为$\angle 2=\angle CDE=34^{\circ}$，因$DE// l_{2}$，内错角相等）
$\therefore \angle 2 = 34^{\circ}$。
B
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$\angle B = \angle D = 66^{\circ}$，
$\because l_{1}// l_{2}$，
$\therefore$过点$D$作$DE// l_{1}$，则$DE// l_{2}$，
$\therefore \angle ADE=\angle 1 = 32^{\circ}$，
$\because AD// BC$，
$\therefore \angle CDE+\angle 2 = 180^{\circ}$，
$\because \angle ADC=\angle ADE+\angle CDE = 66^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=66^{\circ}-32^{\circ}=34^{\circ}$，
$\therefore \angle 2 = 180^{\circ}-\angle CDE=180^{\circ}-34^{\circ}=146^{\circ}$（此步骤错误，应为$\angle 2=\angle CDE=34^{\circ}$，因$DE// l_{2}$，内错角相等）
$\therefore \angle 2 = 34^{\circ}$。
B
3. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$.若$AB = 12$，$AC = 16$，$BD = 20$，则$\triangle OCD$的周长为(
A.$18$
B.$24$
C.$30$
D.$36$
C
)A.$18$
B.$24$
C.$30$
D.$36$
答案：3.C
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB = CD = 12$，$OA = OC=\frac{1}{2}AC$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD$。
$\because AC = 16$，$BD = 20$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}×16 = 8$，$OD=\frac{1}{2}×20 = 10$。
$\therefore \triangle OCD$的周长为$OC + OD + CD=8 + 10 + 12=30$。
答案：C
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB = CD = 12$，$OA = OC=\frac{1}{2}AC$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD$。
$\because AC = 16$，$BD = 20$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}×16 = 8$，$OD=\frac{1}{2}×20 = 10$。
$\therefore \triangle OCD$的周长为$OC + OD + CD=8 + 10 + 12=30$。
答案：C
4. (教材变式)已知四边形$ABCD$是平行四边形.
(1)(2025·南通期中)若$\angle A+\angle C = 230^{\circ}$，则$\angle B = $
(2)(2025·如皋期末)若$\angle A:\angle B = 4:5$，则$\angle A = $
(1)(2025·南通期中)若$\angle A+\angle C = 230^{\circ}$，则$\angle B = $
65°
；(2)(2025·如皋期末)若$\angle A:\angle B = 4:5$，则$\angle A = $
80°
.答案：4.(1)65° (2)80°
解析：
(1)因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\angle A = \angle C$，$\angle A+\angle B=180^{\circ}$。
已知$\angle A+\angle C = 230^{\circ}$，则$2\angle A=230^{\circ}$，$\angle A = 115^{\circ}$，所以$\angle B=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$。
(2)因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\angle A+\angle B = 180^{\circ}$。
设$\angle A = 4x$，$\angle B=5x$，则$4x + 5x=180^{\circ}$，$9x=180^{\circ}$，$x = 20^{\circ}$，所以$\angle A=4x=4×20^{\circ}=80^{\circ}$。
(1)65°；(2)80°
已知$\angle A+\angle C = 230^{\circ}$，则$2\angle A=230^{\circ}$，$\angle A = 115^{\circ}$，所以$\angle B=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$。
(2)因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\angle A+\angle B = 180^{\circ}$。
设$\angle A = 4x$，$\angle B=5x$，则$4x + 5x=180^{\circ}$，$9x=180^{\circ}$，$x = 20^{\circ}$，所以$\angle A=4x=4×20^{\circ}=80^{\circ}$。
(1)65°；(2)80°
5. (2024·海安期中)如图，在$□ ABCD$中，$DE$平分$\angle ADC$交$BC$于点$E$.若$BE = 4$，$AB = 6$，则$□ ABCD$的周长是
]
32
.]
答案：5.32
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AB = CD = 6$，$AD = BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle DEC$，
$\because DE$平分$\angle ADC$，
$\therefore \angle ADE = \angle CDE$，
$\therefore \angle DEC=\angle CDE$，
$\therefore CD=CE = 6$，
$\because BE = 4$，
$\therefore BC=BE + CE=4 + 6=10$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$的周长为$2×(AB + BC)=2×(6 + 10)=32$。
32
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AB = CD = 6$，$AD = BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle DEC$，
$\because DE$平分$\angle ADC$，
$\therefore \angle ADE = \angle CDE$，
$\therefore \angle DEC=\angle CDE$，
$\therefore CD=CE = 6$，
$\because BE = 4$，
$\therefore BC=BE + CE=4 + 6=10$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$的周长为$2×(AB + BC)=2×(6 + 10)=32$。
32
6. 如图，四边形$ABCD$是平行四边形，$E$，$F$分别是$AB$，$CD$上的点，$DE$平分$\angle ADC$，$BF$平分$\angle ABC$.
（1）求证：$DE = BF$.
（2）把条件“$DE$平分$\angle ADC$，$BF$平分$\angle ABC$”改成“$DE// BF$”，求证：$AE = CF$.
（3）如果把条件“$DE$平分$\angle ADC$，$BF$平分$\angle ABC$”改成“$DF = BE$”，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.
（1）求证：$DE = BF$.
（2）把条件“$DE$平分$\angle ADC$，$BF$平分$\angle ABC$”改成“$DE// BF$”，求证：$AE = CF$.
（3）如果把条件“$DE$平分$\angle ADC$，$BF$平分$\angle ABC$”改成“$DF = BE$”，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.
答案：6.(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠ABC.
∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADC,∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∴∠ADE=∠CBF.在△ADE 和 △CBF 中，$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ AD=CB, \\ ∠ADE=∠CBF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF.
∴DE = BF
(2) 连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB = CD.
∴∠BEF = ∠DFE.
∵DE//BF,
∴∠BFE = ∠DEF.在△BEF和△DFE中，$\begin{cases} ∠BEF=∠DFE, \\ EF=FE, \\ ∠BFE=∠DEF, \end{cases}$
∴△BEF≌△DFE.
∴BE = DF.
∴AB - BE = CD - DF，即AE = CF
(3) 成立
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = CB,AB = CD,∠A = ∠C.
∵BE = DF,
∴AB - BE = CD - DF，即AE = CF.在△ADE和△CBF中，$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠A=∠C, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF.
∴DE = BF
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠ABC.
∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADC,∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∴∠ADE=∠CBF.在△ADE 和 △CBF 中，$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ AD=CB, \\ ∠ADE=∠CBF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF.
∴DE = BF
(2) 连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB = CD.
∴∠BEF = ∠DFE.
∵DE//BF,
∴∠BFE = ∠DEF.在△BEF和△DFE中，$\begin{cases} ∠BEF=∠DFE, \\ EF=FE, \\ ∠BFE=∠DEF, \end{cases}$
∴△BEF≌△DFE.
∴BE = DF.
∴AB - BE = CD - DF，即AE = CF
(3) 成立
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = CB,AB = CD,∠A = ∠C.
∵BE = DF,
∴AB - BE = CD - DF，即AE = CF.在△ADE和△CBF中，$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠A=∠C, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF.
∴DE = BF