1. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形 $ABCD$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，则下列结论一定成立的是(
A.$AD = AB$
B.$AD = BC$
C.$\angle DAC=\angle ACD$
D.$AO = AB$
B
)A.$AD = AB$
B.$AD = BC$
C.$\angle DAC=\angle ACD$
D.$AO = AB$
答案：1.B
解析：
证明：
∵两张纸条对边平行，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC。
结论一定成立的是B。
∵两张纸条对边平行，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC。
结论一定成立的是B。
2. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺 $ABC$ 的一边 $AC$ 贴着直尺推移到 $\triangle A_1B_1C_1$ 的位置，连接 $BB_1$，这时四边形 $ABB_1A_1$ 就是平行四边形. 小明这样做的依据是(
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C
)A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
答案：2.C
3. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 上，且 $ED$ 平分 $\angle AEC$. 若 $\angle DAE = 30^{\circ}$，$AE = 8$，则 $□ ABCD$ 的面积为(
A.$8\sqrt{3}$
B.$16\sqrt{3}$
C.$16$
D.$32$
D
)A.$8\sqrt{3}$
B.$16\sqrt{3}$
C.$16$
D.$32$
答案：3.D
解析：
证明：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$AD = BC$，$AB = CD$，$∠B = ∠D$，$∠BAD = ∠BCD$。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠DAE = ∠AEB$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $∠DAE = 30°$，
∴ $∠AEB = 30°$。
∵ $ED$ 平分 $∠AEC$，设 $∠AED = ∠DEC = x$，
则 $∠AEB + 2x = 180°$（平角定义），
即 $30° + 2x = 180°$，解得 $x = 75°$。
在 $\triangle AED$ 中，$∠DAE = 30°$，$∠AED = 75°$，
∴ $∠ADE = 180° - 30° - 75° = 75°$，
∴ $∠ADE = ∠AED$，故 $AD = AE = 8$（等角对等边）。
过点 $A$ 作 $AF ⊥ BC$ 于点 $F$，
在 $\mathrm{Rt}\triangle AEF$ 中，$∠AEB = 30°$，$AE = 8$，
∴ $AF = AE · \sin 30° = 8 × \frac{1}{2} = 4$（平行四边形的高）。
∵ $AD = 8$，平行四边形面积 $S = AD × AF = 8 × 4 = 32$。
答案：$32$
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$AD = BC$，$AB = CD$，$∠B = ∠D$，$∠BAD = ∠BCD$。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠DAE = ∠AEB$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $∠DAE = 30°$，
∴ $∠AEB = 30°$。
∵ $ED$ 平分 $∠AEC$，设 $∠AED = ∠DEC = x$，
则 $∠AEB + 2x = 180°$（平角定义），
即 $30° + 2x = 180°$，解得 $x = 75°$。
在 $\triangle AED$ 中，$∠DAE = 30°$，$∠AED = 75°$，
∴ $∠ADE = 180° - 30° - 75° = 75°$，
∴ $∠ADE = ∠AED$，故 $AD = AE = 8$（等角对等边）。
过点 $A$ 作 $AF ⊥ BC$ 于点 $F$，
在 $\mathrm{Rt}\triangle AEF$ 中，$∠AEB = 30°$，$AE = 8$，
∴ $AF = AE · \sin 30° = 8 × \frac{1}{2} = 4$（平行四边形的高）。
∵ $AD = 8$，平行四边形面积 $S = AD × AF = 8 × 4 = 32$。
答案：$32$
4. (2025·河南)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$，$\triangle ABC$ 的三个顶点均在网格线的交点上，$D$，$E$ 分别是边 $BA$，$CA$ 与网格线的交点，连接 $DE$，则 $DE$ 的长为(
A.$0.5$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
B
)A.$0.5$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案：4.B
5. (2025·如皋期末)如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$E$ 为 $AB$ 的中点，过点 $E$ 作 $EF⊥ BC$，垂足为 $F$，连接 $DF$. 若 $BF = 2$，$AB = CF = 6$，则 $DF$ 的长为(
A.$2\sqrt{29}$
B.$10$
C.$2\sqrt{30}$
D.$\sqrt{69}$
C
)A.$2\sqrt{29}$
B.$10$
C.$2\sqrt{30}$
D.$\sqrt{69}$
答案：
5.C 解析:如图，延长FE,DA交于点H.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC.
∵E为AB的中点,EF⊥BC，垂足为F,AB = CF = 6,
∴AE = BE = $\frac{1}{2}$AB = 3,∠H = ∠BFE = 90°.
∵BF = 2,
∴AD = BC = BF + CF = 8,EF = $\sqrt{BE^2 - BF^2}$ = $\sqrt{3^2 - 2^2}$ = $\sqrt{5}$.在△AEH和△BEF中，$\begin{cases} ∠H = ∠BFE, \\ ∠AEH = ∠BEF, \\ AE = BE, \end{cases}$
∴△AEH≌△BEF.
∴EH = EF = $\sqrt{5}$,AH = BF = 2.
∴FH = EH + EF = 2$\sqrt{5}$,DH = AD + AH = 10.
∴在Rt△DHF中,DF = $\sqrt{FH^2 + DH^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 10^2}$ = 2$\sqrt{30}$
5.C 解析:如图，延长FE,DA交于点H.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC.
∵E为AB的中点,EF⊥BC，垂足为F,AB = CF = 6,
∴AE = BE = $\frac{1}{2}$AB = 3,∠H = ∠BFE = 90°.
∵BF = 2,
∴AD = BC = BF + CF = 8,EF = $\sqrt{BE^2 - BF^2}$ = $\sqrt{3^2 - 2^2}$ = $\sqrt{5}$.在△AEH和△BEF中，$\begin{cases} ∠H = ∠BFE, \\ ∠AEH = ∠BEF, \\ AE = BE, \end{cases}$
∴△AEH≌△BEF.
∴EH = EF = $\sqrt{5}$,AH = BF = 2.
∴FH = EH + EF = 2$\sqrt{5}$,DH = AD + AH = 10.
∴在Rt△DHF中,DF = $\sqrt{FH^2 + DH^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 10^2}$ = 2$\sqrt{30}$
6. (2024·无锡)在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 4$，$BC = 6$，$AC = 8$，$D$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$BC$，$AC$ 的中点，则 $\triangle DEF$ 的周长为
9
.答案：6.9
解析：
∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，EF=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=4，BC=6，AC=8，
∴DE=$\frac{1}{2}$×8=4，EF=$\frac{1}{2}$×4=2，DF=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴△DEF的周长为DE+EF+DF=4+2+3=9.
7. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$ 为边 $BC$ 上一点，$AB = AE$. 若 $AE$ 平分 $\angle DAB$，$\angle EAC = 25^{\circ}$，则 $\angle ACB$ 的度数为
35°
.答案：7.35°
解析：
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$\angle DAB = \angle BCD$，$AB // CD$。
∵ $AE$ 平分 $\angle DAB$，
∴ $\angle DAE = \angle BAE$。
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle DAE = \angle AEB$，
∴ $\angle BAE = \angle AEB$。
∵ $AB = AE$，
∴ $\triangle ABE$ 是等腰三角形，$\angle B = \angle AEB$，
∴ $\angle B = \angle BAE = \angle AEB$，
∴ $\triangle ABE$ 是等边三角形，$\angle BAE = 60°$。
∵ $\angle EAC = 25°$，
∴ $\angle BAC = \angle BAE + \angle EAC = 60° + 25° = 85°$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 60°$，$\angle BAC = 85°$，
∴ $\angle ACB = 180° - \angle B - \angle BAC = 180° - 60° - 85° = 35°$。
$35°$
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$\angle DAB = \angle BCD$，$AB // CD$。
∵ $AE$ 平分 $\angle DAB$，
∴ $\angle DAE = \angle BAE$。
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle DAE = \angle AEB$，
∴ $\angle BAE = \angle AEB$。
∵ $AB = AE$，
∴ $\triangle ABE$ 是等腰三角形，$\angle B = \angle AEB$，
∴ $\angle B = \angle BAE = \angle AEB$，
∴ $\triangle ABE$ 是等边三角形，$\angle BAE = 60°$。
∵ $\angle EAC = 25°$，
∴ $\angle BAC = \angle BAE + \angle EAC = 60° + 25° = 85°$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 60°$，$\angle BAC = 85°$，
∴ $\angle ACB = 180° - \angle B - \angle BAC = 180° - 60° - 85° = 35°$。
$35°$
8. 如图，将 $□ AOBC$ 放在平面直角坐标系中，$O$ 为坐标原点，边 $AO$ 与 $x$ 轴重合，边 $BC$ 与 $y$ 轴正半轴相交于点 $D$. 若 $OA = 6$，$OB = 5$，且 $OD:BD = 3:4$，则点 $C$ 的坐标为
(-2,3)
.答案：8.(-2,3)
解析：
解：设点$D$的坐标为$(0,3k)$，则$BD = 4k$，$OB = 5k$。
因为$OB = 5$，所以$5k = 5$，解得$k = 1$，故$OD = 3$，$D(0,3)$。
设点$B$的坐标为$(x,3)$，由$OB = 5$得：
$\sqrt{x^2 + 3^2} = 5 \implies x^2 = 16 \implies x = 4 \quad (\mathrm{点}B\mathrm{在第一象限})$
所以$B(4,3)$。
因为四边形$AOBC$是平行四边形，$OA = 6$且$AO$在$x$轴上，所以$A(-6,0)$。
又因为$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB}$，设$C(m,n)$，则：
$(m - (-6), n - 0) = (4,3) \implies m + 6 = 4, n = 3 \implies m = -2$
故点$C$的坐标为$(-2,3)$。
$(-2,3)$
因为$OB = 5$，所以$5k = 5$，解得$k = 1$，故$OD = 3$，$D(0,3)$。
设点$B$的坐标为$(x,3)$，由$OB = 5$得：
$\sqrt{x^2 + 3^2} = 5 \implies x^2 = 16 \implies x = 4 \quad (\mathrm{点}B\mathrm{在第一象限})$
所以$B(4,3)$。
因为四边形$AOBC$是平行四边形，$OA = 6$且$AO$在$x$轴上，所以$A(-6,0)$。
又因为$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB}$，设$C(m,n)$，则：
$(m - (-6), n - 0) = (4,3) \implies m + 6 = 4, n = 3 \implies m = -2$
故点$C$的坐标为$(-2,3)$。
$(-2,3)$