1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$OB = OD$，有下列条件：① $OA = OC$；② $AB = CD$；③ $AD// BC$。添加其中的一个后，可判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的有 (
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
B
)A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案：1．B
解析：
证明：
条件①：$OA=OC$，$OB=OD$，对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定。
条件②：$AB=CD$，$OB=OD$，仅两组对边中一组相等和对角线一组相等，不可判定。
条件③：$AD// BC$，则$\angle OAD=\angle OCB$，$\angle ODA=\angle OBC$，又$OB=OD$，$\triangle AOD\cong\triangle COB(AAS)$，得$OA=OC$，对角线互相平分，可判定。
综上，可判定的条件有①③，共2个。
B
条件①：$OA=OC$，$OB=OD$，对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定。
条件②：$AB=CD$，$OB=OD$，仅两组对边中一组相等和对角线一组相等，不可判定。
条件③：$AD// BC$，则$\angle OAD=\angle OCB$，$\angle ODA=\angle OBC$，又$OB=OD$，$\triangle AOD\cong\triangle COB(AAS)$，得$OA=OC$，对角线互相平分，可判定。
综上，可判定的条件有①③，共2个。
B
2. 如图，两条射线 $AE// BF$，点 $C$，$D$ 分别在射线 $BF$，$AE$ 上，只需添加一个条件，即可判断四边形 $ABCD$ 为平行四边形，这个条件可以是
答案不唯一，如AD=BC
(写出一个即可)。答案：2．答案不唯一，如AD=BC
3. 如图，$\angle ACB=\angle AED = 90^{\circ}$，$AC = FE$，$AB$ 平分 $\angle CAE$，$AB// DF$。求证：四边形 $ABDF$ 是平行四边形。
答案：3．
∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAE．
∵AB//DF，
∴∠BAE=∠DFE．
∴∠CAB=∠EFD.在△CAB和△EFD
中，$\{\begin{array}{l} ∠ACB=∠FED， \\ AC=FE， \\ ∠CAB=∠EFD， \end{array} $
∴△CAB≌△EFD．
∴AB=FD.又
∵AB//FD，
∴四边形ABDF是平行四边形
∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAE．
∵AB//DF，
∴∠BAE=∠DFE．
∴∠CAB=∠EFD.在△CAB和△EFD
中，$\{\begin{array}{l} ∠ACB=∠FED， \\ AC=FE， \\ ∠CAB=∠EFD， \end{array} $
∴△CAB≌△EFD．
∴AB=FD.又
∵AB//FD，
∴四边形ABDF是平行四边形
4. 如图，$AD// BC$，$AB = BD$，以点 $B$ 为圆心，$AD$ 长为半径画弧，交射线 $BC$ 于点 $E$，连接 $DE$。若 $\angle BED = 50^{\circ}$，则 $\angle DBC$ 的度数为
50°
。答案：4．50°
解析：
解：连接BE。
∵以点B为圆心，AD长为半径画弧，交射线BC于点E，
∴BE=AD。
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴AB//DE，
∴∠ABD=∠BDE。
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB。
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，∠A+∠ABC=180°。
设∠DBC=x，则∠ADB=x，∠A=∠ADB=x，∠ABD=∠BDE。
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠BDE+x，
∴x+∠BDE+x=180°，即∠BDE=180°-2x。
在△BDE中，∠BED=50°，∠BDE=180°-2x，∠DBC=x，
∴∠BED+∠BDE+∠DBC=180°，
即50°+(180°-2x)+x=180°，
解得x=50°。
∴∠DBC的度数为50°。
50°
∵以点B为圆心，AD长为半径画弧，交射线BC于点E，
∴BE=AD。
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴AB//DE，
∴∠ABD=∠BDE。
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB。
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，∠A+∠ABC=180°。
设∠DBC=x，则∠ADB=x，∠A=∠ADB=x，∠ABD=∠BDE。
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠BDE+x，
∴x+∠BDE+x=180°，即∠BDE=180°-2x。
在△BDE中，∠BED=50°，∠BDE=180°-2x，∠DBC=x，
∴∠BED+∠BDE+∠DBC=180°，
即50°+(180°-2x)+x=180°，
解得x=50°。
∴∠DBC的度数为50°。
50°
5. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$，$F$ 是对角线 $BD$ 上的两点，$BE = DF$，点 $G$，$H$ 分别在 $BA$ 和 $DC$ 的延长线上，且 $AG = CH$，连接 $GE$，$EH$，$HF$，$FG$。求证：
（1）$\triangle GBE\cong\triangle HDF$；
（2）$GF = EH$。
（1）$\triangle GBE\cong\triangle HDF$；
（2）$GF = EH$。
答案：5．（1）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD.
∴∠ABE=∠CDF．
∵AG=CH，
∴AG+AB=CH+CD，即
BG=DH．在△GBE和△HDF中，$\{\begin{array}{l} BG=DH， \\ ∠GBE=∠HDF， \\ BE=DF， \end{array} $
∴△GBE≌△HDF （2）
∵△GBE≌△HDF，
∴GE=HF，
∠BEG=∠DFH．
∴180°-∠BEG=180°-∠DFH，即
∠GEF=∠EFH．
∴GE//HF．
∴四边形GEHF是平行四边
形．
∴GF=EH
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD.
∴∠ABE=∠CDF．
∵AG=CH，
∴AG+AB=CH+CD，即
BG=DH．在△GBE和△HDF中，$\{\begin{array}{l} BG=DH， \\ ∠GBE=∠HDF， \\ BE=DF， \end{array} $
∴△GBE≌△HDF （2）
∵△GBE≌△HDF，
∴GE=HF，
∠BEG=∠DFH．
∴180°-∠BEG=180°-∠DFH，即
∠GEF=∠EFH．
∴GE//HF．
∴四边形GEHF是平行四边
形．
∴GF=EH
6. （2024·崇川期中）如图，$E$，$F$ 分别为 $□ ABCD$ 的边 $AB$，$DC$ 上的点，且 $BE = DF$，连接 $AF$，$CE$。
（1）求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；
（2）当 $DE$ 平分 $\angle ADC$，$AF⊥ DC$，$DF = 3$，$AE = 5$ 时，求 $□ ABCD$ 的面积。
（1）求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；
（2）当 $DE$ 平分 $\angle ADC$，$AF⊥ DC$，$DF = 3$，$AE = 5$ 时，求 $□ ABCD$ 的面积。
答案：6．（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD.
∵BE=DF，
∴AB-BE=CD-DF，即AE=CF.又
∵AE//
CF，
∴四边形AECF是平行四边形 （2）
∵AB//CD，
∴∠AED=∠CDE．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE.
∴∠ADE=∠AED．
∴AD=AE=5．由（1）可知，四边形
AECF是平行四边形，
∴FC=AE=5．
∴CD=DF+FC=3+
5=8．
∵AF⊥DC，
∴∠AFD=90°．
∴AF=$\sqrt{AD^{2}-DF^{2}} =$
$\sqrt{5^{2}-3^{2}} =4$．
∴$S_{□ ABCD}=CD· AF=8×4=32$
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD.
∵BE=DF，
∴AB-BE=CD-DF，即AE=CF.又
∵AE//
CF，
∴四边形AECF是平行四边形 （2）
∵AB//CD，
∴∠AED=∠CDE．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE.
∴∠ADE=∠AED．
∴AD=AE=5．由（1）可知，四边形
AECF是平行四边形，
∴FC=AE=5．
∴CD=DF+FC=3+
5=8．
∵AF⊥DC，
∴∠AFD=90°．
∴AF=$\sqrt{AD^{2}-DF^{2}} =$
$\sqrt{5^{2}-3^{2}} =4$．
∴$S_{□ ABCD}=CD· AF=8×4=32$