6. (分类讨论思想)如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$CD$ 的中点，连接 $DE$，$EF$，$BF$，则图中的平行四边形共有(
A.$2$ 个
B.$4$ 个
C.$6$ 个
D.$8$ 个
B
)A.$2$ 个
B.$4$ 个
C.$6$ 个
D.$8$ 个
答案：6.B
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵$E$，$F$分别是$AB$，$CD$的中点，
∴$AE=EB=\frac{1}{2}AB$，$DF=FC=\frac{1}{2}CD$，
∴$AE=EB=DF=FC$。
1. $□ABCD$（已知）；
2. $□AEFD$：$AE// DF$且$AE=DF$；
3. $□EFCB$：$EB// FC$且$EB=FC$；
4. $□DEBF$：$DE// BF$（由$AEFD$和$EFCB$得$DE// EF$，$BF// EF$，故$DE// BF$）且$DE=BF$（可证$\triangle ADE\cong\triangle CBF$）。
综上，图中平行四边形共有4个。
答案：B
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵$E$，$F$分别是$AB$，$CD$的中点，
∴$AE=EB=\frac{1}{2}AB$，$DF=FC=\frac{1}{2}CD$，
∴$AE=EB=DF=FC$。
1. $□ABCD$（已知）；
2. $□AEFD$：$AE// DF$且$AE=DF$；
3. $□EFCB$：$EB// FC$且$EB=FC$；
4. $□DEBF$：$DE// BF$（由$AEFD$和$EFCB$得$DE// EF$，$BF// EF$，故$DE// BF$）且$DE=BF$（可证$\triangle ADE\cong\triangle CBF$）。
综上，图中平行四边形共有4个。
答案：B
7. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，$AD// BC$，且 $\angle BAD$，$\angle ADC$ 的平分线 $AE$，$DF$ 分别交 $BC$ 于点 $E$，$F$。若 $EF = 2$，$AB = 5$，则 $AD$ 的长为
8
。答案：7.8
解析：
证明：
∵ $AB // CD$，$AD // BC$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AB = CD = 5$，$AD // BC$。
∵ $AE$ 平分 $\angle BAD$，
∴ $\angle BAE = \angle DAE$，
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle DAE = \angle AEB$，
∴ $\angle BAE = \angle AEB$，
∴ $BE = AB = 5$。
∵ $DF$ 平分 $\angle ADC$，
∴ $\angle ADF = \angle CDF$，
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle ADF = \angle DFC$，
∴ $\angle CDF = \angle DFC$，
∴ $CF = CD = 5$。
∵ $BE + CF = BC + EF$，
∴ $5 + 5 = BC + 2$，
∴ $BC = 8$，
∴ $AD = BC = 8$。
答案：$8$
∵ $AB // CD$，$AD // BC$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AB = CD = 5$，$AD // BC$。
∵ $AE$ 平分 $\angle BAD$，
∴ $\angle BAE = \angle DAE$，
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle DAE = \angle AEB$，
∴ $\angle BAE = \angle AEB$，
∴ $BE = AB = 5$。
∵ $DF$ 平分 $\angle ADC$，
∴ $\angle ADF = \angle CDF$，
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle ADF = \angle DFC$，
∴ $\angle CDF = \angle DFC$，
∴ $CF = CD = 5$。
∵ $BE + CF = BC + EF$，
∴ $5 + 5 = BC + 2$，
∴ $BC = 8$，
∴ $AD = BC = 8$。
答案：$8$
8. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$ 分别是 $OB$，$OD$ 的中点，连接 $AE$，$AF$，$CE$，$CF$。
(1) 求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；
(2) 若 $AB⊥ AC$，$AB = 3$，$BC = 5$，求 $BD$ 的长。
(1) 求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；
(2) 若 $AB⊥ AC$，$AB = 3$，$BC = 5$，求 $BD$ 的长。
答案：8.(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴$OE = \frac{1}{2}OB，$$OF = \frac{1}{2}OD.$
∴OE = OF.
∴四边形AECF是平行四边形 (2)
∵AB⊥AC，
∴∠BAC = 90°.
∴AC = √{BC² - AB²} = √{5² - 3²} = 4.
∴$OA = \frac{1}{2}AC = 2.$在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB = √{AB² + OA²} = √{3² + 2²} = √{13}.
∴BD = 2OB = 2√{13}
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴$OE = \frac{1}{2}OB，$$OF = \frac{1}{2}OD.$
∴OE = OF.
∴四边形AECF是平行四边形 (2)
∵AB⊥AC，
∴∠BAC = 90°.
∴AC = √{BC² - AB²} = √{5² - 3²} = 4.
∴$OA = \frac{1}{2}AC = 2.$在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB = √{AB² + OA²} = √{3² + 2²} = √{13}.
∴BD = 2OB = 2√{13}
9. 如图，$BD$ 垂直平分 $AC$，$BD$ 与 $AC$ 交于点 $F$，$\angle BCD=\angle ADE$，$AE⊥ AC$。
(1) 求证：四边形 $ABDE$ 是平行四边形；
(2) 若 $AE = DE = 5$，$AD = 6$，求 $AC$ 的长。
(1) 求证：四边形 $ABDE$ 是平行四边形；
(2) 若 $AE = DE = 5$，$AD = 6$，求 $AC$ 的长。
答案：9.(1)
∵BD垂直平分AC，
∴∠DFC = 90°，AD = CD，AB = BC.在△ADB和△CDB中，{AD = CD，AB = CB，DB = DB，
∴△ADB≌△CDB.
∴∠DAB = ∠DCB.
∵∠BCD = ∠ADE，
∴∠ADE = ∠DAB.
∴DE//AB.
∵AE⊥AC，
∴∠EAC = ∠DFC = 90°.
∴AE//BD.
∴四边形ABDE是平行四边形 (2)
∵AE = DE = 5，四边形ABDE是平行四边形，
∴AB = BD = 5.
∵AC⊥BD，
∴易得AD² - DF² = AB² - BF².
∴6² - DF² = 5² - (5 - DF)².
∴DF = 3.6.
∴AF = √{AD² - DF²} = 4.8.
∴由(1)，易得AC = 2AF = 9.6
∵BD垂直平分AC，
∴∠DFC = 90°，AD = CD，AB = BC.在△ADB和△CDB中，{AD = CD，AB = CB，DB = DB，
∴△ADB≌△CDB.
∴∠DAB = ∠DCB.
∵∠BCD = ∠ADE，
∴∠ADE = ∠DAB.
∴DE//AB.
∵AE⊥AC，
∴∠EAC = ∠DFC = 90°.
∴AE//BD.
∴四边形ABDE是平行四边形 (2)
∵AE = DE = 5，四边形ABDE是平行四边形，
∴AB = BD = 5.
∵AC⊥BD，
∴易得AD² - DF² = AB² - BF².
∴6² - DF² = 5² - (5 - DF)².
∴DF = 3.6.
∴AF = √{AD² - DF²} = 4.8.
∴由(1)，易得AC = 2AF = 9.6
10. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$BD$ 是一条对角线，过 $A$，$C$ 两点分别作 $AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，垂足为 $E$，$F$，延长 $AE$，$CF$，分别交 $CD$，$AB$ 于点 $M$，$N$。
(1) 求证：四边形 $CMAN$ 是平行四边形；
(2) 若 $DE = 8$，$FN = 6$，求 $BN$ 的长。
(1) 求证：四边形 $CMAN$ 是平行四边形；
(2) 若 $DE = 8$，$FN = 6$，求 $BN$ 的长。
答案：10.(1)由题意，得∠AEB = ∠NFB = 90°，
∴AM//CN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM//AN.
∴四边形CMAN是平行四边形 (2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AD//BC.
∴∠ADE = ∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED = ∠CFB = 90°.在△ADE和△CBF中，{∠AED = ∠CFB，∠ADE = ∠CBF，
∴△ADE≌△CBF.
∴DE = BF = 8.在AD = CB，
Rt△BFN中，
∵BF = 8，FN = 6，
∴由勾股定理，得BN = √{BF² + FN²} = 10
∴AM//CN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM//AN.
∴四边形CMAN是平行四边形 (2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AD//BC.
∴∠ADE = ∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED = ∠CFB = 90°.在△ADE和△CBF中，{∠AED = ∠CFB，∠ADE = ∠CBF，
∴△ADE≌△CBF.
∴DE = BF = 8.在AD = CB，
Rt△BFN中，
∵BF = 8，FN = 6，
∴由勾股定理，得BN = √{BF² + FN²} = 10