1. (2025·如皋期中)如图,在一次数学实践活动中,同学们为估测被花坛隔开的 $ A,B $ 两处之间的距离,先在 $ AB $ 外取一点 $ C $,然后步测出 $ AC,BC $ 的中点 $ D,E $,并步测出 $ DE $ 的长约为 $ 9m $,由此估测 $ A,B $ 两处之间的距离约为(
A.$ 12m $
B.$ 15m $
C.$ 18m $
D.$ 21m $
C
)A.$ 12m $
B.$ 15m $
C.$ 18m $
D.$ 21m $
答案：1.C
解析：
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵DE=9m，
∴AB=2DE=18m.
C
2. (2025·广东)如图,$ D,E,F $ 分别是$ \triangle ABC $ 各边上的中点,$ \angle A = 70^{\circ} $,则$ \angle EDF $ 的度数为(
A.$ 20^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 110^{\circ} $
C
)A.$ 20^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 110^{\circ} $
答案：2.C
解析：
证明：
∵D，E，F分别是△ABC各边上的中点，
∴DF是△ABC的中位线，DE是△ABC的中位线，
∴DF//AB，DE//AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴∠EDF=∠A=70°．
答案：C
∵D，E，F分别是△ABC各边上的中点，
∴DF是△ABC的中位线，DE是△ABC的中位线，
∴DF//AB，DE//AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴∠EDF=∠A=70°．
答案：C
3. (2025·启东期末)如图,小宇注意到跷跷板处于静止状态时,可以与地面构成一个 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $,跷跷板中间的支撑杆 $ EF $ 垂直于地面($ E,F $ 分别为 $ AB,AC $ 的中点).若 $ EF = 35cm $,则点 $ B $ 距离地面的高度 $ BC $ 为
70
$ cm $.答案：3.70
解析：
证明：
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线。
∵EF⊥AC，BC⊥AC，
∴EF//BC。
∴EF = $\frac{1}{2}$BC。
∵EF = 35cm，
∴BC = 2EF = 2×35 = 70cm。
70
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线。
∵EF⊥AC，BC⊥AC，
∴EF//BC。
∴EF = $\frac{1}{2}$BC。
∵EF = 35cm，
∴BC = 2EF = 2×35 = 70cm。
70
4. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle ADC = 140^{\circ} $,$ E,F $ 分别是 $ AB,AD $ 的中点,且 $ \angle AFE = 50^{\circ} $,连接 $ BD $.
(1) 求$ \angle BDC $ 的度数;
(2) 若 $ CD = 3 $,$ BC $ 比 $ BD $ 长 $ 1 $,求 $ EF $ 的长.
(1) 求$ \angle BDC $ 的度数;
(2) 若 $ CD = 3 $,$ BC $ 比 $ BD $ 长 $ 1 $,求 $ EF $ 的长.
答案：4.(1)
∵E,F分别是AB,AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线.
∴EF//BD.
∴∠ADB = ∠AFE = 50°.
∴∠BDC = ∠ADC - ∠ADB = 140° - 50° = 90°
(2)由(1)，得∠BDC = 90°，
∴在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC² = BD² + CD².设BD = x，则BC = x + 1.
∴(x + 1)² = x² + 3²，解得x = 4，即BD = 4.
∵EF是△ABD的中位线，
∴EF = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×4 = 2
∵E,F分别是AB,AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线.
∴EF//BD.
∴∠ADB = ∠AFE = 50°.
∴∠BDC = ∠ADC - ∠ADB = 140° - 50° = 90°
(2)由(1)，得∠BDC = 90°，
∴在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC² = BD² + CD².设BD = x，则BC = x + 1.
∴(x + 1)² = x² + 3²，解得x = 4，即BD = 4.
∵EF是△ABD的中位线，
∴EF = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×4 = 2
5. 如图,在$ \triangle ABC $ 中,$ D,E $ 分别为 $ AB,AC $ 的中点,点 $ H $ 在线段 $ CE $ 上,连接 $ BH $,$ G,F $ 分别为 $ BH,CH $ 的中点,连接 $ DG,GF,DE $.
(1) 求证:四边形 $ DEFG $ 为平行四边形;
(2) 若 $ DG ⊥ BH $,$ BD = 3 $,$ EF = 2 $,求线段 $ BG $ 的长.
(1) 求证:四边形 $ DEFG $ 为平行四边形;
(2) 若 $ DG ⊥ BH $,$ BD = 3 $,$ EF = 2 $,求线段 $ BG $ 的长.
答案：5.(1)
∵D,E分别为AB，AC的中点，G,F分别为BH,CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线.
∴DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC，GF//BC，GF = $\frac{1}{2}$BC.
∴DE//GF，DE = GF.
∴四边形DEFG为平行四边形
(2)
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG = EF = 2.
∵DG⊥BH，
∴∠DGB = 90°.
∴BG = $\sqrt{BD² - DG²}$ = $\sqrt{3² - 2²}$ = $\sqrt{5}$，即线段BG的长为$\sqrt{5}$
∵D,E分别为AB，AC的中点，G,F分别为BH,CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线.
∴DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC，GF//BC，GF = $\frac{1}{2}$BC.
∴DE//GF，DE = GF.
∴四边形DEFG为平行四边形
(2)
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG = EF = 2.
∵DG⊥BH，
∴∠DGB = 90°.
∴BG = $\sqrt{BD² - DG²}$ = $\sqrt{3² - 2²}$ = $\sqrt{5}$，即线段BG的长为$\sqrt{5}$
6. 如图,在$ □ ABCD $ 中,对角线 $ AC,BD $ 相交于点 $ O $,$ E $ 是 $ AD $ 的中点,连接 $ OE $,以点 $ A $ 为圆心,$ AE $ 的长为半径画弧,交 $ AB $ 于点 $ F $.若 $ AE = 7 $,$ OE = 5 $,则 $ BF $ 的长为(
A.$ 2 $
B.$ 2.5 $
C.$ 3 $
D.$ 3.5 $
C
)A.$ 2 $
B.$ 2.5 $
C.$ 3 $
D.$ 3.5 $
答案：6.C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$O$是$BD$的中点（平行四边形对角线互相平分）。
∵$E$是$AD$的中点，
∴$OE$是$\triangle ABD$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AB$（三角形中位线定理）。
∵$OE=5$，
∴$AB=2OE=10$。
∵以点$A$为圆心，$AE$为半径画弧交$AB$于点$F$，
∴$AF=AE=7$。
∴$BF=AB-AF=10-7=3$。
答案：$3$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$O$是$BD$的中点（平行四边形对角线互相平分）。
∵$E$是$AD$的中点，
∴$OE$是$\triangle ABD$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AB$（三角形中位线定理）。
∵$OE=5$，
∴$AB=2OE=10$。
∵以点$A$为圆心，$AE$为半径画弧交$AB$于点$F$，
∴$AF=AE=7$。
∴$BF=AB-AF=10-7=3$。
答案：$3$